D ARITHMÉTIQUE. I
On trouve pour le produit demandé 28868,20, en ajoutant une unité au dernier chiffre , parce que les deux qu'on supprime surpassent la moitié de cette unité , c'est-à-dire 5o.
C'est une règle générale, lorsqu'on néglige quelques décimales , d'augmenter toujours de l'unité la dernière que l'on conserve, lorsque celles qu'on supprime surpassent la moitié de l'unité du dernier rang qu'on laisse subsister. Pour en apercevoir la raison , il suffit d'observer que 34,546, par exemple, est plus près de 34,55 que de 34,54.
Le procédé de la division est susceptible d'une abrévia- . tion analogue; mais comme elle exige un plus grand nombre de précautions particulières pour être employée avec sûreté, je ne m'y arrêterai pas.
1G2. On a vu, dans les u*^^ 60, 69 , le parti qu'on peut tirer de la décomposition des nombres en facteurs, pour simplifier les calculs relatifs aux fractions : il est donc important de savoir opérer cette décomposition. L'exemple suivant montrera comment on y parvient.
Soit le^ nombre 36o ; je le divise d'abord par 2 , et j'ai pour quotient 180; je divise ce quotient par 2 , et il vient go , qui se divise encore par 2 , et qui donne 45 : ainsi je vois déjà que 36o est égal à 2 par 2 par 2 par 45. Le nombre 45 n'étant plus divisible par 2 , je le divise par 3 , et j'ai 1 5 , que je divise encore par 3, et qui donne 5 , nombre premier qui ne peut être divisé que par lui-même ou par l'unité : 45 est donc égal à 3 par 3 par 5, et, par conséquent, 36o, à
2 par 2 par 2 par 3 par 3 par 5.
Ces six facteurs, étant des nombres premiers , sont \es facteurs simples du nombre 36o. Il est visible que tout nombre qui n'est pas premier peut toujours ainsi se décompcèser en un certain nombre de facteurs simples ou premiers.
l34 TRilTÉ ÉLÉMENTAIRE
Pour former tous le» diviseurs du nombre proposé , on écrit le quotient qui répond à chaque facteur , et ce facteur, sur deux colonnes , ainsi que le montre la Table cidessous :
6 12 24 18 36 -32 10 i5 20 3o 4o 45 60 go 120 i8c) 36o
Maintenant on voit à la troisième ligne que le nombre proposé a été divisé deux fois de suite par 2 : il est donc divisible par le produit 2 par 2 ou par 4 5 que l'on écrira à côté de 2 , sur la troisième ligne. Le quotient 90 étant de nouveau divisé par 2 , le nombre proposé sera, par conséquent, divisible par 2 foi» 4 ou par 8 : on écrira donc 8 à côté de 2 sur la quatrième ligne. Le quotient 45 écrit à la tète de cette ligne étant ensuite divisé par 3 , le nombre proposé sera évidemment divisible par les produits de 3 multiplié par chacun des diviseurs précédents. : on formera donc , sur la cinquième ligne , les nouveaux diviseurs composés 6, 12, 24. Continuant ainsi de multiplier le facteur simple de chaque ligne par tous les diviseur» qui le précèdent , en observant de ne pas écrire deux foi» le même, on aura tous les diviseurs du nombre proposé.
i63. Lorsqu'on est conduit par le calcul à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont un peu grands, et n'ont cependant aucun facteur commun , on cherche des valeurs approchées de cette fraction qui soient exprimées par des nombres plus, simples , afin de pouvoir s'en former une idée.
Si Fon a , par exempte, le nombre fractionnaire -y;^ , on en extrait d'abord les entiers, et il vient i et fj^'
d'arithmétique. 1 35
Maintenant , pour se former une idée plus simple de la fraction 1^1 9 ^^ cherche à la comparer à une partie de l'unité , afin de n'avoir à envisager qu'un seul terme , et , pour cela, on divise ses deux termes par 2165 on trouve i pour le quotient du numérateur, et 4 rrV poi^r celui du dénominateur ; ce dernier quotient , qui se trouve compris par conséquent entre 4 et 5 , apprend ainsi que la fraction ~\ est entre j et {. En s'arrêtant à ce point, on voit que la seconde valeur approchée de l'expression -y;—- est i et j ou 7, mais que cette valeur est trop forte; car la vraie valeur serait égale à i plus i divisé par 4 et ^, ce qui
s'écrit ainsi : 7-77.
4rîi
Pour se former une idée exacte de l'expression ---^
4rri> " faut la considérer comme indiquant le quotient de l'entier I divisé par l'entier 4 accompagné de la fraction ^.
Si l'on divise les deux termes de ~ par 23 , le quotient
sera — ^—-^ négligeant les jj qui accompagnent l'entier 9,
9 râ il viendra ~ seulement au lieu de ^ , et, par conséquent, I -y-^ sera une troisième valeur appi^ochée de-^TT» valeur
qui sera trop faible , parce que 9 étant moindre que le vrai quotient de 219 par 23, la fraction ^ sera plus grande que celle qui doit accompagner 4î ^^ q^^» P^r conséquent , le diviseur 4 7 sera plus grand que le diviseur exact 4 517 î ^^^^ quotient jj plus petit que le véritable.
En réduisant l'entier 4 ^ivec la fraction qui l'accompagne , et faisant la division suivant le procédé du n^ 80 , il vient ^ -, et l'on a i et ^ ou j^ pour la troisième valeur approchée de \-^^ .
L'expression exacte de cette valeur étant
l36 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
si Ton divise les deux termes de ^-p^"^ 9 î ^^ ^^^^
négligeant la fraction | , il restera
"''th
valeur trop forte : car la fraction ^ étant plus grande que '— j- dont elle tient la place , elle formera , en se joi-
gnant à 9, un dénominateur trop grand; la fraction à joindre à 4 sera alors trop petite , et le dernier dénominateur, étant trop faible, rendra la dernière fraction trop forte.
En réduisant d'abord 9 7 en fraction , il viendra -y : ~~
sera donc ,'3, et la valeur approchée deviendra i —5-.
Or ^^ donne fj^; en y ajoutant l'unité, il vient 1 y| , ou
57 pour une quatrième valeur approchée de Y^. Reprenons l'expression
et (fivîsons les deux termes de la dernière fraction | par 5 ; il vient
négligeant la fraction {, il restera
9ir
d'arithmétique. 1 37
et Ton verrait comme ci-dessus que cette valeur est plus
faible que la valeur exacte.
La fraction -V se réduit à 4 ; puis la suivante ~ don- ^•T ''^ 9ï
nant 5^, celle d'après se change en -^j égale à n\; en
4 as
sorte que la cinquième valeur approchée est i ^ ou ff| .
Divisant enfin par 4 les deux termes de la fraction j qui
a été négligée ci-dessus, j'ai pour quotient —^ •, et en sup-
* 7 primant d'abord la fraction f , j'obtiens la nouvelle valeur
plus forte que la véritable.
Si l'on en réduit successivement tous les dénominateurs en fraction pour obtenir la fraction simple qu'elle représente, on trouvera
En restituant la fraction ] à côté du dernier dénominateur, on forme l'expression
qui , étant réduite comme les précédentes , reproduit le nombre fractionnaire —j^f.
On opérerait de même sur toute autre fraction , et l'on en tirerait une suite de valeurs approchées, alternativement plus grandes et plus petites que sa véritable valeur, si c'est une fraction proprement dite, ou alternativement plus petites et plus grandes, si, comme dans l'exemple précédent, le numérateur surpasse le dénominateur.
Les développements que je viens de trouver pour l'expression—^ sont des fractions continues j que Fou peut, en général, définir ainsi : des fractions dont le dénomi-
l38 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
nateur est composé d'un entier plus une fraction, la^ quelle a encore pour dénominateur un entier plus une fraction^ et ainsi de suite. Cette espèce de fractions jouit de beaucoup de propriétés importantes^ pour lesquelles je renvoie au Complément des Éléments d'Algèbre.
Sur rapplication de rAritlmiëtique à la Banque et au Commeree.
164. A en juger par le grand nombre de règles ou formules que renferment les Traités d'Arithmétique destinés aux banquiers et aux négociants, on croirait qu'il y a pour ces professions une arithmétique particulière , tandis que toute la difficulté de l'application des règles ordinaires ne repose que sur l'intelligence des termes techniques introduits par l'usage, et assez souvent sans nécessité. Quand ces termes sont bien expliqués, quelque calculateur que ce soit rendra toujours en nombre la véritable réponse aux diverses questions qu'on pourra lui proposer.
U escompte et le change sont les opérations les plus usuelles de la banque : oïi a vu (120) comment l'escompte devrait s'effectuer d'après le but qu'on se propose 5 mais les premiers qui l'ont pratiqué ont trouvé plus simple de prélever l'intérêt de la somme entière , comme si c'était cette somme même qu'ils avançassent. [J^ojez la note de la page 92.)
En général, dans les transactions, toute somme dont on ne pourra disposer que dans un temps futur a une valeur réelle moindre que sa valeur nominale , à cause de l'intérêt qu'elle rapporte à compter du moment où on la possède, et, par conséquent, la jouissance anticipée d'une somme augmente sa valeur réelle. De là vient que, pour comparer des sommes payables à diverses époques , il faut tenir compte de l'intérêt qu'elles sont censées produire à celui qui en dispose. Les règles du n^ 120 sont suffisantes pour cet objet, toutes les fois que T intervalle de temps n'excède pas un an , et qu'on n'accumule pas l'intérêt
avec le capital : dans le cas contraire, il faut employer les formules relatives à Y intérêt composé y rapportées à la fin de mes Éléments d'Algèbre,
Le change , qui sert à éviter le transport du numéraire en compensant, les unes par les autres, les dettes que contractent réciproquement des n^ociants de divers pays, conduit à un calcul dont le but est toujours de trouver ce qu'une somme payable dans une place de commerce vaut dans une autre, soit par le rapport de deux sommes regardées comme équivalentes dans les monnaies de ces places, soit par une suite de rapports formés de sommes équivalentes , prises dans les monnaies de diverses places communiquant les unes avec les autres. Le n° 138 offre un exemple général dont les formules particulières ne diffèrent que par la suppression des facteurs qui , dans chaque cas, peuvent être communs au numérateur et au dénominateur des rapports comparés. Les sommes équivalentes qui forment ces rapports sont énoncées chaque jour dans les papiers publics , parce qu'elles varient suivant les circonstances 5 mais ces changements ne font rien à l'esprit du procédé désigné sous le nom de règle conjointe (i).
 l'égard des opérations de commerce, on trouve dans le nP 124 tout ce qu'il faut pour partager les bénéfices ou les pertes résultantes d'une association quelconque: les droits de commission y les retenues , les bonifications, etc., s'évaluant à tant pour 100, comme l'intérêt, se calculent de même 5 les taxes, les impôts, ont des rapports avec les valeurs des marchandises , ou sont établis sur l'unité, soit de poids, soit de volume, et peuvent se
(i) N^ayanl en vue ici que l^opéralion arithmétique, je ne fais aucuno distinction entre les papiers , les monnaies de compte et celles d'or et d''argent ; mais il faut savoir que les rapports de ces dernières dépendent principalement de ceux des quantités de métal fin, c^est-à-diro dW ou d'argent purs qu'acnés contiennent, et que Ton dcttnnine par une opération chimique nommée essai, qui fait connaître ce qu^on appelle le titre. (Yoyeg page i54 )
î4o TBAITÉ ÉLÉMENTAIRE d'aRITHMÉTIQUE.
conclure, pour des quantités quelconques, au moyen des proportions et des fractions.
Enfin , la tenue des Iwres n'est que la manière de disposer les états des valeurs fournies et des valeurs reçues par le négociant , dans un ordre tel , qu'on puisse à chaque instant comparer les unes aux autres, pour en connaître la différence , et établir ainsi la balance entre ce qu'il a et ce qu'il doit.
Caractères usités pour designer les anciennes mesures*
Pour les monnaies :
^ livre tournois, -^ sou, *" denier (157).
Pour le temps :
j jour, *» heure , "* minute, * seconde.
Pour les poids :
tb livre, M marc, Oou 5 once, G ou 3 gros ou dragine, D ou 9 denier ou scrupule , G grain (136).
Observation, — Le denier ou scrupule vaut le -j du gros, ou 24 grains.
Mesures de longueur :
*" toise, P» pied , p° pouce, ^'« ligne, p^ point (131).
Observation, — Les distances se mesurent quelquefois en pas ordinaires estimés 2- pieds, et en pas géométrir|ue$ ou brasses de 5 pieds.
Dimensions exactes de la terre :
Le rayon de Féquateur est de 3 27 1 208 toises.
Le demi-axe, ou la distance du centre au pôle, est de 826144^ toises.
La distance du pôle à Téquateur, mesurée sur le méridien de Paris, est de 5 180740 toises.
Le degré terrestre, qui en est la 90® partie, vaut donc 57 008 toises.
L'arc terrestre d'une minute , ou la 60® partie du degré , est donc d'environ gSo toises.
HESIIMS DE PARIS.
TABLES POUR LA CONVERSION DES MESURES ANCIENNES EN MESURES NOUVELLES, ET RÉCIPROQUEMENT.
TABLES POUR LA CONVERSION DES MESURES USUELLES EN MESURES NOUVELLES, ET RÉCIPROQUEMENT.
f «42 ) OBSERVATIONS
RELATIVES AUX TABLES DE CONVEaSiON DES MESURES ANCIENNES EN MESURES NOUVELLES , ET RÉCIPROQUEMENT.
Dans l'acception mathématique, le mètre (dix-millionième partie du quart de la circonférence de la Terre) vaut o'^'^^jS 18074 ou 443''^^ 9.95 936 etc.
D'après la loi, la valeur définitive du mètre est de 44^''^""! ^96.
Dans les sciences exactes , on fait usage du mètre mathématique, qui est de 443*^'f ^95936 etc.
Mais, dans toutes les opérations administratives et commerciales, on doit employer le mètre légal, qui est de 443'''^'f ^96.
On a formé nos Tables de conversion, en prenant le mètre légal pour base de tous les calculs.
Un METRE vaut 443^^^,296, ou 36/"',94i 3333, ou 3/"\o784444, ou o'*'**,5 1 3 074 074 074...
Une ligne vaut 2'"'^'""',255 829 062. . . '
Un pouce vaut 2***"''"', 706994 87 4 44* ••
Un pied vaut 3^'^"»-,24839384928...
Une toise vaut 1 '^"*i949 o36 Sog 568. . .
Un MiTRE CARRÉ VaUt 1 96 5 1 I ^'Snos carrées^ 34 3 6 1 6 ,
OU 1364/^"'^" ««^",662 108 444, ou 9^''*^ «^'■",476820 19753, ou o'*"' «'"•'^,263245005487...
Une ligne carrée vaut 5'"'^^^''** "'™,o88 764 7583o3...
Un pouce carré vaut ncentimètrts ««'•'•«^ 32 7 821 25 1 95682...
Un pied carré vaut i o^*""*'^* «"•'^'^*,552 062602 81 7 0908...
Une toise carrée vaut 3'^"'" '"'*'*"i798 742 587 01 4 1 52 688...
Un MÈTRE CUBE vaut 87 1 12692^^'^'''«*'*,579598336, ou 5o4i2''''"^« «^•,43783541 57o3,ou29/'^««*-, 178864 488 087, ou o'«"* *'"*', i85 064 1874448...
Une ligne cube vaut ii'"'''''"*'^"'^"*", 4 79 3 88 48 2 9...
Un pouce cube vaut içf^niimètr0s '^«*«,88Ô37457...
Un pied cube vaut 34*^*'"*"^* ^"*",277 255 76...
Une toise cube vaut 7'^''^' *^«**',4o3887 i36...
Ces mesures légales fondamentales conduisent aux mesures contenues dans les Tables ( pages 1 48 , . . . , 1 46) .
La virgule de Tune de ces deux formes , , est placée sur la droite du chiffre des unités.
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