AFFÉRENTS A LA PAGR^HÔ

Sur la dfividoppce de l ellipse, %et sur ses ray on s

, - . oSculaledrs. M m y#. t

Pour pn ciwrJrs considérations exposées dans le § U50, jo jotns^fl*î rjtte! -

un details anal) tiques) i|uo je tire dés formules démontrées par'I.oetolt

L'équation de cette courte sera .'V- i» a ■ ^ ,

De là on tire

ire Iqs Cpel

< iLm .JM.) v

Dicients différentiels

HNmP *

djr

dxx

nomme y, on trpuru comme lui, pago qôr, '

** ’ sàf

Lu les substituant dans l'expression du ravoii ujctilatrur que Lacroix

Aux sommets de l'axe polaire wtfî =:o et r — ^ b i 00 a ajonc alo

-o s-Sg* * *

Aux sommets dé t axé équatorial AA, ,

' ÎFT7 a

Ane aj^rs

Dans chaque cas 1c rayon y doit, par définition ,*étre porjî sur la <lorin*|.

L wa combe. C'est

càfle rayon y doit, par délAlli du point léonsiaéré , 1 partir de ce point intérieurement I pourquoi je ue lui attribue pas de signe ptdfire. Les râleur» que ces expressions lui attribuént sont conformes aux énoncés que j'ai donnés dans le texte. •

S. Lorsqu'on substitue les mêmes coefficients dilférétiticls dans les expressions des coordonnées rectangulaires du centre d’osculation que Lacroix nomme * et fi à la page citée, en les prenant, comme lui, parallêleshni r,y.

AS'I Ht *.MlM I K «

et leu cornpluut aussi du ceittru.0, «celte substitution donne

«■l en f.iisanl.eomine dans le texte, ■ • v '

. , la’ — i’) ~

. C -, f*1 t^fVrvC). , . »

■■Ife:. détiennent ‘v %' *■ fc •

* > JP/F1- * -, A •

Sous cette forme simpfr, on voit <|ho, J>our chaque jiojnt iùj l'ellipse dont les coordofnfijc^fipnt.r,/, lès Seftx, coordonnées’ «J ,$ dp cofctrO dlosni’uMion » décroissent simn1tan, ment avec l’esceotricÇte dont le carré vil représente par e*. Kotiç, c yo^ deviennent jinllcs quamljc/esp uplVrn’St-h-dite qujral * l'utlipse devient un cercle v auquel, cas les cent»», doscula lion t après t’iirt rapp^ehés progressivement du centre O, lipissetaphr coïncider tons 1 atra^iu.. , • . * * / é-\ %

5. K* ftiftimàiit i’ <le* f équation de l'ellipse par |on'expta?ssion en d, cette équalib^fUsvicnL

, ’JÈTV^ -Vf £f. -r'),-’ l *"*'

Prene* les valeurs de -r et de * ch « et .3, puis substituer. -1er dans celle-ci, .vtJUSjjOurez le lien,(;eiHrijlj|des «çiftres d’osculation, c’est-à-dim TmikUiot t-ra J,Jclarrcr, et «.prés la suppression dés Csd.-nré flllf sero J^ramass

ani^fleiix^nrmbW^s , vong iroiworcz poilr rcstritdt* X> m

<WlU*.-.|t..-,li,.n conipren.l le, quatre branche» de la d, > . lopive 'qui r I* (^iialce qundifnniÿ de llipjj^ot qui sont toutes parciln**;

corres-

Il y a done pour ce cas deux vofenr. de r. bsei.se » , lesquelles sont

tLTt: rrndl“" l‘Tl qirt e#l *•*•* P« U^an, la jfr J,, et son lomuloguo t, , situe symétriquement de l'autre (été ,

centre O. Ces valeurs s'accordent à donner — pour la longueur du rayon

oscillateur aux deux sommets A., A, de l'ellipse , comme nous Tarions déjà trouvé directement.

Cherchons de même io point où la développée coupe l’axe polaire des y. Alors il faut faire a nul , et l’équation donne

rt r*

d’où résultent ces deux valeurs

a élant supposé plus grand que 4 dans la fig. 3a , la seconde racine fi, y est négative. Elle répond au point désigné par Cp. C’est le centre d’osculation du sommet P. La première racine, au contraire, est positive. Elle répond au point homologue désigné par Cr, qui est le centre d’osculation du commet inférieur P,. Ces résultats reproduisent encore ceux que nous avions trouvés directement pour les rayons d'osculation aux sommets P, P,.

On trouvera de même tous les autres points des quatre branches de ln développée qui correspondent aux quatre quadrants de l’ellipse, en attribuant à leurs abscisses a, ou 4 leurs ordonnées fi, les valeurs, soit positives, soit négatives, pour lesquelles on veut les déterminer.

4. Maintenant, pour donner à l'expression du rayon osculateur y la forme rapportée dans lo texte, reproduisons, Jig. 34 , une ellipse pareille 4 celle de la fig. 3a, afinde ne pas compliquer celle-ci. En un point quelcouque'Mde cette courbe, mener une normale MN terminée 4 l’oxe 4. On démontre, dans le» cléments de géométrie analytique, qu’elle coupe cet axe sous un angle MNP, ou d, tel qu’on a

langd = — = -(t — e’1:

ay y' '>

cela se voit, en eOét, immédiatement, d’après la valeur du coefficient différentiel — rapportée plus haut. ,

Tirci y en x de cette expression, et substituez-le dans l’équation de l’ellipse mise sous la forme

il en résultera et, par suite.

, . o’sin'd

1 • — el cos’d’

t o’(t — r’J’cbs' d I — e* eus* d

Mettes maintenant ce§ valeur» dans l'expression du rayon oscillateur, en coordonnées rectangulaires , qui est

eu , en remplaçant b * par sa valeur — e*),

Après avoir supprimé les facteurs communs aux deux termes do la fraction et remplacé sin* d -h cos* d par î, vous trouverez

[i — e% cos *</]*

c'est l'expression que j'ai rapportée dans le lexte.

Pour avoir les coordonnées a, ,3, du contre d'osculation exprimées aussi en fonction de l'angle d, il n'y a qu'à reprendre leurs valeurs en coordonnées rectangulaires x, jry que nous avons trouvées être

Si l’on remplace x, y , par leurs équivalents tirés des équations (3), en attribuant à l’un et à l'autre le signe positif qu’elles ont dans le quadrant PA, on aura, pour les centres d'osculation qui y correspondent :

a e1 sin3 d " 7 ’

(i — c* cos’d)2

a e* (i — e*) cos3 d

(i — <?* cos* d)7

C. Pour obtenir l'expression de la normale N sous une forme analogue , il faut remarquer que dans le triangle rectangle JN EM, où ME est x, elle est

égale à — - • Employant donc la valeur ci-dessu9 de x* en d, vous aurez w sin d

(i — e* cos*d )*

11 est quelquefois utile d'avoir ON , distance du centre do l'ellipse nu point IS, où la normale rencontre l'uxe polaire. Cette distance, considérée comme positive vers P, , a évidemment pour valeur Ncosd-— y. Mettant pour N et s leurs valeurs en d, on trouve

(,) OM= -C°Sd ,■

m (i— -c* cos * d}*

7 Le rayon vecteur central R. ou OM, est également facile à obtenir sous la

niànc forme, puisque son carre cal évidemment égal à ï,+7*. Faisant donc la somme de ces expressions et dégageant la portion l — e * coV d qui se trouve commune au numérateur ainsi qu’au dénominateur, on aura

I — c* cos’ «J F i — e cos* d J

Lorsque e’ est une quantité très-petite, comme dans les ellipses des méridiens terrestres , ces expressions sont très-aisées à développer en séries rapidement convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes de e* ; et il est également très-facile d'avoir les expressions de leurs logarithmes tabulaires développées sous la même forme.

8. Enfin, on peut aussi vouloir connaître l'angle MOP que le rayon R forme avec l'axe polaire OP. Je le désignerai désormais par la lettre D. Sa

tangente trigor.ométrique est évidemment égale h X- Cola donne

tang U —

tang d i — cr#

Cet angle diffère ainsi très-peu de d lorsque e * est une quantité fort petite, comme dans les ellipses des méridiens terrestres. De là on pourrait aisément déduire la tangente de la différence D — d, différence représentée dans notre figure par l’angle OMN que je nommerai e. Mais l'expression de cette tangente ne se prêterait pas à un développement toujours convergent. C’est pourquoi il vaut mieux chercher l'expression de son sinus. Or, cela est trèsfacile. Car d'abord, on a évidemment

sin D = ^ =

sin d

r. y (i— e*)cosd

Tî cosD = Rr- * L

f I — t% (a — e1) cos1 d]1

[ l — e’ (a — <•’) cos* J]'

Or, on a identiquement

sin(D — d) = sin D cotd — cos L) siurf.

Substituant les valeurs précédentes de sin D et cos D, puis réduisant les termes du numérateur qui sc compensent, on trouve

sin (D — d) = -

{ r’sin ad

[i — e*(a — e1) cos* dp

expression qui peut aisément se développer en une série toujours convergente lorsque e* est une fraction très-petitede l’unité, comme dans les ellipses des méridiens terrestres.

D'après cette valeur générale, l'angle D — d ou e devient nul quand d est égal à o° ou go°. En effet, dans ces deux cas , le rayon R et la normale N s o confondent en une même direction , qui coïncide nvre l’axe h on l’axe a. Entre ces deux limites extrêmes , la plus grande valeur de D — d a lieu , à

très-peu de chose près, lorsque*/ = jjfi0; ce ^nd *'°2^ égal ® Punite. Donnant donc à d cette valeur, on a pour ce cas :

•in (D — d) = *

Prenons , avec Dclambre ,

e* = 0,006469.502 { , ce qui répond à l'aplatissement « = 0,00 3 24.

En réduisant le second membre en nombres et cherchant d dans les Tables trigonomélriques par la valeur du logarithme de sa tangente , on trouvera

Dclambre, dans les trois volumes de son ouvrage intitulé : Base du système métrique , a présenté les développements des expressions (1), (a), (3), (4)» sous diverses formes de séries convergentes convenablement préparées pour composer des Tables numériques continues de leurs valeurs. Il 11e restera qu’à étudier les diverses modifications qu’il leur fait subir pour les approprier à ce bu).

9. Les expressions établies dans les paragraphes précédents vont ine servir pour démontrer l'importante proposition que j'ai énoncée dans le texte, page 188, § fl&f. A cet effet , revenant à la fig. 3a, je prends sur une partie quelconque du quadrant elliptique PA trois points M,, M,, M,, tels que les normales menecsaux deux extrêmes forment, avec la normale intermédiaire, des angles ta égaux entre eux, classez petits pour que l’on puisse considérer comme négligeable le produit du cube de leurs sinus par le carre e* de l'excentricité de l'ellipse, ce qui permettra de les étendre jusqu’à 2° ou même davantage. Jo désigne généralement par d l’angle que ta normale intermédiaire M, N, forme avec l’axe polaire , de sorte que les deux autres feront respectivement, avec ce même axe , les angles d — uctif + u, w étant restreint aux limite» ci-dessus spécifiées. Cela posé, soit C, le centre du cercle qui est osculoleur en M,. Je mène d’abord, à partir de ce centre , la droite Cf M,. dirigée au point M,, et je vais chercher l'angle qu'elle forme avec l’axe polaire. Quand nous l'aurons obtenu, il suffira d'y changer — ta eu -f-M pour avoir l’angle analogue <j, , relatif à la droite similaire C, M,, menée du môme ceulre de courbure Ct au point Ma.

Or, en nommant xt , y, les coordonnées rectangulaires du point M, , et a , fl celles du centre de courbure C, , on aura évidemment, selon l’acception generale et usuelle des formules algébriques ,

la ngrf,

Il ne reste qu'à introduire dans le second membre les expressions des coor données u , fl

PII YSIQH F. .

PIIYSIQUF.. 22£

Formons d'abord celles des points M, , M,. Comme ils sont situés sur le quadrant positif PA de l'ellipse, on les conclura des formules (3) en y mettant pour d les valeurs particulières à chacun de ces points. On aura donc ainsi

a! i — e*)<joa {d — m)

<*sin ( d — ai) x, — — |

[ i — el cos* {d — ai)]*

a sin d

(l — r’cos’d)*

fl — e’cos *(d— a> J* a ( i — #?’) cos d (l — e’cos’d)’

Maintenant , le centre de courbure C, étant situé sur la normale intermédiaire, menée par le point M, du quadrant PA, ses coordonnées «, /3, seront, d’après les formules (5) ,

m1 iini d î ne’/i — }Ç*)cos*d

(l — e’cos’d)*! (i — e*cvê*d)*

Et après les avoir substituées, conjointement avec x„/„dini l'expressiondo iangd,,on pourra aisément lui donner celte forme :

c* sins d

[I — t* cos* (d — ai)]*

tang (d — ai)

| sinfd— «)

(l — e* ros* d)*

c* cos3 d

[1 — e* cos’ (d — ai)) *

1 1 "4- — — — — — l cos (d — ai)

(l — e* coi* d)*

3L« facteur compris entre les parenthèses ne diffère «le Puni lé que par des termes de l’ordre <*’. Je bornerai son développement à la première puissance de e*,el la suite du calcul fera voir que cette limite est parfaitement suffisante, étant combinée avec la petitesse convenue de l'angle ai. Alors les radicaux qui entrent dans cette expression devront être réduits à l'unité; et si l'on reporte le terme on e* du dénominateur au uumératcur, par la division, «ii ne l'y conservant qu’à sa première puissance, comme nous sommes convenus de le faire, on aura

u„g0>i=ü?L<^{ ,e. r »in?d ^.-cOT:d n.

I — c1 | | sin [d — «) cos (d — w)J /

Pour développer les rapports dont la somme compose le coefficient dee*, je mets d sous la forme équivalente d — ai-t-ai, ce qui donne

si ri d = sin (d — ai) cos ai H- cos (d — âi)6in ai = si n(d— cos (d — w) sin a»

— 2 sin (d— m) sin* \ ai ,

oosd = cos (d — &j) cos ai — sin (d — w) sin ai = cos (d — m) — sin(d — a») sin «

— 2 cos (d — a») sin* -J ai.

En faisant usage de ces expressions dans le terme multiplié parc%je*up-

poserai l'angle 6> assex petit pour que l’on puisse y négliger le cube et les puissances supérieures de sou sinus. Cela permettra de remplacer a sin * i«, dans les seconds membres, par ) sin*». Alors, si l'on élève les deux; membres de chaque équation au cube par la formule du binôme, en se restreignant à cette limite d'approximation, puis qu'on divise lespectivement ces cubes par sin ( d — a») et coi (d — «.>), on trouve

sin* d sin (d — w)

= sin1 (d — &>)-»- 3sin (d — *i)cos (d — &i)&iuu -4- 3[ — -jsin* (d — ai) -t-cos* (d — w)] sin* w,

— — r = cos1 (d — w) — 3 cos (d — w) sin (d — w) sin w

cos (d — w)

-î-3[— ) cos* (d — b») + sin* (d — eu)] sin1 eu.

En ajoutant ces deux équations pour former le coefficient de «r*, les deux termes qui contiennent sin tu à la première puissance se détruisent mutuellement, et tous ceux qui contiennent sin* (d — eu) ou cos1 (d — eu) se réunissent en autant de sommes, égales chacune à l'unité ; il en résulte donc

sir»3 4

sin (dr— w)

cos3 d

co» (d — tu)

- 1+ v Sll»' 6>.

Ainsi, dans l'ordre d'approximation auquel nous nous sommes restreints, le coefficient de r* se trouve être indépendant de d; et comme il ne contient que le carré de sinw, il restera le même si l'on change + «en — eu poui obtenir tang o, au lieu de lange?,. Substituant donc cette valeur dans les expressions de ces tangentes, et efTectuant la division par i — <•*, on aura définitivement

et de même

tang o', = tang (d — «*} £ I tang = tang (d w) i

sin* u

sin* 6i

On voit que nous avons pu très-légitimement ne conserver que la première puissance de e*, puisqu'on définitive elle se trouve multipliée par sin’ eu.

10 o*, et sont les angles que les droites CtMn C,M, forment respectivement avec l'axe polaire PP, de la Jtg. 3a. D’après les expressions trouvées ici pour leurs tangentes, le premier est plus petit que d — eu, et le second plus petit que d-+-w, comme le représente notre figure, et comme l'exige évidemment la forme de la développée. Mais, pour une même valeur de d, ces deux différences sont égales entre elles, aux quantités près de l'ordre du cube de eu, ce qui rend l'angle M,C, M( égal à l'angle compris entre les deux normales dans les mêmes limites d'approxihiation. (''est aussi ce que le calcul démontre quand on déduit des expressions précédentes l'angle ©, —

En ciful , on a

tang J, — tang ■},