TRAITÉ
De la IVum^^ratioiié
1 . La comparaison des divers objets qui tombent sous nos sens nous fait bientôt apercevoir, dans tous ces objets , un attribut (ou qualité ) par lequel on peut les concevoir susceptibles d'augmentation et de diminution : cet attribut est la grandeur. Elle se montre , en général , sous deux formes diflPérentes :
Tantôt comme une collection de plusieurs choses pareilles ou de plusieurs parties séparées ; on la désigne alors par le mot nombre ;
Tantôt comme un seul tout , sans distinction de parties ; c'est ainsi que Ton conçoit la distance entre deux points , ou la longueur de la ligne qui va de l'un à l'autre , les contours ou les enveloppes qui déterminent la figure et Yéiendue des corps, enfin cette étendue elle-même.
Le caractère propre à cette dernière forme de la grandeur, c'est la liaison qu'on envisage dans ses parties ou leur continuité ^Idinàis que dans le nombre on considère seulement combien il contient de parties, circonstance à laquelle se rapportait d'abord le mot quantité qu on a ensuite appliqué à la grandeur en général, en observant d'appeler quantité continue la grandeur considérée sous la forme continue, pour la distinguer du nombre, qu'on nomme quantité discrète ou discontinue.
ARITHM. 20® édit, I
2. Tout ce qui concerne la grandeur est Tobjet de la science appelée Mathématiques ^ les nombres sont spécialement Tobjet de V Arithmétique .
La grandeur continue appartient à la Géométrie , qui s'occupe particulièrement des propriétés que présentent les formes des corps, par rapport à V étendue,
3. Le nombre, étant la collection de plusieurs choses pareilles ou de plusieurs parties distinctes , suppose l'existence d'une de ces choses ou de ces parties , prise pour terme de comparaison , et qu'on appelle alors unité.
La manière la plus naturelle de former les nombres est de joindre d'abord une unité avec une autre, puis encore une autre avec la réunion des précédentes ^ et en continuant ainsi , on compose des collections d'unités , qu'on exprime par des noms particuliers : l'ensemble de ces noms , qui change d'une langue à une autre , compose la numération parlée,
4. Comme rien ne limite la grandeur à laquelle on peut porter le nombre , puisqu'il est toujours possible , quelque grand que soit un nombre , d'y joindre une unité de plus , on conçoit qu'il existe une infinité de nombres diflerents, et qu'il serait, par conséquent, impossible de les exprimer, dans quelque langue que ce fût, par des noms isolés ou indépendants les uns des autres.
De là sont nées les nomenclatures, dans lesquelles on a tâché de se procurer, par les combinaisons d'un petit nombre de mots assujettis à des formes régulières et par conséquent faciles à retenir, un grand nombre d'expressions distinctes.
Celles qui sont en usage dans la langue française se tirent, à quelques exceptions près, des noms assignés aux neuf premiers nombres , et de ceux que prennent ensuite les collections de dix y de cent et de mille unités.
En effet, les unités se comptent par un y deux, trois , quatre , cinq , six, sept, huit et neuf.
d'arithmétique. 3
Les collections de dix unités ou les dizaiûes, par
dix, vingt, trente, quarante ^ cinquante, soincante, soixante et dix, quatre-vingts , quatre-vingt-dix (i).
Les collections de dix dizaines, ou les centaines , se comptent avec les noms affectés aux unités 5 On dit
cent, deux cents , trois cents ^, . . , neuf cents.
Les collections de dix centaines , ou les mille, se ooriiptent , soit avec les noms affectés aux neuf premiers nombres, soit par dizaines et centaines ; ainsi Fou dit
mille, deux mille,.,., neuf mille, dix mille , vingt mille , etc. , cent mille, deux cent mille , etc.
Les collections de dix centaines de mille , ou de mille fois mille, portent le nom de millions, et se comptent comme les mille.
Les collections de dix centaines de millions , ou de mille millions , se nomment billions , et se comptent comme les millions (2).
Chacune des collections désignées précédemment est considérée comme formant une unité d'un ordre de plus en plus élevé, à mesure qu'on s'éloigne des unités simples* On voit aussi que les noms de dizaine et de centaine se répètent toujours , et qu'il ne s'en introduit de nouveaux, tels que mille, million, billion, que de trois eu trois
(i) Pour rendre régulière cette parlie de la nomeoclature, il faudra!!, commQ Ta proposé Condorcet , substituer ies mots unante et dûante aux mots dix et vingt , et remplacer, ainsi qu'on le fait eucore dans plusieurs parties de la France, les dénominations composées, soixante et dix, quatre-vingts ci qaaire-vin^t-dix , par les mots septante, octante et nouante, 11 est à propos de remarquer que les premières sont le reste d\ine ancienne manière de compter par vingtaines , et d'après laquelle on disait six vingts pour exprimer le nombre cent vingt,
(a) Les billions se nomment milliards dans les calculs de finance.
ordres seulement. Suivant cette loi , aux billions on fait succéder les trillions , quatiillionr, quintillion^ y etc. , qui ont , comme les billions , leurs dizaines et leurs centaines.
Les nombres exprimés de cette manière , lorsqu'il entre plus d'un mot dans leur énonciation, se trouvent décoîn?posés en plusieurs des collections, ou d'ordres d'unités, désignées ci-dessus-, par exemple, le nombre exprimé par cinq cent mille trois cent deux se trouve décomposé en trois parties , qui sont cinq centaines de mille, trois cen-faines d'unités simples et deux de ces dernières unités.
5. La longueur de l'expression en toutes lettres des nombres , lorsqu'ils sont un peu grands, a fait imaginer des caractères exclusivement affectés à leur représentation abrégée ; et de là est venu Part d'écrire les nombres par ces caractères appelés chiffres, ou la numération écrite.
Celle qui est adoptée aujourd'hui suit une marche à peu près analogue à la numération parlée. D'abord, les neuf premiers nombres y sont représentés chacun par un caractère particulier, savoir :
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf.
Quand un nombre est composé de dizaines et d'unités , on en écrit successivement, de gauche A droite, les dizaines et les unités, par le caractère affecté à leur nombre. Le nombre quarante-sept , par exemple , s'écrit 47 î le premier chiffre à gauche , 4 ? marque les quatre dizaines , et a par conséquent une valeur dix fois plus grande que celle qu'il aurait s'il était seul^ tandis que le chiffre 7, placé à droite, exprimant les sept unités, n'a que la valeur qui lui a été d'abord attachée.
On voit dans le nombre trente-trois, qui s'écrit 33 , le chiffre 3 répété deux fois, mais avec des valeurs diflCércoites : le premier, vers la gauche , a une valeur dix fois plus grande que celui qui est à sa droite.
d'arithmétique. 5
C'est là le principe fondamental de notre numération écrite.
Si l'on voulait exprimer cinquante ^ ou cinq dizaines, comme il n'y a point d'unités dans ce nombre, on n'aurait à écrire que le chiffre 5, et il faudrait , par conséquent , indiquer par une marque particulière , que dans l'expression du nombre , ce chiffre doit occuper la première place à gauche ; pour cela , on mettrait à sa droite le caractère o, ou le zéro, qui n'a par lui-même aucune valeur, et qui ne sert qu'à remplir la place des collections d'unités qui manquent dans renonciation du nombre proposé , et l'on aurait 5o.
6. C'est avec dix caractères seulement , et la convention établie ci-dessus , aur la valeur que les chiffres tirent du rang qu'ils occupent, qu'on parvient à exprimer tous les nombres possibles.
Avec deux chiffres, on peut écrire jusqu'à neuf dizaines et neuf unités, ce qui forme 99, ou quatre-vingt-dixneuf. Après ce nombre vient la centaine , qui se marque par le chiffre 1, plus avancé d'un rang vers la gauche qu'il ne le serait s'il exprimait des dizaines ; et pour cela , on met deux zéros à sa droite, ce qui fait 100.
Les unités et les dizaines qu'on ajoutera ensuite pour former les nombres supérieurs à 100 prendront ia place qui leur est propre : ainsi cent un s'écrira en chiffre 101; cent onze s'écrira 1 1 1 . On voit dans ce dernier le même chiffre répété trois fois avec des valeurs différentes. Au premier rang , en commençant par la droite , il exprime une unité, au second une dizaine, au troisième une centaine. Il en est de même dans les nombres 225, 333, 444 , etc. C'est ainsi que , par suite de la convention établie précédemment à l'égard des dizaines et des unités , un même chiffre exprime des unités de dix en dix fois plus grandes , à mesure quon V aisance de la droite vers la gauche, et devient, par un simple changement du
place, susceptible de représenter successivement les dii^erses collections d* unités qui peuvent entrer dans V expression d\in nombre.
7. On écrit donc un nombre sous la dictée, ou d'après son énoncé, en plaçant successivement à côté les uns des autres, en commençant par la gauche, les chiffres qui expriment les nombres d'unités de chaque collection; mais il faut avoir présent à l'esprit Fordre dans lequel se succèdent ces collections, pour n'en omettre aucune, et remplir par des zéros la place de celles qui manquent dans l'énoncé du nombre à écrire. Si c'était, par exemple, trois cent ^vingt-quatre mille neuf cent quatre , on mettrait 3 pour les centaines de mille , i pour les vingt mille ou deux dizaines de mille , 4 pour les mille , 9 pour les centaines ; et comme immédiatement après les centaines viennent les dizaines , qui manquent dans le nombre proposé, on mettrait o pour en tenir lieu , puis on poserait le chiffre 4 des unités : on aurait de cette manière 3 24 904 • De même, avec l'attention de remplir par des zéros les places des dizaines de mille , des mille et des dizaines ^ qui manquent dans le nombre cinq cent mille trois cent deux, on écrira 5oo3o2.
8. Lorsqu'un nombre est écrit en chiffres, pour l'énoncer ou le traduire dans la langue ordinaire, il faut substituer à chacun des chiffres le mot qu'il représente, et, d'après la place qu'occupe ce chiffre, désigner la collection à laquelle appartiennent ses unités. L'exemple suivant éclaircira ceci :
Ci Cu m,
Pi rt
»-• sa
ILLB.
izain entai
[ITÊS
zain ntai
Zm
fi
D ARITUMÉTIQUE. 7
Les chiffres de ce nombre sont partages , par des virgules 5 en groupes ou tranches de trois en trois , en commençant par la droite^ mais la dernière tranche à gauche, qui, dans l'exemple actuel , n'a que deux chiffres, pourra quelquefois n'en avoir qu'un seul. Chacune de ces tranches répond aux collections désignées par les mots unité y mille, million , billion , tnllion, et ses chiffres en expriment successivement les unités , les dizaines et les centaines. On forme, par conséquent, l'expression en toutes lettres du nombre proposé, en énonçant chaque tranche comme si elle était seule, et en ajoutant après ses unités le nom quelles portent.
Pans l'exemple ci-dessus, on lit : vingt-quatre trillions, huit cent quatre-vingt-dix-sept billions, trois cent vingt et un millions, cinq cent quatre-vingt mille, trois cent quarante-six unités,
9. Les nombres peuvent se considérer de deux manières, savoir : comme je viens de le faire , en ne particularisant point l'espèce de chose ou d'unité à laquelle ils se rapportent , et alors on les appelle nombres abstraits ,• ou bien en désignant l'espèce de leurs unités, comme quand on dit deux hommes , cinq années , troisheures , etc. , et ce sont alors des nombres concrets.
Il est évident que la formation des nombres, par la réunion successive des unités , ne tient point à la nature de ces unités^ et qu'il en est de même de toutes les propriétés qui résultent de cette formation , d'après lesquelles on parvient à composer et à décomposer les nombres les uns par les autres , ce qu'on appelle calculer. Je vais donc exposer les principales règles du calcul des nombres , sans avoir égard à la nature de leurs unités.
De rAddition.
10. Cette opération, qui a pour but de réunir plusieurs nombres en un seul , n'est qu'une abréviation de la formation des nombres par la réunion successive des unités. Si , par exemple , à sept on voulait ajouter cinq , il faudrait , dans la suite des noms uriy deux y trois ^ quatre, cinq y six y sept y huit, etc. , assignés aux nombres, s'élever de cinq degrés au-dessus du mot sept^ et Ton parviei^drait alors au mot douze, qui répond, par conséquent, à la réunion de sept unités avec cinq. C'est sur ce procédé que sont fondées toutes les additions des petits nombres, et dont les résultats sont appris de mémoire. Son application immédiate aux nombres un peu grands serait impraticable 5 mais alors on les conçoit décomposés dans leurs diverses collections d'unités , pour effectuer séparément la réunion de celles qui portent le même nom. Pour ajouter, par exemple j 27 avec 3 2, "on réunit les 7 unités du premier nombre avec les 2 du second, ce qui en fait 9 , puis les 2 dizaines du premier avec les 3 du second, ce qui fait 5 dizaines. L'ensemble de ces deux résultats forme un total de 5 dizaines et 9 unités, ou 59, qui exprime la somme des nombres proposés.
Quelque grands que soient les nombres qu'il faut ajouter ensemble , on peut leur appliquer ce qui vient d'être dit 5 mais il faut observer que les sommes partSailes , résultantes de l'addition de deux nombres exprimés par un seul chiffre, peuvent souvent produire des dizaines, ou des unités de la collection supérieure , et qui doivent, par conséquent, être réunies avec celles de cette collection.
Dans l'addition des nombres 49 et 78, la somme des unités 9 et 8 en produit 17, dont il faut réserver 10, ou une dizaine , pour joindre à la somme des dizaines des nombres proposés ; on dira donc 4 ^t 7 font 11, et en y joignant la dizaine réservée, on aura 12 pour la totalité
d'arithmétique. 9
des dizaines contenues dans la somme de ces nombres , qui renfermera , par conséquent , i centaine , a dizaines et 7 unités, ce qui fera 127.
H . En partant de ces principes , on a trouvé une manière de disposer les nombres à ajouter , qui facilite la réunion de leurs diverses collections d'unités , et l'on a formé une règle que l'exemple suivant fera suffisamment connaître :
Soient les nombres 527, 2519 , 9812 , 78 et 8 ^ pour les ajouter ensemble, on commence par les écrire les uns sous les autres , en plaçant les unités de même ordre dans une même colonne , puis on tire un trait pour les séparer du résultat qu'on met au-dessous :
Somme. ^^9^9
On fait d'abord la somme des nombres contenus dans la colonne des unités , et ^ comme on trouve 29 , on n'écrit que les 9 unités , et l'on retient les 2 dizaines pour les joindre à celles qui sont contenues dens la colonne suivante , qui , par le moyen de cet accroissement , contient i3 unités dî^son ordre; on n'écrit encore au-dessous que les 3 unités , et Ton retient la dizaine pour la joindre à la colonne suivante. On opère sur celle-ci comme sur la précédente , et l'on trouve 19 ; on n'écrit encore que les 9 unités, et l'on retient la dizaine pour la colonne suivante, dont la somme est alors composée de 12 unités •, on écrit les 2 unités sous cette colonne , et l'on place la dizaine à la gauche , ce qui revient à écrire la somme de la dernière colonne telle qu'on l'a trouvée. On a, par ce moyen, 12989 pour la somme des nombres proposés.
10 TRAITÉ ÉLÉMËf^TAlRE
i2. Le procédé qu'on vient de suivre peut s'énoncer comme il suit : Écrire, les uns sous les autres, les nombres à ajouter, en plaçant leurs unités de même ordre dans une même colonne / souligner le dernier nombre pour le séparer du résultat^ ajouter successiv^ement , en commençant par la droite, les nombres contenus dans chaque colonne : si la somme ne surpasse pas 9 , Véciite telle qu^on Va trouvée , et si elle renferme des dizaines , les retenir pour les joindre à la colonne suii^ante ; enfin , à la dernière colonne , écrire la somme troui^ée. , On pourra s'exercer sur les exemples suivants :
De la Soustractioii^
13. Après avoir appris k composer un nombre par l'addition de plusieurs autres , la première question qui se présente est d'ôter un nombre d'un autre qui le surpasse , ou , ce qui revient au même , de décomposer celuici en deux parties , dont l'une soit l'autre nombre donné. Si l'on avait , par exemple , le nombre 9 , et qu'on en voulût retrancher 4 ? il serait , par cette opération , décomposé en deux parties qui le reproduiraient par l'addition.
Pour parvenir à ôter un nombre d'un autre , lorsqu'ils ne sont pas considérables, il faut suivre une marche opposée à celle qu'on a prescrite au commencement du n^ 10 , pour trouver leur somme-, c'est-à-dire que dans la suite des noms assignés aux nombres , on doit , a partir du plus grand de ceux que l'on considère, descendre d'autant de degrés qu'il y a d'unités dans le plus petit,
d'arithmétique. 1 1
et Ton arrivera au nom appliqué h la diffiérenqe cherchée : c'est ainsi qu'en descendant de quatre degrés audessous du mot neiifj on parvient à cinq, nom qui exprime le nombre qu'il faut ajouter à 4 pour former 9 , ou qui marque de combien 9 surpasse 4-
Sous ce dernier point de vue, 5 est V excès de 9 sur 4- Si l'on ne voulait que marquer l'inégalité des nombres 9 et 4 5 sans fixer l'attention sur l'ordre de leurs grandeurs , on dirait que leur différence est 5. Enfin, si Ton faisait l'opération pour ôter 4 de 9, on dirait que le reste est 5. On voit que, quoique synonymes, les mots reste j excès, différence répondent chacun à une manière particulière d'envisager la décomposition du nombre 9 dans les deux parties 4 et 5 , opération qu'on désigne toujours par le nom de soustraction,
14. Lorsqu'il s'agit de nombres un peu grands, la soustraction s'opère par parties, en retranchant successivement des unités de chaque ordre , marquées dans le plus grand des deux nombres, celles des ordres correspondants , marquées dans le plus petit. Pour le faire commodément , on dispose ces nombres comme 9587 et 345 4ans l'exemple ci-dessous :
Reste 9^42
et l'on place au-dessous de chaque colonne l'excès du nombre supérieur sur le nombre inférieur contenu dans, cette colonne , en disant :
5 ôtés de 7, reste 2, 4 ôtés de 8, reste 4> 3 ôtés de 5, reste 2;
et, posant ensuite le chifire 9, duquel il n'y a rien à ôter, le reste 9342 marque de combien 9687 surpasse 345.
L'exactitude du procédé qu'on vient de suivre est incontestable, puisqu'en étant du plus grand des deux nombres toutes les parties contenues dans le plus petit, on a évidemment ôté ce plus petit.
15. L'application de ce procédé demande quelques attentions particulières , lorsque quelques-uns des ordres d'unités du nombre à retrancher en contiennent plus que les ordres correspondants de l'autre nombre.
Soit, par exemple, 897 à retrancher de 524:
Reste 127
Dans l'opération figurée ci-dessus, on ne pourra pas ôter immédiatement les unités du nombre inférieur de celles du nombre supérieur; mais le nombre 524, représenté ici par 5 centaines , 2 dizaines et 4 unités , peut être exprimé d'une manière différente , en décomposant quelques-unes des collections d'unités qu'il contient, pour en réunir une partie avec d'autres d'un ordre inférieur. Au lieu des 2 dizaines et 4 unités qui le terminent, on peut substituer par la pensée i dizaine et i4 unités^ retranchant alors de ces dernières les 7 unités du nombre inférieur, on écrira au-dessous le reste 7. Par cette nouvelle décomposition, le nombre supérieur ne renferme plus qu'une dizaine , dont on ne saurait , 'par conséquent , ôter les 9 du nombre inférieur 5 mais sur les 5 centaines exprimées dans le nombre supérieur, on peut en prendre 1 pour la joindre avec la dizaine restante, et l'on aura alors 4 centaines et 1 1 dizaines : retranchant de celles-ci les 9 du nombre inférieur, il en restera 2. Enfin on ôtera des 4 centaines laissées dans le nombre supérieur, les 3 du nombre inférieur; on écrira le reste i , et Ton aura 1 27 pour le résultat de l'opération proposée.
Cette manière d'opérer consiste, comme on voit, à
d'arithmétique. 1 3
emprunter dans l'ordre supérieur une unité pour la joindre, suivant sa valeur, à celles de l'ordre sur lequel on opère , en observant ensuite de compter pour une unité de moins le chiffre supérieur lorsqu'on y arrivera.
16. Quand il manque des ordres d'unités dans le plus grand des deux nombres , c'est-à-dire qu'il y a des zéros entre ses chiffres significatifs , il faut s'avancer jusqu'au premier de ces chiffres, à gauche, pour faire l'emprunt convenable. En voici un exemple :
Reste 3507
Ne pouvant ôter les 5 unités du nombre inférieur des 2 du nombre supérieur, on retire 10 unités des 7000 marquées par le chiffre 7, il en reste alors 6990, et en joignant les 10 premières au chiffre 2 , le nombre supérieur se trouve décomposé en 6990 et 12 -, retranchant de ce dernier nombre les 5 unités du nombre inférieur , on aura 7 pour les unités du reste.
. Cette, première opération a laissé dans le nombre supérieur, 6990 unités ou 699 dizaines, au lieu de 700 qui sont exprimées par les ti ois demieis chiffres à gauche , ce qui remplace , par conséquent , les deux zéros par des 9 , et diminue de l'unité le premier chiffre significatif à gauche. En continuant sur ce pied la soustraction dans les autres colonnes , elle ne souffre aucune difficulté , et l'on trouve le reste écrit au-dessous de l'exemple.
17. En résumant les remarques qu'on a faites dans les deux numéros précédents , la règle à suivre pour opérer la soustraction sur deux nombres quelconques peut s'énoncer ainsi : Placer le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que leurs unités^ de même ordre
t4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
soient dans une fnéme èolonne^ souligner le plus petit pour le séparer du résultat ^ retrancher successii>ement , dans chaque colonne, en commençant par la droite , le nombi'e inférieur du nombre supérieur: si cela ne se peut, augmenter le chiffre supérieur de lo unités^ compter le premier chiffre significatif qui vient après celui-là pour'i unité de moins y et s'il y a des zéros intermédiaires , les regarder comme des g,
18. On peut, pour plus de facilité, lorsqu'il faudrait diminuer le chiffre supérieur d'une unité, le compter pour ce qu'il vaut, et joindre cette unité au chiffre inférieur correspondant , qui , se trouvant augmenté , conduit, ainsi que cela doit être, à un reste moindre d'une unité, que celui qui résulterait des chiffres écrits. Dans le premier des exemples ci-dessous, après avoir ôté 6 unités de i4? on comptera le 8 inférieur pour un 9, et ainsi des autres :
De la preu^^e de rAddltion et de la Soustraetion.
19. En effectuant une opération, d'après un procédé dont la légitimité est établie sur des principes sûrs , on peut encore commettre quelques erreurs dans les additions ou soustractions partielles dont on cherche le résultat dans sa mémoire ; pour prévenir cet inconvénient, on a recours à une opération inverse de la première , au moyen de laquelle on reconnaît si les résultats de celle-ci sont exacts : c'est ce qu'on appelle faire Isipreuy^e de l'opéralion proposée.
Celle de l'addition consiste à retrancher successivement
d'arithmétique. i5
de la somme des nombres ajoutés , toutes les parties de ces nombres 5 et si Fopération a été bien faite , on ne doit trouver aucun reste. Je vais montrer sur l'exemple du n** H comment on effectue toutes ces soustractions ;
Somme égale
On ajoute d'abord le^ nombres contenus dans la colonne la plus à gauche, qui renferme ici des mille, et Ton retranche la somme 1 1 du nombre 1 2 qui commence le résultat. On écrit au-dessous la différence i , produite par la retenue faite sur la colonne dés centaines , dans l'opération primitive. La somme de la colonne des centaines, prise isolément, ne s'élève plus qu'à 18 ; si on la retranche des 9 centaines écrites au résultat et jointes au mille provenant de la colonne précédente , à gauche , et considéré comme I o centaines, le reste i , écrit au-dessous , marquei*a encore la retenue faite sur la colonne des dizaines. La somme i z de celle-ci , retranchée de i3 , laisse pour reste 2 dizaine» provenant de la retenue faite sur la colonne des unités. En joignant ces 2 dizaines avec les 9 Unités marquées au résultat, on forme le nombre 29, qui doit être précisément la somme de la colonne des unités , sUr laquelle aucune autre n'a pu 'influer : en ajoutant donc de nouveau les nombres contenus dans cette colonne , on doit encore, si l'opération a été bien faite, parvenir au même résultat et n'avoir, par conséquent , aucun reste. C'est ce qui arrive, en effet, dans l'exemple actuel , et ce que marque le o écrit sous cette colonne. Le procédé que je viens d'expliquer, se résume ainsi : Pour faire la preuue de V addition.
l6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
il faut ajouter de nouv^eauy en commençant par la gauche ^ chacune des colonnes de V opération ,• retrancher la somme obtenue en dernier lieu y de celle qui est marquée au-dessous^ écrire les restes qiCon trouK^e^ et les joindre comme des dizaines à la colonne suiv^ante à droite : si V opération a été bien faite y il ne doit rien Asster à la. dernière colonne, *
20. La preui^e de la soustraction se tire immédiatement de ce que le plus petit nombre ajouté a^ec le reste compose le plus grand. Ainsi , pour s'assurer de l'exactitude de la soustraction suivante :
Reste 227
on a ajouté au reste le plus petit nombre , et le résidtat s'est trouvé, en effet, égal au plus grand.
De la UlultipUcation.
21 . Lorsque les nombres à ajouter entre eux sont égaux, Faddition prend le nom de multiplication , parce que la somme est alors composée de l'un de ces nombres répété autant défais quïl y avait de nombres à ajouter y réciproquement, si Ton veut répéter un nombre plusieurs fois , on y parviendra en ajoutant ce nombre à lui-même autant de fois, moins une, qu'il doit être répété. Par exemple , par l'addition suivante :
d'arithmétique. 1 7
on r^ète le nombre i6 quatre fois, et il se trouve ajouté trois fois à lui-même.
Répéter un nombre deux fois , c'est le doubler^ trois fois, c'est le tripler^ quatre fois, c'est le quadrupler^ et ainsi de suite,
22. Une multiplication renferme trois nombres, savoir : celui qu'on répète, et qui s'appelle multiplicande^ le nombre qui désigne combien de fois on le répète , et qui s'appelle multiplicateur^ enfin le résultat de l'opération 5 qui se nomme produit. Le multiplicande et le multiplicateur^ considérés comme concourant ensemble à former le produit , sont appelés facteurs de ce produit. Dans l'exemple ci-dessus, i6 est le multiplicande ^ 4 le multiplicateur, 64 le produit; et l'on voit que 4 et i6 sont des facteurs de 64-
23. Lorsque le multiplicande et le multiplicateur sont de grands nombres, la formation du produit par l'addition répétée du multiplicande prendrait un temps trèsconsidérable 5 on a cherché , en conséquence , à l'abréger, en la décomposant en un certain nombre d'opérations partielles, faciles à effectuer de mémoire. On répéterait, par exemple, quatre fois le nombre i6 , en prenant séparément le même nombre de fois les 6 unités et la dizaine dont il se compose : il suffit donc de connaître les produits que donnent les nombres d'unités de chaque ordre du multiplicande par le multiplicateur, lorsque ce dernier nombre n'a qu'un seul chiffre-, et cela revient, pour tous les cas possibles , à trouver le produit de l'un quelconque des neuf premiers nombres par tout autre de ces nombres.
24. Ces produits sont contenus dans la Table suivante , attribuée à Pythagore :
A&iTHM., ao' éclU,
