Voici une seconde question dans laquelle le divi

ARITHM., 20" édU. G

' $2 TRAITÉ ÉtÉlip:NTAII\E

dende et le diviseur sont tous deux de même nature , et oà le quotient est d'une nature difTërente. ^

On demande combien, pour 529*,35, on aura de kilogrammes d'une certaine marchandise qui coûte i4^)S le kilogramme. Il est clair que le nombre cherché est composé avec le kilogramme (son unité), comme 629^,35 Test avec 14^9^? prix du kilogramme. Si donc on divise 529,35 par 149S? le quotient 36, 50689 ^^^^ ^^^ kilogrammes et des subdivisions de cette espèce d*unité.

107. L'emploi des fractions s'offre de lui-même par l'énoncé des questions. Si, par exemple, il fallait évaluer les f de 2i9*,6, on aurait à multiplier 2i9',6 par j, c'està-dire à multiplier ce nombre par 3 , et à diviser ensuite le résulut par 4, ce qui donnerait 164*^57 C'^^)*

On pourrait multiplier beaucoup les diverses questions qui se résolvent par les quatre règles, mais ce soin est inutile ; car l'application de ces règles ne saurait présenter aucune diflSculté, lorsque l'on comprend bien la définition et le but de chacune.

Hé» Proiiortiolis.

108. On a vu, dans ce qui précède, les diverses méthodes nécessaires pour effectuer sur les nombres, soit entiers , soit fractionnaires, les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique , l'addition , la soustraction , la multiplication et k division ^ et toutes les questions relatives aux nombres doivent être regardées comme résolues , lorsque, par l'examen attentif de leur énoncé, on est parvenu à les réduire à quelques-unes de ces opérations. Je pourrais, en conséquence, terminer ici ce que j'ai à dire sur l'Arithmétique 5 car le reste est , à proprement parler, du ressort de l'Algèbre *, mais cependant je vais résoudre quelques questions qui, en exerçant les lecteurs sur ce qu'ils ont déjà vu , les prépareront à l'analyse algébrique ,

DARITttMÉTlQtJE. 83

et les conduiront à une théorie bien importante, celle des rapports et des proportions que l'on comprend ordinaire-^ ment dans T Arithmétique.

409. Une pièce de drap xiontenant i3 mètres a été payée iZo francs: on demande combien coûterait une pièce du même drap qui aurait 18 mètres fie longueur,

II est évident que, si Ton savait à combien revient le mètre du drap qu'on a acheté, on répéterait c6 prix dix-huit fois, et Ton aurait pour résultat le prix de la pièce composée de 18 mètres*, or, puisque i3 mètres ont coûté 1 3o francs , un mètre seul aurait coûté la treizième partie de i3o francs ou ^-p- : faisant la division , on trouve pour résultat 10 francs, et multipliant ce nombre par 18,' il vient 180 francs ponr la somme demandée. Tejle est, en effet, la valeur de la pièce de 18 mètres.

Un courrier qui vu toujours également vite, ayant fuit 5 myriamètres en 3 heures ^ on demande combien il en ferait en 11 heures.

En raisonnant comme dans l'exemple précédent, on voit que ce courrier ferait en une heure 5- de 5 myriamètres, ou }, et que dans 11 heures il en ferait 11 fois plus, ou \ de myriamètre multipliés par 1 1, ou enfin •— , ce qui vaut 18 myriamètres et y.

Je suppose encore qu'on demande dans combien de temps le courrier de la question précédente ferait 22 myriamètres.

On voit que , si Ton connaissait le temps qu'il met à faire un myriamètre, on répéterait ce temps 22 fois, et Ton aurait pour résultat le nombre d'heures cherché 5 or le courrier dont il s'agît , mettant 3 heures à faire 5 myriamètres, n'emploiera que^ de ce temps, ouf d'heure pour faire un myriamètre : ce nombre , étant multiplié par 22, donne ~ ou i3 heures -j 5 et comme l'heure est de 60 minutes, on aura i3 heures 12 minutes, au lieu de 1 3 heures et {,

HO. C'est par l'analyse de chacun des énoncés précédents , que j'ai découvert la* quanti té inconnue ; mais dans toutes ces questions , les nombres connus et les nombres cherchés dépendent les uns des autres d'une manière qu'il est à propos d'examiner.

Pour cela, je reprends la première question, dans laquelle il s'agit de connaître le prix de i8 mètres de drap , dont i3 ont été payés i3o francs.

Il est évident que la somme à payer pour une pièce de l'étoffe ,dont il s'agit, deviendrait double si cette pièce contenait un nombre de mètres double du premier *, que si ce nombre devenait triple , le prix triplerait aussi , et ainsi de suite ^ enfin, que pour la moitié ou les |- de la pièce , on n'aurait à payer que la moitié ou les deux tiers du prix total.

D'après ces notions , que tous ceux qui entendent la propriété des termes admettent sans difficulté , on voit que si l'on a deux pièces du même drap , le prix de la seconde doit contenir celui de la première autant que la longueur de la seconde contient celle de la première 5 et cette circonstance s'énonce en disant que les prix sont en pro^ portion des longueurs , ou sont entre eux dans le même rappojt que les longueurs.

Cet exemple va servir à fixer le sens de plusieurs expressions qui reviennent souvent.

H 1 . Le rapport des longueurs est le nombre , soit entier, soit fractionnaire , qui exprime combien l'une des longueurs contient l'autre. Si la première pièce avait 4 mètres , et la seconde 8 , le rapport de celle-ci à l'autre serait 2, puisque 8 contient 4 deux fois. Dans .l'exemple ci-dessus , la première pièce avait i3 mètres , et la seconde 18 •, le rapport de celle-ci à l'autre était donc f| , ou i ~. En général , le rapport, ou la raison de deux nombres^ est le quotient de Vu?i par Vautre.

d'arithmétique. 85

Les prix ayant entre eux le même rapport que les longueurs, il faut que i8o, prix de la seconde pièce, étant divisé par i3o , prix de la première , donne -|-| pour quotient , et c'est ce qui a lieu en effet ; car, en réduisant 777 à sa plus simple expression , on a ~ .

Les quatre nombres i3, 18, i3o, 180, écrits dans Tordre où on les voit ici , sont donc tels , que le deuxième contient le premier autant de fois que le quatrième contient le troisième ; et ils forment ainsi ce qu'on appelle Vine proportion.

Les nombres i3, 18, i3o et 180 se nomment les termes de la proportion.

On dit aussi qu'awe proportion est Vassemblage de deux rapports égaux.

Il faut observer, à cette occasion, qu'un rapport ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre 5 et cela est évident, puisque ce rapport , n'étant que le quotient d'une division , peut toujours être mis sous une forme fractionnaire. C'est ainsi que le rapport -j-f est le même que jjj .

Les mêmes considérations s'appliquent encore au deuxième exemple. Le courrier qui fait 5 myriamètres en 3 heures ferait un chemin double dans un temps double , triple dans un temps triple : ainsi , 1 1 heures , nombre qui exprime le temps que ce courrier a employé pour faire 18 myriamètres et 7, ou^ de myriamètre,doit contenir 3 heures , nombre qui marque le temps qu'il met à faire 5 myriamètres, autant que -^^ contient 5 : les quatre nombres 5, ^, 3, 11 sont donc en proportion; et, en effet, si l'on divise ^ par 5, on aura fj, résultat équivalent à ^. Il sera facile maintenant de reconnaître tous les cas où il y aura proportion entre quatre nombres.

H2. Pour indiquer qu'il y a proportion entre les nombres i3, 18, i3o et 180 , on les écrit ainsi;

i3 : i8 :: i3o : iBo^ et Ton énonce : li est à i8 comme i3o est à 1805 ce qui veut dire que i3 est la même partie de 18, que i3o Test de 180, ou que i3 est contenu dans 18 autant de fois que i3o Test dans 180, ou enfin que le rapport de 18 à i3 est le même que celui de 180 à i3o.

Le premier terme d'un rapport s^appelle antécédent , et le second se nomme conséquent . Dans une proportion , il y a deux antécédents et deux conséquents, savoir, l'antécédent du prunier rapport et celui du second. Dans la proportion ï3 : 18 :: i3o : 180, les antécédents sont |3 et i3o , les conséquents sont 18 et 180.

Je continuerai de prendre le conséquent du rapport pour le numérateur de la fraction qui exprime le rapport , et Tantécédent pour le dénominateur.

113. Pour s'assurer qu'il y a proportion entre les quatre nombres i3, 18, i3o et 180, il faut voir si les fractions 75 et —^ sont égales , et pour cela , réduire la seconde à sa plus simple expression ; mais on peut aussi faire la même vérification , en observant que si les deux fractions f| ^^iU ^^^^ équivalentes, comme on le suppose, il s'ensuit qu'en les réduisant au même dénominateur, le numérateur de Tune deviendra égal à celui de l'autre, et que, par conséquent, i8 multiplié par i3o donnera le même produit que 180 par i3. C'est ce qui a lieu , en effet ; et le raisonnement qui l'a fait connaître , étant indépendant de la valeur particulière des nombres , prouve que si quatre nombres sont en propoHion, le pro" duà du premier et du dernier, ou des deux extrêmes , est égal à celui du deuxième et du troisième, ou des deux moyens.

On voit en même temps que si les quatre nombres proposés n'étaient pas en proportion , ils n'auraient pas la propriété énoncée ci-dessus ; car la fraction qui exprime

DARlTHftlÊTIQUE. 87

le premier rapport n^étant pas équivalente à celle qui exprime le second , le numérateur de Tune ne deviendrait pas égal à celui de l'autre , lorsqu'on les réduirait toutes deux au même dénominateur.

114. La première conséquence qui se déduit naturellement de ce qui précède , c'est qu'on peut changer l'ordre des termes d'une proportion, pourvu que celui qu'on établit soit tel , que le produit des extrêmes demeure égal à celui des moyens. Dans la proportion i3 : 18 :: i3o : 180, on peut donc faire les arrangements suivants :

car dans chacun d'eux le produit des extrêmes et le produit des moyens demeurent formés des mêmes facteurs. Le second arrangement, dans lequel les moyens ont changé de place entre eux , est un de ceux qui se pratiquent le plus souvent (1).

(1) Je crois à propos d'observer que la proportion i3 : i3o :: 18 : 180 se serait présentée immédiatement sous cette rorme^ d'après la solttiion même de ]a question du n^ 109; car on peut avoir \a VEiitïui lL'uh inctre de drap, de deux mauiôres, savoir: en divisant le prix, d^^ b place de i3 mètres par i3, ou en divisant celui de la pièce i\*i 18 mèirP!i \tm iS. It suit donc de là que le prix de la première doit contmir l'i atitani que le prix de la seconde contient 18; on aura donc i3 : l'^n ;: rS : iSo. On pourrait raisonner de même sur la deuxième question du nuunc niimêrOj alusi que sur toutes celles de ce genre, et dériver de ta fci^ firopui lions j in^is j'ai préféré le point de vue du n" 109, parce qu'il conduU à comiiarei' entre elles des quantités de même espèce, tandis qulci il faut cumparc^r les prix, qui sont des sommes d'argent, à des incMrL'ï , qui fiout de» mesures de longueur, ce qui ne peut se faire qu'en conbid(>rauL !•« ««it al W autres comme des nombres abstraits.

88 TRAITÉ Ky-:MKrSTAIUK

H5. II fait \oir qu'on peut multiplier ou diviser par. un même nombre , les deux antécédents ou les deux conséquents d'une proportion sans la troubler ; car ce changement fait des deux antécédents le premier rapport, et des deux conséquents le second. Si Ton avait, par exemple, 55 : 21 :: i65 : 63, en changeant les moyens de place, il viendrait 55 : i65 :: 21 : 63^ on pourrait alors diviser les deux termes qui forment le premier rapport par le nombre 5 (IH), ce qui donnerait 11 : 33 :: 21 : 63^ changeant de nouveau les moyens de place , on trouverait II : 21 :: 33 : 63 , proportion qui est elle-même vraie, et qui ne difïêre de la proposée qu'en ce que les deux antécédents ont été divisés par 5.

H6. Puisque le produit des extrêmes est égal à celui des moyens , on peut prendre 1 un pour l'autre •, et comme , en divisant le produit des extrêmes par un extrême, on trouverait nécessairement l'autre au quotient , il faudra aussi qu'c'W dmsant le produit des moyens par un extrême, on troui^e l'autre extrême. Par la même raison , si Von dii^ise le produit des extrêmes par un des moyens , on obtiendra l'autre moyen.

On peut donc trouver un terme quelconque d'une proportion , lorsque Ton connaît les trois autres ^ car le terme cherché ne peut être que Tun des extrêmes ou l'un des moyens.

La question du n" 109 se résout par l'une des règles cidessus. En effet, lorsqu'on a reconnu que les prix des deux pièces de drap sont en proportion avec le nombre de mètres contenus dans chacune, on écrit ainsi cette proportion :

en mettant la lettre x pour tenir la place du prix cherché de la pièce de 18 mètres, et l'on trouve ce prix, qui est l'un des extrêmes, en midliplianl entre eux les deux

d'arithmétique. 89

moyens 18 et i3o , ce qui donne 2340 j cl en divisant ce produit par Textrême connu i3, on a pour résultat 180. L'opération par laquelle trois quelconques des termes d'une proportion étant donnés on trouve le quatrième, s'appelle règle de trois. Les auteurs de la plupart des livres d'Arithmétique ont distingué plusieurs espèces de règles de trois; mais cet échafaudage est inutile lorsque l'on a bien conçu ce qui constitue la proportion , et qu'on entend bien l'énoncé de la question proposée. Quelques applications vont éclaircir ceci.

H 7. Un ouvrier ayant fait 2 1 7"*, 5 d'ouvrage en 9 jours, on demande combien il mettrait de temps à en faire 423^,9, en supposant qu*il travaillât toujours de la même manière.

Dans cette question , l'inconnue est un nombre de jours qui doit contenir les 9 jours employés à faire 2i7"',5, autant que 4^3,9 contient 217,5 ; on a donc la proportion suivante : 217,5 : 4^3,9 :: 9 : x, et Ton trouve pour :c 17,54.

H8. Toute la difficulté des questions qu'on peut rencontrer ne consiste que dans la manière d'établir la proportion , et voici des règles sûres pour la former dans tous les cas.

Parmi les quatres termes qui doivent composer la proportion , il y a deux nombres qui sont d'une môme espèce, et deux nombres qui sont aussi d'une même espèce, mais différente de la première. Dans l'exemple précédent, deux des termes exprimaient des mètres, et les autres des jours.

Il faut donc d'abord distinguer les deux termes de chaque espèce; et quand cela sera fait, on aura nécessairement le quotient du plus grand terme de U seconde espèce divisé par le plus petit terme de cette espèce, égal au quotient du plus grand terme de la première espèce

90 TRAITÉ ÉLÉMËMTillRE

diviaé par le plus petit de cette espèce, ce qui donuiîra

cette proportion :

Le plus petit terme de la première espèce est

au plus grand terme de cette espèce , cQtnme

le plus petit terme de la seconde espèce est

au plus grand de cette espèce.

Dans l'exemple précédent, cette règle donne tout de siiite 217,5 : 4^3)9 tt 9 l x\ car le terme inconnu doit être plus grand que 9, puisqu^il faut d'autant plus de jours qu'il y a plus d'ouvrage à faire.

119. Si l'on s'était proposé de trouver combien 27 ouvriers mettraient de jours à exécuter un ouvrage que 1 5 ouvriers qui travaillaient autant que ceux-ci ont fait en 18 jours, on verrait qu'il faut d'autant moins de jours qu'il y a plus d'ouvriers, et réciproquement. Il y a bien encore proportion dans ce cas, mais dans un ordre inverse ; car si le nombre des ouvriers de la seconde bande était triple de celui de la première, par exemple, il rie leur faudrait que le tiers du temps employé par ceux-ci : ce serait donc le premier nombre de jours qui devrait contenir le second, autant que le second nombre d'ouvriers contient le premier.

L'ordre dans lequel ces quantités se contiennent étant l'inverse de celui qui leur est assigné par l'énoncé de la . question, on dit que les deux nombres d'ouvriers sont en raison inverse des nombres de jours. Si l'on comparait les deux premiers et les deux derniers dans l'ordre où ils se présentent, le rapport des uns serait 3 ou ^ , et celui des autres serait | , fraction inverse de 7.

On voit bien , en efiet , qu'oi* renverse un rapport en renversant la fraction qui l'expri"^^? puisqu'on fait ainsi

d'arithmétique. 91

passer rantécédent à la place du conséquent, et le conséquent à la place de Tantécédent : | ou a : 3 est l'inverse de I ou de 3 : a.

La règle du numéro précédent simplifie Beaucoup ces considérations ^ car, en prenant les deux nombres d'où* vriers pour les quantités de la première espèce, les deux nombres de jours pour celles de la seconde , et posant les unes et les autres d'après leur ordre de grandeur, on a cette proportion :

de laquelle on tire x égal à 10.