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elles , et ont un rapport immédiat avec les dimensions mômes du sphéroïde terrestre. Le mètre est la dix-millionième partie de la distance du pôle à réquateur, comptée sur le méridien qui passe à Paris. L^arc de ce méridien, qui traverse la France, ayant été mesuré avec une exactitude inconnue jusqu'ici, et calculé avec la plus grande précision par les méthodes de Dolambre, on en a conclu la distance qui se trouve entre le pôle et réquateur, diaprés laquelle on a formé le mètre.
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d'arithmétique. 79
101. Toutes les questions dans lesquelles il s'agît de réunir en un seul , plusieurs nombres d'une même espèce de mesures, se rapportent évidemment à l'addition.
Ainsi, pour savoir ce qu'ont produit trois marchés dans lesquels on a vendu successivement pour i 334^45, 1 95 1 * , 1 7, 1 83*^, 1 1 d'une certaine denrée y il sufEt d'ajouter les trois nombres ci-dessus , et la réponse à la question proposée se trouvera dans le total 3 468*, 73.
Je suppose encore qu'on achète quatre pièces d'étoffe dont les longueurs soient exprimées par 217°*, 43, 97"*, 21 , 194^,07, 5i™,345 la somme de ces nombres, exprimée par 56o™,o5, donnera la quantité totale d'étoffe.
L'application de la soustraction est trop facile pour m'y arrêter.
102. Il est visible que c'est avec le secours de la mul- ■ tiplication, qu'on trouve la valeur d'un nombre donné
de choses de même espèce et de même valeur, lorsqu'on connaît cette dernière , qu'il s'agit alors de répéter autant de fois qu'il y a de choses , quelles que soient ces choses.
On voit que le produit ne dépend pas de l'espèce des unités du multiplicateur, mais qu'il est de celle du multiplicande, et que le multiplicateur doit être envisagé comme un nombre abstrait. Cette considération sert à déterminer, dans une multiplication de nombres concrets , celui qu'on doit prendre pour multiplicateur.
Si , par exemple , le mètre d'une certaine étoffe coûte 19*, 25, et que l'on demande le prix d'une pièce contenant 37™, i4j il suffira de multiplier 19*^,^5 par 37'", i4 ; le produit 714*^94 sera le prix demandé.
En effet, il est évident que le prix de la pièce doit êu^e
composé avec celui du mètre , de la même manière que
la longueur de cette pièce est composée avec le mètre.
Ainsi, la pièce contenant 37 fois le mètre plus 7^ de
^ cette mesure, doit coûter 37 fois 19*^,25 plus —^ de ce
8o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
rix; il faut donc multiplier 19^,25 par 37 et 77^, et ces eux opérations sont réunies en une seule lorsqu'on prend 87,14 pour multiplicateur.
On peut encore concevoir l'opération sous ce point de vue, fort simple : En regardant d'abord la somme de 19^,25 comme le prix du centimètre d'étoffe, c'està-dire de l'unité du dernier ordre du multiplicateur, il devient évident que le prix total doit s'obtenir en répétant 3714 fois la somme de 19^^25 ; mais 8174 étant un nombre cent fois plus grand que le véritable multiplicateur 37,14, on ramènera le produit à sa juste valeur, en prenant la centième partie , ou séparant deux chiffres décimaux de plus.
Enfin , en troisième lieu , on reconnaît sans peine que le prix du mètre étant de 19*, 25, celui de l'unité du dernier ordre du multiplicateur ou du centimètre , dans l'exemple actuel , devant en être la centième partie , sera exprimé par o*", 1925, et l'on aura le prix de 37™, i4» ou 3714 centimètres , en multipliant o*, 1925 par 87 14-
103. Cette manière d'envisager la question repose sur la facilité de convertir, les unes dans les autres, les subdivisions d'une même espèce de mesures, par le simple changement de place de la virgule, suivant les remarques du n** 90. Si l'on voulait, par exemple, convertir 3i4™,5i3 en décimètres, il suffirait de reculer la virgule d'un rang vers la droite, ce qui donnerait 3 145**"*, i3 , puisque alors on prendrait le décimètre pour l'unité.
En supprimant la virgule , les millimètres deviennent des unités , et l'on a , par conséquent , le nombre de millimètres contenus dans la grandeur proposée, exprimé par 3i45i3 millimètres.
104. On reviendrait de cette dernière subdivision à celles qui la précèdent, c'est-à-dire au centimètre, au
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décimètre, au mètre, en séparant successivement un#, deux ou trois décimales. Si Ton en séparait quatre , on prendrait le décamètre pour unité, et Ton aurait 31*^,45135 continuant de la même manière, il viendrait 3"",i45i3^ etc.
Ces considérations et celles du numéro précédent s'ap-^ plîqueraient sans peine à toute autre espèce de mesures du système décimal , et offrent un des plus grands avantages de ce système.
105. Je vais indiquer à présent quelques usages de la division. Elle sert premièrement à résoudre toutes les questions du genre de la suivante : Connaissant ce qua coûté un certain nombre de choses de la même valeur, trouver cette valeur. Cela se voit en observant que le prix connu est nécessairement le produit du prix d'une chose multiplié par le nombre des choses (102); car il résulte de là qu'en divisant ce produit par le facteur connu, qui est le nombre des choses, on doit obtenir pour quotient l'autre' facteur^ ou le prix d'une seule chose (36).
Je suppose, par exemple, qu'ayant payé i9'",i3 d'étoffe,. 3 1 5* ,45 5 on demande à combien revient le mètre. Pour le trouver, on divisera 3 1 5^,45 par 19,1 3 -, on obtiendra i6*,49.
On parviendrait encore au même résultat si Ton convertissait 19™,! 3 en 1913 centimètres, et qu'on divisât 3i5',45 par 1913 ; on aurait alors le prix du centimètre, qu'il faudrait multiplier ensuite par 100 pour avoir celui du mètre ; or il est évident qu'en employant un diviseur tel que 19,13, cent fois plus petit que 1913, on obtiendra un quotient cent fois plus grand, et, par conséquent, égal à celui qu'on cherche. En divisant donc 3i5*,45 par 19,1 3, on trouvera i6*,49 P^^'^ '^ P^î^ ^^ mètre d'étoffe.
