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dont les termes ne peuvent être divisés par un même nombre , ou n'ont aucun diviseur commun , sont irréductibles^ et l'on ne saurait , par conséquent , exprimer d'une manière plus simple les grandeurs qu'elles représentent : c'est ce qui sera prouvé en Algèbre.

60. Il suit de là que, pour simpliGer une fraction, il faut essayer de diviser ses deux termes par quelques-uns des nombres 2, 3, etc. 5 mais, par ce tâtonnement, on n'arrivera pas toujours à la plus simple expression de la fraction proposée , ou au moins il faudra souvent effectuer un grand nombre d'opérations.

Si l'on avait, par exemple, la fraction y^ , on pourrait remarquer d'abord que chacun de ses termes est un multiple de 2 , et en les divisant par ce nombre , on obtiendrait — ^ divisant ensuite par 2 les deux termes de cette dernière, on en déduirait ~,

Quoique déjà beaucoup plus simple que la proposée,

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celte fraction est encore susceptible de réduction 5 car on peut diviser ses deux termes par 3, et l'on obtient alor6 f .

Si Ton fait attention que diviser un nombre par 2, puis^ diviser le quotient par 2 , puis encore ce nouveau quotient par 3, c'est la même chose que de diviser d'abord le nombre primitif par le produit des nombres 2 ^ 2 et 3, ce qui revient à 1 2 , on verra que les trois opérations ci^ dessus peuvent s'effectuer en une seule fois , en divisant les deux termes de la fraction pi^posée par 1 2 , et l'on aura encore | .

Les nombres 2, 3, 4 ^^ ^^ divisant, chacun en même temps , les deux nombres 24 et 84, sont les diviseurs communs de ces nombres; mais 12 se distingue des autre» parce qu'il est plus grand, et c'est en employant ce plus grand commun dn^iseur des deux termes de la fraction, proposée, qu'on la réduit tout d'un coup à sa plus simple expression. C'est donc une recherche utile que celle-ci : Deux nombres étant donnés, tromper leur plus grand commun dwiseur.

61 . On arrive à la connaissance dû commun diviseur de deux nombres par une espèce de tâtonnement facile à découvrir, et qui a l'avantage d'aJ)procher du but à chaque essai qu'on fait. Pour l'expliquer clairement, je vais prendre un exemple.

Soient les deux nombres 637 et i43 \ le plus grand diviseur commun à ces nombres ne saurait évidemment surpasser le plus petit des deux : il convient donc d'essayer si le nombre i43, qui se divise lui-même, et donne pour quotient i . peUt diviser aussi le nombre 637, auquel cas il serait lui-même le plus grand diviseur commun cherché. Mais, dans l'exemple proposé, cela n'arrive pas, et l'on trouve un quotient 4 et un reste 65.

Maintenant, il est visible que tout diviseur commun aux deux nombres 637 et i43 doit diviser aussi le reste 65 de leur division ; car le plus grand, 637 , est ^al au plus

petit, 143, multiplie par lequotienl 4 9 plus le i*este65(SO). Or, en divisant 637 par le diviseur commun cherché , on ^ura un quotient exact : il faut donc qn^on en ait aussi un semblable , en divisant par le même diviseur chacune des parties dans lesquelles 63^ est décomposé, et en réunissant les résultats. Mais le produit de i43 par 4 se divise nécessairement par le diviseur commun, qui est facteur de 143 : il faut donc que Tautre partie, 65 , se divise aussi par ce diviseur, sans quoi le quotient total serait un enlier accompagné d'une fraction , et ne pourrait, par conséquent , égaler le nombre entier résultant de la division de 637 par le commun diviseur.

Réciproquement, tou( diviseur commun à 65 et à i43 divisera 637 , composé de 4 fois i43 et de 65.

Par le même raisonnement , on prouvera , en général , que tout diviseur commun à deux nombres doit dii^iser te reste de la division du plus grand des deux par le plus petit y et que tout diviseur commun à ce plus petit nombre, et au reste, doit diviser le plus grand.

D'après ces principes, on voit que le plus grand commun diviseur des nombres 637 et i43 doit l'être aussi des nombres i43 et 65 , et que celui de ces derniers doit l'êlre de 637 et de 143 ; mais 65 ne pouvant être divisé par un nombre plus grand que lui-même , il faut donc l'essayer d^ abord. En divisant i43 par 65 , on trouve un quotient 2 et un reste i3 : 65 n'est donc pas le diviseur cherché. Par un raisonnement semblable à celui qu'on a fait à Tégard des nombres 637 , i43 et du reste 65 de leur division , on verra que le plus grand diviseur commun de i43 et de 65 doit l'être aussi des nombres 65 et i3 ; or le plus grand diviseur commun de ces derniers ne saurait surpasser i3 : il faut donc essayer si i3 divise 65, ce qui arrive, puisqu'on a pour quotient 5.

Donc i3 est le plus grand diviseur commun cherché, puisque étant le plus grand diviseur commun de lui-

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même et de 65, il doit l'être de 65 et de 143, et que 1 étant de ces nombres , il doit l'être de i43 et de 687.

Il est commode dans la pratique de placer les divisions successives à la suite les unes des autres, et de disposer l'opération comme on le voit ci-après ,

en séparant les quotients 4 9 2 , 5 , des restes placés audessous.

Les raisonnements employés dans l'exemple précédent , pouvant s'appliquer à des nombres quelconques , conduisent à cette règle générale : On trompera le plus grand commun di\^iseur de deux nombres, en dmsant le plus grand de ces nombres par le plus petit, divisant ensuite le plus petit par le reste de la première division , puis divisant ce reste par celui de la seconde division, puis divisant ce second reste par le troisième reste ou celui de la iroisième division, et continuant ainsi de diviser le reste de chaque opération par celui de la suivante, jusqu'à ce quon parvienne à un quotient exact : le detrtier diviseur^ sera le plus grand commun diviseur demandé,