Pour achever ici le calcul de c1, je fais généralement

nw .

- DW «in t{

PHYS1QUK.

ce qui donne ici .

Togtt =3,5708310.^

Je nie borne à l'exprimer ainsi; car, en no- poussant pas Jefrévaluations au delà des centièmes de toise , ce qtii serait fort inutile, * puisque l’on ne peut déjà 'pas < y répond re*Me ces centièmes, il suffit d'employer les Tables logarithmiques ordinaires il sept décimales dans tout ce calcul. Alors, en dégageant c1 de l'équation (1), on a , '

sinV/ -j- fxcos1 d

Pour profiter de la petitesse de y. , je mets cette expression sous la forme

• . V + us“s,rf/ ?***

et, en développant le second facteur en série par la division , elle donne

sin3 a \

tan ÿr/ tangr«i / • a1*,.'

L^extréme petitesse de u, rend la convergence t tes- rapide. l’c troisième terme ne donne déjà. plus qu’une unité sur les décimales «lu septième ordre ; en s’y bornant /-on trouVe r

e1 = 0,0077a 087, loge1 =‘3,8876)603.

Nous ayons vu , dans la page 18/f, que c ’ est lié à l’niilatïssemûnt 3 «1<‘ l'ellipsoïde par l’equation

i . ■ =‘2s i’/sP «A »

«jù rdt tirj

e« = as

1 fr

Mettant donc ici pouy e" sa "valfti u, oiy frouve *

ASTAÔXOM1K

Cet aplatissement est beaucoup- plus fort que celui que nous avons obtênu en combinait les degrés du lÀcrùlien mesurés à des distances polaires très-inégales, et qui s’est trouvé être en moyenne TîTTjT» Pab'° 221 ! ma'* la nature des données d’où nous l’avons déduit peut -seulemdnt attester le sens de la différence, non sa quantité absolue. *

Je ne m’arrêterai pas à calculer la valeur de «, qui se trouve ^associéc à. cet aplatissement, par la valeur trouvée de- parce que ce serait une recherche de pure curiosité! Mais je signalerai une conséquence plus importante t}es résultats qui précèdent.

204. Supposer que, dans un lieu donné S, on ait déterminé astronomiquement la direction de la ligne méridienne, et la distance angulaire d du pôle au zénith. Puis, qu’on rattaché un antre lieu S„, à, celui-là, par un resta u de triangles sphériques, où l’on aura observé tous les angles , .et déterminé les longueurs des côtés en les rapportant e une base mesurée. An moyen des formules que nous .avons établies, on pourri, én procédant de proche en proche, déterminer, i" la portion d’arc méridien comprise entre S et S. ; ce qui donnera la distance polaire relative de' cette dernière station; ?.D.razimitt du demièr côté' de la clmiuc des triangles autour de la ligne méridienne Aê son horizon propre ; 3° enfin , l’angle1, dièdre compris au pôle entre les méridiens de S.et de S,,. Mais toute ce|.te déduction’ ne s’cITectftcra qu’en transportant , à la station' S*, les éléments astronomiques de la station S, par l’intérmédiaire des tpùmglôs supposés établis sur un même ellipsoïde de révohqipn , auquel on ne polirra généralement attribuer qud les * valÀifs dè aVt de e3 qui conviennent à rensemble de la*surface terrestre, abstraction (aile de ses irrégularités locales. Tmufluéïicc de celles-ci, que nous vjpyirhs^ètre fort sensible, produira dftnc habituelléinent des discordances du même ordre jaeittre tes éléments <lc position *écls , donnés par léS obsérvaiions asfl-onôniiques, .et* ecs mérites' élément^ jéodésiqnement calcules. C’est, en effet, ce qfii arrivp dans presque Ums^les c.1s,où l’itn peut faire des éprouves pareilles, Los dtffér^ncçs*qu* KOri trou^ alors entre les résultats de l’obseréjlioii cf dut dq calcul luSélent l’existence et donnent la mesure des anomalies île ljfsnrfafe lcrrftrft ,

, PJfïSIQiy. 269

entre les deux stations extrêmes ainsi rattachées trigonométriquement l’une à l’autre.

UOi>. Tous les cléments, tant generaux que particuliers, de l’ellipstfide terrestre que j’ai déduits, dans cette section, des longueurs des degréi' mesurés $ur les méridiens ou les parallèles peuvent être établis par des calculs, analytiques, où l’on emploie, coumie%lenicntS(lésainplitu(IcstotalesdesaiTsemhrasscst>ar chaque opération locale.' C’e*t la méthode quoDelambre a suivie dans son ouvrage intitulé :*Basc du système métrique, et l’on peut voir au tome M, pages G?4 et suivy la formule générale que la rectification analytique des arcs d’ellipse lui a fournie pour ce but JUais, si l’on considère l’incertitude inévitable des données physiques sur lesquelles la solution du problème -repose,- on pourra légitimement • douter que Telle méthode, mathématiquement plus rigoureuse, et aussi plus complexe, conduise à des résultats beaucoup plus certains. Je nie .borne donc à l'indiqué* , ayant préféré ici la marche naturelle et simple’ qui .emploie les degrés eux-mêmes comme des éléments de combinaison suffisamment rapprochés de l’inGniment petit. C’est , au reste., la même forme de données que Laplace a employé» dans le tome 111 de la Mccaqjque céleste, et cet exemple me justifiera suffisamment. ,

ÎIOO. Les géomètres ont doanc lu nom général de lignes géodésiqttes aux cfttirbes de plus courte distance que l’on puisse tracer, soit sur le sphéroïde’terrestre , soit sur un sphéroïde quelconque , entre deux points donnés de sa surface. Sur la sphère, une telle ligqe est l’ait aie grand cercle qui passe par les points donnes; alors elle est toujours plane. Mais, pour toute autre forme de surface, le* lignes de plus courte distance ne sont planes que par exception ; elles sont généralement à double caurbune. Le nom de géodesique leur a été donné d’après l’application spéciale qu’on en a faite à la surface terrestre. Comment peut-on les y décrire, et les déduite des triangulations sphériques établie^, sur cette surface? C’e!»t ce que l'on va aisément comprendre quand j’aurai expliqué les conditions de tracé d’une ligne de ce genre sur un ellipsoïde de révolution , d’après la propriété de plus courte distance qu’on lui attribue. »

Diaitize

• a 7 fl AST^lO.VOl^F. .

207. &)it A,V.V/^..42„ un méridien de l'ellipsoïde que je supposerai très- peu différent d’une sphère pour tue rapprocher des applications réelles, quoique çptte particularité ne soit pas essentielle au mode de raisonnement dont je ferai «usage. Sur ce méridien, désignons par m le point de départ de la ligne de plus courte distance que l’on veut tracer; et donnons-nous , pour condition initiale de 6a direction, qu’elle doive y faire1 un’ccrtain angle assigné’* avec le méridien primitif PiwA. Puis, concevons qu’en Vertu de ces éléments primitifs., elle doive suivre, dans son cours , la série des points m, rn, , m, ,.r . . Pour établir le raisonnement , je prendrai ces points très-rapprochés les uns des autres, comparativement aux dimensions générales du sphéroïde, afin que, sur la surface ten%strc"*por exemple, chacun dès petits arcs mm„ mm;, puisse se trouver intercepté dans un des triangles ’ principaux d’un réseau géodésique, établi suivant la direction générale que suivra la ligne que l’on veut trneey. Du pôle P je mène une suite de pl;oi6 méridiens1, passant par les points /**,, m,,..., ainsi définis; et je suppose les amplitudes des petits arcs mm, , m,m,,. . . assez restreintes pour que, sur toute leur longueur individuelle, le sphéroïde ne s’écarte pas sensiblement de la sphère qui serait transversalement osculatrice au méridien de leur origine propre. Ceci convenu , le premier élément mm, appartiendra à celle de ces sphères qui sera ainsi osculatrice en m ; et il devra suivre, sur sa surface, la direction d’un grand cercle partant du point m, suivant la direction aziniulale i qui est assignée. Cela détermine son extrémité m, sur cette fnème sphère; et, par hypothèse, en ce dernier pointcommesur toute l’étenduede sa longueur, il se confond sensiblement avec la ligne de phts courte distance qui partirait du jmint m , avec la même condition azimutale , sur le sphéroïde réel. On obtiendra donc, par nos formules sphériques, i° la longueur de ce côté mm, dans le premier triangle principal où il se trouvera intercepté ; 2° la distance polaire de son extrémité m, sur la sphère, que l’on convertira en distance polaire elliptique P***, ;

3° son azimut final pm,m, qui se transportera sur l’ellipsoïile , et donnera l’angle Vm,m, sans aucune réduction. C’est exactement le même calcul que nous avons f^tsur la fig. 18, pour v déterminer le

PHTSIQII1. 2n ,

premier nœud *», de l'are méridien , si ce n'est que la valeurde l'arinmt initial / sera differente. Parvenus ainsi en «„ fig. U noi)s passons sur une autre sphère oacnla, ri ce, dont le rayon n'est plus la normale elliptique mn, mais la normale elliptique »/,«,, qui est contenue dans le toéfitfien propre de ce point ; et il faut chercher quelle devra être la directiondu second élément, //,;*„ sur la surface de cette seconde sphère. Elle sera donnée pàrlaconditionïondamentalede la ligne demandée. Car, devant être la plus çourte que Ion puisse tracer suri ellipsoïde, entre deux points quelconques pris sur les élcmentsww,, il faudra, qu'à leur point de jonction j*,' ces deux éléments forment, avec la tangente menée ,u méridien elliptique en /»„ des angles opposés égaux entre eux , afin que leurs segments infiniment petits, contenus dans le plan tangent en ce point, s’ysuivent en ligne droite. En effet , s’ils ne se continuaient pas ainsi , le* points que l’on y prendrait autour de m, pourraient être- joints, dans ce même plan , par une ligne plus courte, ce qui' est contraire a la condition assignée. Cela donne donc l'angle azimutal m,m, P égal à l'azimut final P de l'élément précèdent; et la même condition d'égalité existera entre les angles opposés que les mêmes cléments formeraient avec toute autre tangente, menée sur l’horizon de suivant une direction quelconque. Par là on çonnaîtra l'angle initial que l’élément m,nh doit former avec le coté commun des deux premiers triangles prinftpaux qui passe par le point

m'- 0n P°,,rra alHrs diriSe«', dans le seoond de ces triangles, ce second élément , comme on a dirigé le premier dans le triangle qui précédait. Ceci conduira au troisième point m, de la courbe, et de là, progressivement, à tous ceux qui doivent îe suivre’ comme dérivant du premier wm, , dont le point de départ et l’azimut initial ont été donnés arbitrairement. Les détails du calcul seront d’ailleurs exactement pareils à ceux que nous avons faits, sur la fig. pour conduire un même arc méridien à travere toutes les parties d’une triangulation sphérique.

20fl. Cette construction montre pourquoi Ta ligne ainsi tracée sur l'ellipsoïde n’est pas généralement plane.1 Le premier élément "im, est contenu dans un plan mené du centre n suivant la normale mn ; le second ///,*/. est contenu dans le plan mené d’un

astronomie

autre centre «, , suivant la normale ///, n, , différente de mn en longueur, et située dans un autre méridien. Ces circonstances, jointes à l’égalité des angles opposes formés en ///, sur I horizon de ni, empêchent ces plans de coïncider, si ce n’est dans deux cas : d abord quand l'azimut de départ / est nul, ce qui rend tous scs dérivés pareillement nuis, et fait coïncider tous les méridiens des points ni, 771, , ni, , avec le méridien primitif; secondement, lorsque l'angle i est égal à §0° et le point ni placé en A à la distance polaire de 90", sur l'équateur même. Car alors, l’azimut PM, A étant aussi yo° comme celui de départ ^ et la normale Olï^, .partant du même centre O , dans le même plan équatorial , l’opposition des angles en M, maintient l’élément M,M, dans ce même plan; de sorte que , pour ce système de données, la ligne de plus courte distance est la circonférence équatoriale elle-même. Or, ce dernier résultat a toujours lieu sur la sphère , parce que les données initiales peuvent toujours être ramenées à des conditions pareilles. En effet, soit , fg. 4?. bis, m le point de départ pris, partout où l'on voudra, sur le méridien P/n , et soit i l’azimut initial quelconque que doit suivre le premier élément mm,. Menez en ni un arc de grand cercle perpendiculaire à cet élément , et soit P' son pôle , ce qui fera l’arc P 'ni égal Sun quart de la circonférence. AlorS , en prenanüe plan qui contient P 'ni, pour le méridien de départ de notre construction , ce qui ne changera rjen aux conditions ultérieures du tracé, Parc P 'm,, mené du même pôle, sera aussi perpendiculaire à 777 , m , et l’opposition des angles azimutaux formes en ///, continuera la même condition de perpendicularité qui, dès lois, se transmettra- à tous les éléments suivants. La courbe de plus courte distance ainsi tracée aura donc tous ses éléments perpendiculaires aux méridiens .menés du même pôle P'; elle sera donc un grand Cercle île la sphère , ayant ce poiftl pour pôle. Mais la sphère est la seule surface dhr laquelle on puisse toujours famener les données primitives à une pareille relation d’identité polaire. C est aussi ce que confirment .les formules [ 1] et [2] , que nous avons établies pages i58, i5g et 16b, pour calculer les coordonnées finales D', i' d’un premier élément de grand cercle mm,, pris sur une sphère transversalement osculatrice an méridien de son origine. Car, si I on

PHVSIQLli.

y faittsimultanément , à cette origine , 1=90° et rf=go°, ee qui réalisera le changement de pôledïectue fig. 42 bis, elles donneront d’abord, par la page t58, f/'r=rf=g o". Ensuite, dans la page 160,

-i. (z/'-f-</) étant 90°, i — i' deviendra nul, ce qui donnera encore i'=zi = gon. Mais supposez seulement t=go°, (/étant quelconque, ce qui conviendrait à une ligne géodésiquc partant d’an point quelconque ni du méridien elliptique, fig. 42, sous l’azimut initial de 90". Alors la distance polaire linale D' du premier élément mm„ mesurée en arc sur la sphère osculatrice, y différera de D par le

terme- ;» ce qui la rendra plus grande que D de cette

2 Pt tang -,

quantité. Par suite , la distance elliptique linale d’ différera egalement de l’initiale d. Fat outre, dans la formule de la page 160 , ÿ.(</'- F- d) n’étant plus égal à 90°, 1 — i' ne s’évanouira point; ainsi l’azimut final i', différant de i , ne sera plus, comme lui, égal à 90°. Par ces deux causes, le second élément m, m, s’écartera de la direction qu’il avait sur la première sphère. Cet écart ne deviendra nul sur l’ellipsoïde que sir/ devient aussi go°, comme 1, ce qui place l’origine m dans la circonférence équatoriale ellemême. Car alors, tang</ devenant infini en même temps que 1 A2 * .

i = qo° , le terme - — ; sera nul , comme ceux auxquels il

■ 2 N tang d 1

est associe dans l’expression de D' — D ; et, par suite, /' sera égal à go°, comme i.

209. La ligne de plus courte distance tracée sur l’ellipsoïde, fig. 42, à partir d’un poin t donne m, sous la seule condition initiale ( = 90°, s’appelle généralement la perpendiculaire à la méridienne qui passe par son originem. Elle ne diffère d’un grand cercle tracé sur la première sphère osculatrice, avec la même condition azimutale, que par des quantités de l’ordre de l’excentricité de l’ellipsoïde. Mais l’fexistence de cet élément, quelque jjetit qu’on le suppose, modifie progressivement son cours, de manière à l’écarter de plus en plus du cercle dont il s’agit. Soit rn,Jîg. 43 , son point de départ sur le méridien elliptique A, PA placé dans le plan de la figure même. Elle descend progressivement vers l’équateur , le dépasse , puis, lorsqu'elle a atteint le parallèle c' mR situé à la même distance T. m. 18

jiolaire que son parallèle de départ un, elle s’v retrouve ileVouveau perpendiculaire au méridien ki#l P m„, formant avec le primitif P/nA un angle moindre que i8ou. Delà elle remonte vers son parallèle de départ cm , qu’elle ne dépasse point , mais elle le'rejoint dans un méridien -antérieur au primitif PA; et elle continue ainsi indéfiniment sa marche spirale , en restant toujours comprise entre les circonférences des mêmes parallèles. Ces propriétés , démontrées par Legendre, la distinguent essentiellement de la ligne analogue tracée sur la sphère, fîg.qi bis. Car celle-ci étant un grand cercleaie reviçnt à la même direction azimutale que lorsqu’elle rejoint le prolongement de son méridien primitif au point m„, à l’cxtrcmité dp diamètre qui passe par son point de départ m ; après quoi, elle retourne de nouveau à ce point, d’où elle recommence une révolution nouvelle, sans sortir jamais des mêmes limites ni du même plan central.

210. La méridienne et la perpendiculaire s'emploient comme axes de coordonnées rectangulaires dans les grandes cartes topographiques, pour représenter par développement, sur une surface plane, les positions horizontales relatives des divers points d'une même contrée. On prend pour un de ces axes la ligne méridienne qui pa$>e par le poirft principal de la carte, autour duquel on veut grouper toutes les autres , et l’on rattache ceux-ci entre eux par une grande triangulation qui recouvre toute la surface que l’on veut représenter. Ce réseau est lie à une ou plusieurs bases mesurées, qui servent à calculer tous les côtés .de ses triangles principaux. Ayant choisi sur le méridien principal un point m qui servira d’origine aux deux axes coordonnés, on y détermine astronomiquement la distancé e/ du pôle au zénith, et l’azimut formé avec sa ligne méridienne par un des côtés des triangles principaux qui y aboutissent. Par exemple , pour la triangulation de la France, supposons que ce point de départ soit la station de Dunkërque. Alors , adoptant un ellipsoïde de révolution dont l’excentricité soit donnée , on calcule progressivement , par les formules que nous avons établies , tous les nœuds dans lesquels la méridienne prolongée coupe les côtés des triangles qui se trouvent sur sa direction, ce qui donne leurs distances en arcs à l’origine m. Puis , ré-

solvant aussi les triangles latéraux, ou calcule de proche en proche : i° les distantes polaires individuelles de leurs sommets; 20 les angles dièdres /> compris entre leurs méridiens propres et le’ méridien primitif; 3° lénrs azimuts réciproques, éléments que l’ontapporte toujours à I ellipsoïde adopté. .Cela fait , .on conçoit autant de (igne4 guodesiques, qui, partant de ces sommefc connus, se dirigent perpendiculairement à la méridienne primitive , et, par des procèdes tpie j’expliquerai tout à l’heure, on détermine pour chaé»n deux : t° la longueur de la perpendiculaire a terminée à cette méridienne; a° la longueur de l’arc méridien compris entr£ le point d'intersectiorf et l’origine m. Ce sont les deux coordonnées cherché»*. La première s’appelle, en termes de géodésie, ta tlistance \ta méridienne; la seconde, la distance à la.pcrpendicutaire, menée sur l’ellipsoïde par l’origine m. Ces deux déterminations exigeaient des calculs trés^complexes , si l’on voulait les effectuer avec upe complète rigueur. Mais, comme la représentation graphi- «|ue à laquelle on veut ainsi arriver n’embrasse jamais qu’une portion très-restreinte de la surface terrestre, sur laquelle les pUis

. • grandes valeurs des angles polaires /jatteignent't^jcmejif huit ou dix

degres, on admet que chaque perpendiculaire A peut être évaluée sur la sphère qui serait transversalement osculatrice au méridien de la station d oit elle part, ce qui la réduit A un arc de grand cercle tracé sur cette sphère perpendiculairement au méridien primitif. Alors la détermination de sa longueur et de la position du point où elle se termine, n’exige plus que la résolution d’un triangle sphéri-' que rectangle, plus nne très-petite correction qui a pour but »le transformer la distance polaire sphérique de ce point en distance polaire elliptique comptée sur le méridien primitif. Cette simplification est encore légitimée par deux circonstances. La première, c’est qu’en vertu des irrégularités de la figure de la terre, les coordonnées angulaires des stations, calculées géodésiquement , ont presque toujours des valeurs tant soit peu différentes de celles qu'on leur trouve parles observations astronomiques immédiates; en sorte qu'on ne pourrait jamais les associer rigoureusement sur un même

- ellipsoïde ; la seconde, c’est que le but final qu’on se propose étant une représentation graphique, il serait absolument inutile de cher-

cher à lui donner une rigueur idéale que le trace ne reproduirait pas.

‘i I i* Le calcul devient très-facile pour les stations peu distantes du méridien principal , et qui appartiennent auTéscan de triangles à travers lequél on a progressivement détermine sa direction, ainsi que ses divers segments. Soient, /fg. 44» PM rc méridien, ef M la station à partir de laquelle on a commence à le tracer; désignons par S' le sommet que l’on veut y rapporter. Parmi les pgint^où les côtés des triangles coupent la méridienne et qui ont été déterminés . par le calcul successif, choisissez celui qui est le plus rapproché de S', et que je désignerai par S. Le segment MS du méridien est déjà connu : je le nomme M. Concevez en S la sphère qukest osculatrice transversalement à ce méridien. Son rayon sera la normale elliptique N menée par le point S, et, comme elle peut être censée embrasser le sommet S', menez l’arc de grand cercle SS' “Sur sa surlace. Vous pourrez toujours déterminer, dans le réseau des triangles, la longueur A de cet arc et son angle azimutal i sur l’horizon de S , si déjà res deux éléments n’ont pas été obtenus dans la suite même des opérations que le prolongement de l’arc MS né- m cessite. Alors du point S', sur cette même sphère, mençzain arc de grahd cercle S'I*T ou A, perpendiculaire an méridien primitif: ce sera la distance de S' à la méridienne, et NS -+-SM sera sa distance à la perpendiculaire de M. Les -longueurs de A et du segment S N ou A' s’obtiendront en résolvant le triangle sphérique SS'N, Tectangle en N. C’est exactement le même problème que nous avons traité primitivement § 66, page h3, puis une seconde fois page 1 5q,

55, en prenant pour type la fi g. et j’ai employé ici les mêmes

lettres pour désigner ses éléments. Ainsi nous pourrons leur appliquer* les mêmes formules , sauf que le rayon R de la sphère deviendra , ici la normale elliptique Ji , propre au point S.

Siü. Conformément à la marche que nous avons suivie alors, je transporte les calculs trigonometriques sur la sphère centrale décrite avec un rayon égal à l’unitc de longueur , en y traçant les arcs homologues

PHYSIQUF..

et Iq triangle semblable, formé par ceux-ci , donne

tang a' = tang a cos 1 ; sin à — sin a sin /.

La petitesse supposée Je l’arc a permettant de résoudre ces équations par développement , on en tire , comme dans le passage cité , •

a'xa cos i 4- 4**’ cos 1 sin1 i ; 9 — a sin i — ya'sin 1 cos! i ;

et, en revenant de la sphère centrale à la sphère réelle, il en resuite

A' = A cos ( 4- 7; — cos t sin’ 1 , 3 N’

A = A sin ( — ^ — sin t cos- 1.

A est la distance cherchée de S' à la inçridienne PM , et la distance du même point à la perpendiculaire est M 4- A'.

C’est par ce procédé, on par d’autres équivalents, que Delambre a calculé, pour la grande triangulation qui traversé la Frauce et la Catalogne , les distances de toutes les stations à la méridienne et à la perpendiculaire de Dunkerque, rapportées au toine Ilf dé la Base du système métrique. Il y a joint, pour chaque station, sa distance polaire d' , et les disftincts respectives des parallèles... Celles-ci ont été obtenues en ajoutant à chaque segment A' le terme correctif

2 N tang d''

qui exprime la distance de l’intersection de chaque parallèle au pied N de la perpendiculaire, d étant la distance polaire de S'. Tout cela est conforme à ce que nous avons trouvé .pages 80 et 142 (note).

215. Ces approximations ne peuvent |^lus être employées quand la station S' fait partie d’une triangulation latérale, sur laquelle elle se trouve à une grîtnde distance dn méridien principal auquel on veut*la rapporter. Soient ^ilors PS'A, Jig. 45, Il méridien elliptique propre de cette station , situé dans le plan même de la figure, et PMB le méridien principal formant, ayec celui-là, un angle polaire p, que l’on appelle, par abréviation, la longitude relative de S'. Sur ce méridien , je marque en M la station prise pour origific, où l’on a déterminé astronomiquement la distancç

angulaire d du pôle au zonitli. La résolution des triangles qui rattachent S' à RI , étant effectuée de proche en proche, par les formules que nous avons établies, a fait connaître l’angle p, et la distance angulaire*/' du pôle, au zénith de S' sur l’ellipsoïde adopté. De là on peut déduire l’arc O' — D de l’ellipse génératrice, qui est

par une formule que j’exposerai dans la Note It annexée à la t sente Section. Maintenant, en S', on conçoit la sphère qui serait os-

de l’être sur toute la circonférence du même parallèle, on admet qu’elle comprendra, sans erreur appréciable, les portions du méridien PM qui en seraient très-peu distantes. Le pôle propre de cette sphère, que je désigne par P', est situé sur l’axe polaire de

que j’exagère dans la figure pour l’y rendre perceptible; car elle est du même ordre de petitesse que l’excentricité. Mais, comme

Angulaire P'N'S'.du rayon S'N', est égale. à puisqu’ilest normal à l’ellipse en' S'. Cela posé, je mène sur la sphère l’arc de grand cercle S'n perpendiculaire au méridien primitif, et je désigne sa longueur inconnue par S. Je désigne aussi par II la longueur de l’arc P'rt, compris sur le méridien spherique, entre le point II et le pôle P'. Je vais d’abord déterminer les valeurs de ces deux éléments; après quoi nous examinerons quelles corrections ils peuvent nécessiter pour être employés, sur l’ellipsoïde, à la solution du problème que nous nous sommes proposé.

214. Le triangle spheriyue P' II S'est rectangle cnllpar construction, ctilest tracé sur la sphère dont le rayon est la normale S'N' ou N', terminée à l’axe polaire. Je forme son homologue sur la sphère décrite du même centre N' , awee un rayon égal à f unité de longueur; puis, désignant les côtés de ce triangle central par des lettres respecti^emei\t analogues, je fais

compris entre les parallèles de ces points. On l’obtient dir^tt

culatrice transversalement au méridien PS'; et, comme elle continue

l’ellipsoïde comme le pôle vrai P, dont il s’écarte d’une quantité

les plans méridiens des deux surfaces coïncident, l’angle dièdre p, compris entre eux , est le même ; et , en outre , la distance polaire

L’arc homologue à PS' est donné par son expression angulaire*/'.

riysiQi'E.

L’angle (Hilaire p est aussi commun aux deux triangles. On aura donc* par le troisième cas des triangles sphériques rectangles de Legendre,

(s) sin S = sin/? sin d'\ (a) tangjr =: tangr/'cos/?.

La première de ces équations donnera immédiatement l’arc 5 en parties de la graduation du cercle. Si l’on nomme 5" sa valeur exprimée en secondes de degré, on en tirera proportionnellement, sur la sphère dont le rayon est N',

L’équation (2) admet une transformation qui en facilite singulièrement le calcul numérique. Dans tous les cas auxquel^on'l’apfiliquc , p est ultangle qui atteint au plus io°, de sorte que son cosinus est une fraction de très-peu moindre que t. D’après cela, 77 se trouve toujours moindre que <•/', mais^a différence <l' — t. doit être fort petite; et, en effet, on verra tout à l'heuréVju’elIc s’élève seulement à 26'r8",n8 pouf la limite extrême de p que je viens de spécifier. Il convient donc de chercher à extraire de l’équatioQ (2) cette différence^ plutôt que la valeur absolue de ir. C’est ce qui est très-facile, car on a généralement

' 1 -f- tang il tang r

Remplaçant tang- par sa valeur, dans le second membre, on en

déduit, après quelques réductions'cvidentes ,

, , , .. . sin’ {p sin 2 tf

(2) tang >/ — Tv) = v.-v,-7-y. —

bv ; 1 — 2an’/f sirj|/?

Or, un arc tl' — w ne diffère de sa tangente trigonométrique

que par des quantités de l’ordre dua'ube de cette tangente, lesquelles seraient ici de l’ordre sin *jp. Admettant que la petitesse de l’angle p rendra toujours ici ces quantités négligeables, on pourra très-légitimcinent sè bprncr à prendre

,, sui’ènsin id'

1 — asin’rf sin’Ap

Dans cette expression, l'arc d' — ir est exprimé en parties du rayon de la sphère centrale, «pii est égal à l’unité de longueur. & l’on

veut l’exprimer en parties du rayon N' , sa valeur sera — — — ;

si l’on veut l’exprimer en secondes de degré, ce sera .

Pn aura donc , dans ces deux suppositions,

/.y n, n W'sin1ÿp«inarf' . . , R'sin’^sin *d'

' i — 2sin,rf'sin,ÿ/> 1 i — 2sin1<f'sin,-jyj

218. Venons maintenant à l’application de ces résultats, d est la distance cherchée de S' au méridien principal. On l’emploiera comme telle, sans modification , lorsque S" sera calculé. D' — n exprime* la longueur du segment de méridien qui est compris, su» la sphère osculatrice, entre le parallèle de S' et le parallèle du point II . Or, le parallèle de S' coupe le méridien primitif PM à la même distance polaire elliptique d' correspondante à l’arc elliptique D' comptée du pôle P, puisque tous les méridiens de l’ellipsoïde sont pareils. Ainsi, sa distance en arc au point M est D' — D , que l’on peut évaluer en toiser, d’après les distances polaires elliptiques d et d' qui la limitent. Conséquemment , si l’on place, sur le méridien primitif, le petit #rç sphérique D' — II que nous venons d’évaluer sur la sphère osculatrice , et qu!on l’y retranche de D' — D, le reste sera la distance en arc du point n au point M , sur ce même méridien. On aura donc encore, sans aucune réduction: Distance en arc de la station S' à la perpendiculaire de M ,

N'sin’j/i sin id' i — 2sin’ rf'sin’l/i

216. Mais il y aurait un petit calcul ultérieur à faire, si l’on voulait avoir, en angles, la distance -polaire absolue du point n sur le méridien PM , comptée k partir de la normale elliptique ON propre à ce point. En effet , l’angle ir , que nous venons d’évaluer sur la sphère osculatrice , est représenté , dans la Jtg. £5, par l’angle P' N' n, que le rayon central N'n, mené dans le plan du méridien primjtif, forme avec l’axe polairr; et l’angle qu’il faudrait connaître est PNI1, ou

>M*lQ)Ur. ^10,

... , formé avec co mêm^ axé |>ar b nonnalç elliptique vraie IJN, mené* du pointu . Mais nous ayons tjejà etabligenéralement la petite correction que nécessite un pareil transport aux pages 242-245 , eft prenant pour typa le* 37 et 3g, dont la dernière convient an cas actuel , puisque le pointn est plus rapproché du pôle qneje point S'. L’application sera dono immédiate. C’est-à-dire que, lorsqu'on aura calculé le petit angle positif *), en secondes de degré, sur la sphère osculatrice, & qui y donnera l’angle t égal à d \d n)", il faudra le 'multiplier par x-He’sin’/i' pour avoir l’angla On jjbtienVj ainsi ^définitivement* , t ,

Distaflce polaire elliptique vraie du p*rd lie l’ai é perpendiculaire S'n sur le méridien -primitif, * - q '

,, R'^io’^z; sin 2<T

rr, — d — — - « : ■ » ( 1 e> sin’ d').

t — esin’tf'sRi’vfi '

Voilà , je crois, la solution la plus simple et surtotfi la ph^vidente du problème que nous nous étiots proposé. Eft e me semble préférable, par ses caractères, à celles qo’on trouve dans d’autres ouvrages, établies sur des développements analytiquescxtrémenient complexes , auxquels on impose des restrictions dont l’esprit ne peut pas apprécier la portée, et qui conduisent en définitive à des résultats numériques identiques, ou physiquement équivalents, à ceux que nous obtenons directement ici.

217. La petitesse du terme correctif qui dépend de sin’jp permet de lui appliquer un mode d’évàiuation approximatif qui en facilitera habituellement le calcul. Représcntons-ie généralement par x. Si 1 on développe son dénominateur en série par la division, et que l’on se borne aux termes de l’ordre sin’ \p, on aura d’abord

sin» y p sin f.d' *

J ~ = Sin’ * p sin arf'+2 sin‘ 7 P *d' sin’rf' ;

or, on a , dans les mêmes limites d’approximation ,

*in j P —z\p irf1-, sin» sin1 j/, =^,1*.

( Ati riant sublime dan»' le sccoud irienibrcdouiic

(•Sn,rf*£-* i)* *

jk W/# <& "* •» i.* ; * *

ou, si l’un i \primc /> cil seconde» de dqgrc , ce t^ni sera plus moite poi£r Je calcul uunicnque , j ^ • . •