I -t- tango, tango

ou, on laUant, pour abroger, c‘ = -

tang(J,— o'J= (t — e’sin'w;

tang (d- \-'a) — laag {d — ai)

- tang (d — ai) tang (d~h ai)(t — c’ sin*oi)

Puisque nous négligeons le cube de sin «o,le facteur carré qui entre au dénominateur du second membre doit être réduit à I — 2c* sin* ta Cela étant fait , multipliez les deux termes de la fraction par cos*(d— ta) cos (d-*-<u) ; et, en réunissant les termes qui s'associent , on aura pour résultat

tang(o\

0\) = tang2

1 — c* sin*M

•jc* sin (d-^ «}sin(d-i-w) cos aw

On voit , par celte expression , que l'angle àt — Æ, compris entre les doux droites C,M,, C,M,, Jig. 3*j, diffère de l'angle aw compris entre les deux normales , seulement par des termes qui seraient de l'ordredu cubo de shio* multiplies par c*; de sorte que cette différence serait tout à fait inappréciable aux observations , même quand l'angle forme autour de la normale moyenne s'étendrait jusqu'à 2°.

II. Mais ceci est un effet de compensation, comme le montre 3 j,.

Car, dans ces limites d'amplitude, chacun des angles d, , <f, diffère notablement de l'angle d — si, d-+-w, propre â la normale extrêmes laqueiio il correspond. Pour le voir, il n’y a qu'à former les tangentes de d — « — <f, et de d-ha — On aura ainsi « .■

tang (d - ta - 6,) — ■

tang (d ta — <Tf) = -

tang(d— w ) — tang <5,

■ *+■ tang (d — oi) tang q, * tang (d-f-fii) — tang Ù , -C tang (d-f- eu) tang ot

Substituez respectivement , dans ces expressions , les valeurs trouvées plus haut pour tang $, et tang d,, en faisant , comme ci-dessus l c'=. - ^ ~ fl en résultera

tang(d — 6# — £,)

J c* sin *J (d — sin* w i — c* sin* s» sin*(d — si)

tang (d — o,) =.

[r* sin 1 [<l -f- sin* ■>

1 — c*sin*û» sin*(d-f-6j;

Ces différences sont donc individuellement de l’ordre r* sin* m. Si on le» restreint à cette partie la plus sensible, en négligeant les termes qui seraient

te

de l'ordre du cube de sin «, puis, qu'on revienne de» tangentes aux arcs, pir le rapport de proportionnalité qui sera alors légitime, on aura pour leurs valeurs , en secondes de degré ,

3 e* eu* sin ad

% 3 c* &** sin a d

' - 4 (I «.«JR'

Elles seront- donc «égales entre elles dans celte partie principale de leur valeur. Voilà Ve principe de la compensation qui rend égalai**

Mais ces valeurs elles-mêmes seront individuellement sensibles dans le* limites d'amplitude attribuées ci-dessus à çj; et elles atteindront leur maii# mum quand d sera égal à iJ5°. Evaluons-les alors pour les méridiens terrestres , en supposant « égal à a° ou 7200". Nons avons

logR" = 5,3i 44^5 1 , loge* = 1,8039924.

De là on tire

Celle quantilé no serait pas négligeable dans des observations exact» ; mais elle disparaîtra par compensation dans l'angle que le* deux droites C,M, , C,M, forment entre elles. Ce résultat est d'auutnt plus assuré dao* les opérations pratiques , que jamais on n'y considère des arcs a» dont l'a®plitude s'étende ainsi jusqu’à j° . Or, l'écart dont il s'agit variant comme If carré de ai, il ne sera plus que o",3 quand aw sera réduit 1 a°, ce qui ait encore une amplitude inusitée, et il S cteindra complètement lorsque l'w gle o) sera restreint aux limites habituelles. Conséquemment, lorsqu'un arc du méridien terrestre A sera compris entre deux normales formant entre elles u» patit angle de cet ordre, exprimé par l'arc a w, dans un cercle dont le rayon est l'unité, si on le suppose placé snr le cercle ose ulatcur correspondant à la normale moyenne qui bissecte cet angle, on pourra admettre, sans aucune erreur appréciable, qu'il soutend au centre de ce cercle an angle 2cd.De sorte que si l'on désigne par y la longueur du rayon osculateur exprimée en unités de même nature que A, on aura généralement

lorsque l'angle a&* sera exprimé en parties du rayon pris pour unité ;

et 'encore,

lorsque l'angle ae* sera exprimé en secondes.

Do là on tirera l’arc A en toises si ’iot est donne, ou inversement. Celte relation est d'un usage continuel dans les opérations geodéstqucs; mais elle est spéciale pour la conversion des arcs de méridien.

12. D'après les conditions <le positions relatives que la Jifi.il indique entre le centro d'osculation moyen C, et le point I,où se coupent mutuellement les deux normales extrêmes M.N^. est évident qu’ils devront être

toujours très-proches l’un de l’autre lorsque l’angle au sera fort petit, comme nous l’avons supposé. Cela est facile à constater presque sans calcul. F.n effet, soient X, Y les coordonnées rectangulaires dn point d’intersection I, et ot,/3 celles du centre d’osculation C, dont nous avons formé l’expression explicite pour chaque distance polaire <f. Si r’ était nulle, c’cst-A-dire si l’ellipse se réduisait à un cercle, les points 1 et C, coïncideraient quel que fétu, puisque toutes les normales s’entrecouperaient au centre du cercle, qui deviendrait le centre d'osculation commun. Ainsi, dans cette circonstance, les différences X — a, Y — 3 seraient milles. Elles le seraient encore toutes deux si u était nul ou infiniment petit, e’-élant quelconque, puisque le centre d'osculation C, est déterminé par la condition même d’ètrc le point d’intersection de deux normales menées & des points de l’ellipse infiniment voisins. Ces deux cas de nullité étant indépendants l’un do l’autre, il faut, par nécessité, que les expressions générales deX — « et de Y — fl satisfassent à l’un et ù l’autre avec la même indépendance ; ce qui exige que ces différences soient d’un ordre de petitesse exprimé par e’ sin u, ou par quelque puissance plus élevée, conséquemment plus petite de ce produit fractionnaire. C'est aussi ce que l'on trouverait eh formant leurs expressions explicites. Mais la considération précédente audit pour montrer que, dans une ellipse, où e’ sera très-petit, et où l’on donnera à u des valeurs 1 1 os-petites, les deux points 1 et C, seront tonjours.extrémement rapprochés l’un de l'autre, puisque leur écart sera proportionnel au produit •les deux facteurs e’ et sin u.

Section V. — Des corrections nécessitées dans les opérations géodcsiaues , par l’ellipticité du sphéroïde

terrestre.

179. Lorsque nous avons exposé les procédés de triangulation employés dans les operations gcodésiques, nous avons montré qu'on pouvait ne pas les restreindre à une sphère rigoureuse, mais étendre leur application à tout sphéroïde presque sphérique , en concevant les triangles consécutifs individuellement établis sur des sphères progressivement différentes, qui seraient osculatrices à la surface réelle, dans les diverses portions du réseau considère. Ajustant meme, par avance, cette conception au cas où la surface serait un ellipsoïde de révolution autour de l’axe qui joint les pôles célestes, nous avons remarque qu’alors il était avantageux de placer les centres de toutes les sphères sur cet axe même, ce qui amène leurs rayons polaires propres à coïncider avec lui en direction, et fait coïncider leurs plans méridiens avec les plans méridiens réels. J’ai annoncé que, dans ce mode de construction , le sens de l’osculation de chaque sphère était transversal à ces méridiens, ce que nous avons depuis démontré.

Ayant maintenant prouvé, qu’en effet, la forme de la surface terrestre est très-approximalivement assimilable à un ellipsoïde ainsi construit , il devient nécessaire d’examiner si la distribution des centres que nous avons attribués à nos sphères locales , et le sens d’osculation transversal qui en est la conséquence, offrent, en effet, la combinaison la plus avantageuse que l’on puisse choisir sur une pareille surface. Puis, si nous la trouvons telle , il faudra établir les lois ,d$ variations des rayons des sphères sur l’étendue d’une même triangulation, assigner les valeurs qu’on doit attribuer à leurs longueurs absolues pour les diverses parties qu’elle embrasse, et eniin, modilier ou compléter les formules que nous avions établies pour des sphères distinctes , afin d’y introduire toutes les corrections que nécessitent leur diversité et leur succession.

I1M). Toutes les formules que nous avons préparées dans la

HHYSlyUF,.

section precedente peuvent être considérées comme ayant pour objet les particularités du problème général auquel se rapporte la fig. 2/j j et que nous avons résolu dans tous ses détails pages i5/j et suivantes. C’est pourquoi j’en reproduis ici les éléments dans la Jîg. 35, en les transportant , dans leur disposition la plus générale , sur un ellipsoïde de révolution pareil à celui qui constitue la surface terrestre, avec, la précaution conventionnelle d’exagérer graphiquement le rapport d’inégalité de ses axes, pour pouvoir rendre perceptibles les détails de construction que nous devrons y effectuer. O est le centre de l’ellipsoïde, AA' son axe équatorial 2 a, PP' son axe polaire ib , celui-ci coïncidant avec l’axe polaire .céleste, un peu plus court que l’autre, cl ayant avec lui la proportion d’inégalité exprimée par l’équation

i1 = a1 (t — e1), où l’on a loge’ = 3,8o3gg24.

A'PA est un méridien identique avec l’ellipse génératrice, et situé dans le plan même de la ligure. Sur une partie quelconque )de son contour, on prend un point S, où l’on mène la normale SN, contenue dans son plan, et formant l’angle SNP, ou d, avec l’axe polaire PP,; en sorte que d est la distance angulaire du pôle céleste visible, par exemple, du boréal, au zénith vrai de S. Je tlésigne , comme précédemment , par N la longueur du segment SN de la normale , qui se termine à ce même axe polaire. La sphère décrite du centre N, avec la longueur N pour rayon , est osculatrice à l’ellipsoïde en S dans le sens perpendiculaire au méridien PSA, et son contact se prolonge sur toute la circonférence qui constitue le parallèle du point S. Sur la même normale, je place en G le centre du cercle qui est oscillateur à l’ellipse elle-même, et je représente par 7 la longueur de son rayon. La sphère décrite du centre C, avec le rayon 7, est osculatrice à l’ellipsoïde en S, dans le sens du méridien PSA ; mais son contact ne s’y étend généralement, dans.ce sens , que sur deux éléments consécutifs iufiniment petits. D’après ce qui a été démontré antérieurement , page 1 80, on a toujours

N « ^ fl(‘ ~ '-1) .

( T — r: cos 'd )‘ [ 1 — c' cos Vf) 1

conséquemment

sin! d I

Dans l’ellipsoïde terrestre où c- est une fraction positive moindre que i, N est le rayon de plus grande courbure, et 7 le rayon dr plus petite courbure , propres au point S. Toutes les autres sphères, qui sont osculatriccs en ce même point, ont leurs centres situés sur la normale dans l’intervalle CN. Et si l’on désigne parl’angle azimutal , compté à partir du méridien , qui désigne le sens suivant lequel leur osculation individuelle s’opère, la longueur p, du rayon correspondant à l'azimut /, sera donnée par l'équation

- — - cos’ i -f- - siri’f.

Nous avons établi toutes ces expressions dans la section qui précédé ; mais je suis obligé de les rappeler ici, parce que nous allons avoir besoin d’y recourir continuellement.

181 . Arrivant au problème général que nous nous sommes proposé, je désigne par SS,, ou A, le côté d’un triangle principal d'un réseau géodésique, partant du point S, et y formant , avec le pim du méridien de ce point, l’angle azimutal 1, que je compte à partir de la branche australe SA. Je suppose cet arc SS, assez petit pour qu’en l’appliquant, comme arc de grand cercle, sur une des sphères qui sent osculatrices en S, son extrémité S, ne s’écarte du point de l’ellipsoïde, situé sur la même normale ou sur la même sécante, que d’une quantité négligeable. Les autres points intermédiaires entre S et S, s’écarteront encore moins de ceux de l'ellipsoïde qu’on leur comparerait par les mêmes conditions. Ainsi, dans l’amplitude restreinte que nous considérons , la ligne courbe formée par ces derniers ne différera pas sensiblement en longuf"r de l’arc SS, que je nommerai A ; et tomme cet arc A est le plns court que l'on puisse mener entre les points S, S,, sur la sphère osculatrice où il est tracé, il s’assimilera, dans ces conditions de petitesse, à la ligne la plus courte que l’on puisse tracer sur h sphéroïde, entre le point S et le point correspondant à S,.

PHirsiour. 237

182. Cette assimilation ne pouvant toutefois être qu'approximative, il semblerait d'abord convenable d'établir généralement nos formules sphériques, en plaçant l’arc donné A ou SS, sur la sphère quiest spécialement osculatrice en S, suivant sa direction azimutale i, afin qu’elle y eut un contact aussi intime et aussi prolonge que possible avec la surface reelle, dans le sens même de l’élément circulaire qu'on veut identifier à celle-ci. Maison va voir que cet avantage ne s’obtiendrait qu’avec l’inconvénient d’une grande complication dans les résultats trigonométriques qu’il nous est le plus nécessaire de transporter de la sphère à l'ellipsoïde. En effet, soit C, le centre d’osculation spécial, propre à l’arc SS, considéré. Si, par ce centre , nous menons une droite parallèle à l’axe polaire NOP de l’ellipsoïde, ce sera l’axe polaire de notre sphère, lequel percera sa surface en un point polaire p, situé hors de l’axe N'OP. De ce point, menons sur cette même sphère des arcs de grands cercles, aux deux points S, S, que nous supposerons assez, rapprochés l’un de l’autre pour être censes tous deux appartenir à l’ellipsoïde, quoique le premier seul, où l’osculation s’opère, lui appartienne en effet rigoureusement. En résolvant le triangle sphérique S/zS, parles formules [1], [2], [3], établies pages t58etsuiv., nous connaîtrons, sur notre sphère, i° la différence de distance polaire des deux points S, S.; 2° l'angle S/zS, forme à son pôle; 3° l’angle azimutal /zS,S, compté en dedans du second méridien sphérique /zS, . Mais'ces trois éléments différeront de ceux auxquels le même arc SS, correspond r sur l’ellipsoïde; et les deux derniers qui, surtout, nous seront 'nécessaires, ne pourront s’en conclure que par des réductions dans lesquelles on devra tenir compte de la position spéciale du pôle p, relativement an pôle réel P, ce qui offrira beaucoup de difficultés. On évitera cet inconvénient grave, en renonçant à la rigueur de l’osculation spéciale, et plaçant l’arc SS, sur la sphère osculatrice décrite du point N avec la normale NS ou N pour rayon, comme le représente la fig. 36. A la vérité alors, la sphère kinsi*décrite ne sera plus généralement osculatrice à l’ellipsoïde,. suivant l’arc SS,. Elle le sera transversalement au méridien de S, sur tout le contour du parallèle circulaire qui part de ce point. Cela pourra obliger de restreindre l’amplitude de

«TnoNoMir.

l’arc SS, dans les formules sphériques, un peu plus qu'on ne l'aurait fait si on les avait établies sur sa sphère osculatrice spéciale, afin que les déductions obtenues, d'après sa longueur A, sur cette autre sphère qui s'écarte davantage de la surface reelle, puissent encore être transportées à l'ellipsoïde avec une approximatioi suffisante, soit immédiatement, soit avec de petites corrections que l’on sache évaluer. Mais le léger inconvénient de cette limitation sera racheté par beaucoup d’avantages. Car alors l’axe polaire N p de la sphère adoptée coïncidera toujours rigoureusement, en direction, avecl’axe polaire NP de l'ellipsoïde; et son pôle propre/, ne dépassera le pôle réel P, sur cet axe, que d'une petite quanlii' de l’ordre e1, puisque la coïncidence serait exacte si e’ était nulle, ce qui réduirait l'ellipsoïde à une simple sphère. Pour faire bien voir les conséquences de cette construction, je vais les suivre dans la supposition énoncée plus haut, que l’arc circulaire A sera asse; petit pour que son extrémité, que je désigne par S', sur la sphère, ne diffère pas sensiblement du point S, de l’ellipsoïde qui est situe sur la même sécante ou la même normale. Je prouverai plus loin que cette condition d’identité finale presque exacte est toujours réalisée, pour les côtés principaux de nos triangulations geodésiques , dans les limites d’amplitude où on les restreint. Cf‘ admis, la coïncidence des rayons polaires de nos sphères avec le rayon polaire de l’ellipsoïde a d’abord pour effet de rendre identiques, pour les deux surfaces, les plans méridiens menés parle extrémités S, S, de l’arc A. L’angle dièdre S/>S, ou SPS„ compris entre ces méridiens , à l’un ou l’autre pôle , sera donc égal. Ainsi, quand on l’aura calcule pour la sphère, d’après les valeur» données de d, de A, et de l’azimut /, on pourra le transporter aux méridiens elliptiques sans aucune correction. Je prouverai en outre que, dans les mêmes suppositions, l'azimut sphérique final pS,S ne différera de l'azimut elliptique final PS, S que par une sorte de réduction à l’horizon, qui échappera toujours aux apprf ciations angulaires les plus précises; de sorte*qu’ôh pourra encon employer ces deux azimuts comme égaux entre eux. Jcdeniontrer*1 ensuite que l’arc de méridien D' — D, compris entre les parallél1' de S et de S, sur la sphère, ne différera pas sensiblement en lofl-

Digiti;

gneur de l’arc elliptique compris sur l'ellipsoïde, entre les parallèles réels de ces mêmes points, ce qui permettra encore de les substituer l’un à l’autre. Le seul résultat du calcul sphérique qui aura besoin de modification pour être transporté à l’ellipsoïde , sera la distance polaire d' de l’extrémité de l’arc A. Cap, exprimant dans ce calcul l’angle S,NP, que le rayon central NS, forme avec l’axe polaire de la sphère, il faudra.y faire quelques changements pour avoir la distance polaire elliptique S, N, P, comptée partir de la normale réelle S, N,, menée au même point de l'ellipse génératrice. Mais on va voir que cette correction, très-facile à évaluer, sera toujours très-petite, comme je l’ai annoncé précédemment.

183. Pour établir les deux dernières propositions que je viens d’énoncer, je reproduis h part le méridien elliptique final PS, N dans le plan de la fig. 37. le place en N, sur son axe polaire, le centre de la sphère qui a été transveasalement osculatrice à l’origine S de l’arc A ,fig. 36; et sur son contour je marque un point S situé sur le même parallèle que cette origine, en sorte qu’il s'y trouvera aussi à l’extrémité d’une normale SN formant avec l’axe polaire le nlëmc angle d que la normale primitive de la fig. 36, ce qui lui donnera également pour longueur N. Puisque notre sphère, décrite dans cette figure avec le rayon NS , est osculatrice à l’ellipsoïde suivant toute la circonférence qui forme le parallèle réel de S, sa section par le plan du méridien elliptique de la fig. 37 sera un cercle décrit du même cent te N et tangent à l’ellipse génératrice au point que nous y avons désigné par S‘. C’est sur ce cercle que la résolution du triangle sphérique de la fig. 36 , place l’extrémité de l'arc SS,, d’après sa longueur donnée A et son azimut de départ i. Elle l’y porte par exemple en S', à une certaine distance polaire d-\-S, différente de d, telle que l’arc circulaire SS', a pour longueur la valeur D' — D donnée par la formule [1] de la page 1 5g ; et conséquemment l’angle S, ou SNS', , exprimé en se-

condes, a pour valeur

Maintenant si l’on marque

en S,, sur le contour de l’ellipse , le point où elle est coupée par le rayon final S', N, je dis que , pour les limites d’amplitude données