Vfa »s A+'S *• V

•if *' ■»- ^w»’^v/î.

asjjiokomi^

8 /^arçqJFoîi* Lj^stitiieça* j* sous» cette jletnière Tonne dans l'expression pfrécédenU? de7r,« un des Acteurs, B", disparaîtra du (lenoniinatonr , cp qui conservera rhomogéogiTé. Mais on obtiendra totft de suite' cet effet, avéf une appkcutiou'qiUt» générale de l'évaluation (Se x , si on l'exprime en seeondes de degré , en faisant

x" = i ^ sin si'p Î>. d' (6 sin’ d'— i ).

Car ou. auûi Mors :

Qistanc» en arc de la stiniôn S' à la perpendiculaire de Sf ,

DistaOeij, polaire elliptique du pied de la perpendiculaire S'il sur le méridien primitif, ,

7 r, = rf' — x" ( i -+- r’sin’ d').

Longueur'de cette perpendiculaire. (i) ..

$" étant déduit de l’équition . . (») sin 3 = sin /; sin d'.

Alors x" et 3" seront les seifles quantités nécessaires à calculer. On les obtiendra avec une exactitude toujours suffisante par les Tables logarithmiquesordinaires à sept décimales , ce qui permettra de prendre

log ( ) = K sin i" — 6,6855749 ,

nombre que l’on a sous les yeux dans ces Tables mêmes.

•219. Pour constater que cette évaluation approximative ifê x" * ou (d1 sera toujours suffisante , «.je pjénds.lc càf r\tn'mt

où l’angle /i serait égqj àio°; et je supposerai, enfphtre, d' é& I

X / .“il Jl..’ J 1 J' 1 K « s

tang(rf' — ■) = ttng*|/>; - rr = 2^,8':,^= 1 5y8't,'J75.

Par l’expression approchée, . t

' ={d'~ ':''=4 k" + 4r- ■. ’ *'hM$**

L;i lÊneiihce des ^eiix évaluations sera donc toujours insensible. 220. ‘Pour sujet d'application numérique, {««prendrai une il a*

* stations appartenant à la triangulation générale de la France, *cx^*culee par les ingénieurs géographes du Dépôt de la "Guerre. Tout * . le réseau de cette grande opération se rattache à*lif*l#gne m«Vidienne qui passe par un point central d’une salles de l’ôbservaioire royal de Paris, appelée sali» de Ut méridienne. -La résolution progressive des \riangles , effectuée sur un ellipsoïde de révolution convenu, a fait connaître distances polaire^, tant relatives qu'absolues, de tous les sommets, ainsi que les angles dièdres p compris entre leurs^méridiens propres et ^dui de l’Observatoire royal, qui passe par le point M adopté pour cenfPe dans la salle désignée. On#a, en outre, dans plusieurs stations.

déterminé par des observations astronomiques, leur distance polaire absolue, les angles ^zimutaux des côtés qui s’y joignent, et mêino.en (juelques-unes leur longitude relative p, afin d apprécier les irrégularités occasionnelles de la figure de la Terre sur J’etendue superficielle que le reseau embr.lsse, en comparant ces cléments de position réels avec ceux quj se déduisent du calcul géodésîquc pour ces mêmes points. De là on a conclu la distance

de chacun d eux à la méridienne , et à la perpendiculaire du point M; on y a joint leurs hauteurs relatives au-dessus du niveau de l’Océan, obtenues par les observations comparées du baromètre , ou des distances, zénithales réciproques; et la reunion de ces résultats con-

stilue les déments d’une nouvelle carte generale île la France, qui est en oOt'rs d’exéention. Les résultats généraux des operations geodesiqueset astronomique, jusqu’ici effectuées, ont été rendus publics dans un ouvrage intitulé 2 Description gcoinétrit/uc de lu France, doht detlx volumes ont dfy’à paru. J’en extrais, comme sujet de calcul, les données Suivantes, relatives à la position du clocher de Biarritz , l’une des stations du parallèle de Rodez , tome l", J>age ÿf.'j : * ■* ht

Distance polaire, obtenue par le calcul

géodésiguq . . d'ç= 46°3 1

LongHude relative, comptée à Foccident •du point M de l’Observatoire de Paris. p =* 3°53*3jj ",*3 1 4

pn demande Ja distance dç ce point à la méridienne et à- la perpendiculaire du point M. *

J-’ai. choisi’ ce cas parce qu’il est présenté comme exemple de calcul dans ci même ouvrage , tome Pr , page 32g. Je n’ai fait que <*onvertir en ^vision sexagésimale les (déments de position qui , d’après des considérations plus influentes alors qu’elles ne le paraîtraient aujourd’hui^ ont été malheuiiusement exprimées en parti,» de la graduation décimale, dont l’usage n’a pas prévalu. Avec ces données je trouve d’abord :

Par l’équation (l), #

d"=2°49'28", 548 = ioi68", .548; *

Par l’expression (3) , r"'=2d7 "t623+o", 198=238", 021 ;

log R7' = 2’ BQ2833»;

Pour eoptinuer le caknl plus loin , il faut convenir de l’ellipsoïde que l’on veut adopter. 1^ diversité des choix que l’on peut faire à cet égard aura peu d’influence sur le terme correctif de ir, qui dépend de e% parce qu’il est extrêmement petit. Mais les conséquences en seront plus sensibles dans les évaluations des arcs de distance par les expressions (i)el(e), où la longueur absolue de la normale N' entre comme coefficient. Comme exemple (Fappli-

cation mmiéb^ae, -i’adoprerjl ijii k^éldkiepft * solde, qui sont dynné^ pat* n™“‘~L“ï‘ ** '

6f»tab1

la page

de l’çllïp-

J* je

calculerai le Ipgarithniô de N'^xiur l’a Hisfance polaire donnée d\ par sou expre Mfik série, rapportée daqS la page 2?.f. Quand

A l—j’ J* v ri»

proportionnelles. Ici ,nous devrons iffecîuer îè calcul direct pour t Ja -dislance (xîlaire <U par la série indiquée.. Je trouve ainsi , sur

«pire ellipsoï^;* *. V

logN' = loj»n -t- jvjoo6'5

* ’JL r

nous avon 9, en outre ,

En associant ces nombres obtient :

loge1 ÿ»^,8<j3i

«ux rtiltqirs pf'

<Jb D"*ti

x , on

Distance du clocher de Biarritz à la perpendiculaire de M, én toises (formnlea), *% m

. D' — D — 3,j8tT,3o.

Distance à la méridienne de M (formule 3) ,

Distance polaire elliptique du pied b de cette perpendiculaire sur le méridien de M ,

Cette distance polaire surpasse seulement de o",ooi celle qui est rapportée dans l’otiVrage cité , tome I , page 33o, et l'on ne peut pas répondre d’une si petite fraction avec les Tables à sept décimales. La valeur qu’on y assigne pour la distance à la méridienne est moindre de toT que celle que nous obtenons, ce qui s’explique suffisamment par la différence des dimensions de l’ellipsoïde adopté pour la calculer. Mais l'influence de ce choix , sensible sur

lend

• VSTl<0<nMIX

ait priint ■stiri»‘r1pistin?tio»gt#-

l’ou voulait f»or quoique hnttfiÆriqife^l-acej' figout uni? perptrtdiculairt au itiéridien pnndpal , en partant t nr, -prU ♦ voloyptc sur <ft ligne m lydienne, on y par- £a<?ileinètft ^rar le njode de construction successif/que 4.Æ. V ,*• on 'suPpqÿerftiP d'abord w a U tf'jei TonicMcul éf:«r>r f»os formures, i0l!n<n}guenr da premier elemêgt sphériqifc m/rf, ;«e° soja azimut final i' *ur le »cond -méridien Pm| ; ’S° la distance polaire Sphérique Mu point m, , que l’dff transformerai^ en distance. porayi1 elliptique^ comptée. syr ee seetarft^rnéridiVn ^jpar^l'eniplqi de la- correction ex prinlée [pagte ^49- Avec Wsifonaées , on Feitm an calcul pareil, pour pa3fcfr du point au point //j„ situé stir un t*niViéme méridien . formarft aussi, at^c le a4$ivtièrnf , un angle de-i”; et • l'on fÿ-elon^erait» ainsi pnûjjr&sifemenf lajÿntrbé par des .intervalles M UililabVs , tmssfloîh qup l^in voudtïùt. „ .

• ..v*lpM5fr. .

* . » ««iftiffl v*n* paA^4 '* »

j ! . / y ■ • «%L k* I * lApteaAsdh

PAut détçyitrec tes dpux r^^luü^nOnîpriaKf^M le t(qpT,geconsJrirts

tajifi. PAP'ete un^lenSrvnérldJm de IVIlipsP géjR'atrice, |D est s^tcen* tre , OA*son (fenii-gn^l iwLfcqu® «e tmive^fre peiei Ja longueur de la normale \ ^ ] o il r le soumit éXpfbrift A. Du pot Jf) dvcç OA. pour rayon , je décris la ftrco(ffércncé^Agentc^g A et je mène avec OA ftn angjr.v que pous devrons VateepAtSB

même rayon cftupe l'ellipse en M,, ft îcvielW^énffalMneTld, pmYr^ AST/ute 4

rayon vecteur dontje n^rnme laj^flgufltir r. Cete pttefe je vais evitjuerTùi tcrvalle M, M , , et calculer l'qpcèd de l'arc dd cercle ÏM,i sur TIW de lftlipac AM,. . + • *' *■ , X ‘

A cet effet , je rapporte d'Jlibrd cette cnwys^lenx coordonné Aciiu^ulaire# xf y, parties llu eefltjc O et comfffjgs aé-Cpcc t i r el«r «üwï dWt lions OA , OP. Son équation en fonction de «tes CateddAiJm gdkiflVcfn l’»vu, „ •,.*. * *• • -V •

et, en désignant ppr ds Ijélément de Port elliptique cortejtee dé A vers P,

di’=ir’ 4- <£’ t *

Maintenant j'introduis , au Heu dexety,fei coordonnées pÀUlres */ et v en faisant * *

x = r c.os e ;

Cela (fonne , par .suhstitutlbii ,

y = rsin v .

et ds* = ai •* -f- r1 dv*.

I — e* ccA* v

(Considérant d'abord / , je mets son expression aous la forme

= fl I I -H -.Sin’e I 1

(,+fLSin.,)i

et, en développant le radical en série par la formule du binAme, j’obtiens

"“•['“ïfrM ,in‘ * + â(T^ôî ,in‘ " ~ 7è (7=v/ *tc ]-

Lorsque nous aurons donné% l’angle v sa valeur finale , a — r exprimera l’intervalle M, M, Mais, pour Ie6 limites de petitesse auxquelles nous voulons

fCnlroinOi ^bct' «nglo ^ no». poé'rr*i3^borner lu st*ç au lcrm< trd|iva Ma petniépe puissance , f? qui noua donnera ,

terme oi\ ç* sc

SÉ *à #•

elle

^panera simph-ùwn#

• • * JfV ^fc> = a ^ — Isr* tin’ a) A •

IP* *• i

itfl F JéAée *oir <lWq|»iW'nt Ans anbsfitu’Ûrtn . carmin onnriilinn do ' Jen A rend 4r 'd* 4’oadrc pur conséquent dr' de

l'^HPe (pStefrfflM $«e non» fte-gy^on», ce qui 5<* oit tts h rdv comme ‘nous .étions de la trou%r.« A." * * *

Pour ijaiégnr 1 expression de dx. il fJln y remplacer lin’r par la quantité , * • i— ioaae

eqtw.alente * j Ce qui donne j

ds^= a (V-^j «'+{(' coa je) dv ,

et alors, qu l’iiflegifant , on a . •

’ * • Sa • •

j — a [ (i — le*)e-t--j- e* ain an],

Je n'ajnule point dû conslaplc , perce que je faia (ommencer l'arc t en-A, où ÿ est nA en mime temps que lut. Dans ne calcul, l'arc v est censé exprimé en partie* dv rayon priafxpfb unité de longueur. Si l'on veut l'exprimer en o •y’

seconde* do dejpe, fl faudra remplacer la lettre v par — • Alors l'équation précédente donnera

tn/P i ^

, —est<i«i longueur do l'arc circulaire AM , correspondante à l'angle v ou v" . n

s eçt la longueur de l'arc elliptique AM, pour le même angle, le second membre de l'équation ici obtenue exprime donc l'excès cherché du premier arc sur le second.

Il ne reste plus qu'à convertir les formules (i)tel(2) en nombres, avec les «leurs moyennes de a et de e* que nous avons trouvées convenir à l'ellipsoïde

terrestre. Je prends donc, d’aprôs la page 221, où a est exprimé en toises , .

logo =6,5i47957 j ^ loge* = 3,8039324.

Alors en faisant l'angle v égal à i° ou v" égal à 36oo", on trouva d'abord , par l’équation (1),

M 1 -M, . = joe1 sin’ v = 3”1", 17H;

et ensuite par les cléments de l’équation (a),

i««*p = 9°T’go85 — 7 ne1 sin 2>’ = — 90 ,8900

Conséquemment, ^ — s — ot,oi85

' * ** rfj\

Ce sont les nombres que j’ai rapportés dans le'texte. La compensation près-

, rt%,n

que exacte qui s’opère dans Jes deux termes de — s pouvait sc prévoir

d'après la petitesse de l'angle v. Car, si l'on considérait le cube de sin æ

comme négligeable, on pourrait remplacer ce sinus par — ; et alors, le

terme — -J sin 2p détruirait complètement le précédent auquel il est associé dans la différence cherchée.

%STHO\OM!K