CHAPITRE XXII

Description Ct usages dn cercle répétiteur.

519. M’ étant proposé de réunir et d’expliquer dans cet ouvrage

les procédés d’observation les plus exacts ct les plus généralement usité?, je vais exposer avec détail l’usage du cercle répétiteur, qui à lui seul peut suppléer au mural et à la lunette méridienne ; qui les remplace avec une exactitude indéfinie; qui, par son peu de volume et le petit nombre de vérifications qu’il exige, peut être aisément transporté partout ; enfin , dont les applications ne sont pas bornées à l’astronomie seule, mais s’étendent à la géodésie, à la topographie et à une infinité de’ recherches , physiques de tout genre , oh elles portent une précision inespérée.

520. L’essentiel de cêt instrument consiste dans un limbe circulaire vertical ZAP, fig. qui peut tourner autour delà verticale CP, menée par son centre, et qui, de plus, peut aussi tourner verticalementamtour d’un axe horizontal mené par co même centre. Une lunette OCL , munie d’un micromètre à fil fixe et d’un verniet, tourne autour du centre C, et peut parcourir successivement tous les points du limbe. L’instrument entier est représenté dans la PI. XVII du tome II. Pouren comprendre l’usàge, revenons à la fig. ^4- Soit S un objet éloigné et immobile,- dont on véut mesurer la distance au zénith. Ce sera même, si l’on veut, une étoile. Car, bieq que les astres se déplacent à chaque instant par l’effet du

(*) Depuis que ce chapitre a été rédigé pour l’édition précédente, les cercles répétiteurs ont reçu de grands perfectionnements, et l’on a aussi amélioré beaucoup ia manière de les employer, .l’ai cru cependant pouvoir^ laisser subsister coue^tremièrc rédaction , comme un exposé su disant des principes de leur Usage , mais on trouvera à la fin de ce volume une dissertation snr la nouvelle mesure que j’ai laite de la latitude de Formcmcm en i8j5, où les méthodes les pfhs sûres d’observation seront expliquées et confirmées par leur application pratique In plu* exacte.

mouvement diurne , on peut ralculcr U s effets de ce déplacement pendant 'l'intervalle des observations et en tenir compte, comme nous le verrons tout à llieure ; ce qui ramène'la question au lîièmc état que si l’on n’avait à observer1 que des points fixés. Cela pose, voici comment on opère : on commence par fjxer le vernier de la lunette sur le point zéro de la division ; puis on dirige le limbe dans s le vertical de l’astre, au moyen du mouvement azinnit.il, et on le fait ensuite tourner verticalement autour de son centre , jusqu’à ee que le point S réponde au centre des fds ; c’est ce-que repffseute la Ji". 74. Conreyons maintenant un fd-à-plomb CP mené par le centre du limbe; sa direction prolongée déterminera lé zénith Z ; , et l'arc AZ, lu sur le limbe, sera la distance au zénith. .Mais On peut éviter l’usage de ce fil et la lecture de l’arc, comme on va le voir.

52 1 . Les choses étant disposées comme nous venons de le Wre , on donne au ^imbe un mouvement azirautal autour de la verticale qui passe par son centre , ôt on lui fait faire un demi-tour, Je manière à le ramener dans le vertical de l’astre (voyez Jîg. 76). Dans ce mouvement, le point Z dn limbe n'a pas changé. Seulement , si le litnbc faisait d’abord face à l’est , il fait maintenantTacc à l’ouest, et comme la lunette est fixe sur le limbe , il s'ensuit que sa direction actuelle LAC fait toujours le même angle avec la verticale. Alors on détache celte lunette , et en la faisant tourner sur' le limbe, on la ramène sur l'astre. Sajnûiivene direction CA'S répond alors à un autre point du limbe, tel que A' ; et, puisqjie nous supposons l’astre immobile, l’arc A'Z est exactement égal à l’arc AZ, ou à la distance au zénith. L’arc total AA^', que la lunette vient de • parcourir, est donc double de cette distance. Ainsi , en lisant eei arc indiqué par le déplacement du vernier sur la division*!» limbe, et prenant sa moitié, on aura la distance au zénith, sans qu’il soit du tout. nécessaire de connaître le point Z; et, par conséquent, sans avoir aucun besoin de fil-à-plomb.

529. A 1a vérité, ceci suppose que Te limbe , en passant de la première observation à 4a seconde , a tourné exactement autour de la verticale, en sorte (pic chacun de ses points reste exactement à la même hauteur au-dessus du plan- horizontal. Pour s’en s

ASTROXOMIF

assurer, on atlache «lerfioré le limbe et parallèlement à son j)lan un nivèau à tà.lle d’aii; très-sensible , que l’on cale , c’est-à-dire que l’o n met tien horizontal dans- la première positiorf du cercle, où te limte faisait, je suppose, face à l’est; ensuite, si le point Z du limbe s’est un peu déplacé par le retournement, lorsque le lirtibe fait face à l’ouest, on en est averti par le niveau qui s’est déplacé avec lui, et dont la bulle ne répond plus aux mêmes ]>oints de la division du tube. Alors on ramène le limbe à la posiliôn Àù le nivean rentre dans ses premières limites; ainsi, sans connaître le point Z , on est toutefois assuré qu’il revient dans la # même verticale. Il y a, dans tous les cercles, des vis de rappel pour faire jçdnsi mouvoir le limbe par degrés insensibles,' et pour cater le niièan.

525. Après qu’on a ainsi la distance zénithale double , on obtient la distance quadruple de la manière suivante : sans toucher à Iji lunette, on retourne l’instrument, et on ramène le limbe la face éyl’est , comme il était d’abord. La lunette prend alors la direction CA'L, fig. 76. Si on la ramenait vers l’astre , le limbe restant fixe, elfij reviendrait au point A d’où elle est partie, et on détruirait l'arc qu’on lui a fait parcourir. Au lieu de cela , on la laisse fixe en A , mais on ramène le limbe en le faisant touriter verticalement autour dé son centre, jusqu’à ce que l’astre revienne dans la lunette au centre des fds; Alors lé point A’ est dirigé vers l’astre , et lepoinlde départ descend en A , fig. 77. Cela fait, on se retrouve exactement dans les memes circonstances où l’on était au couimen-

cément de lu première observation, fig. 74; si ce ti’est que le ^ point de départ est AV c’est-à-dire la fin du premier arc par dburu (*). En partant de tà, et opérant de la même manière, on peut fair* uae nouvelle olfeervation double qui amènera la lunette gn A* ; et eoonne l’arc A' A'- sera égal AA', l’arc total- AA' A”

(*) En faisant ainsi monfoir le limbe dans la troisième observation , le niveau qui y est attache se dcpThcc nvec lui et cesso d’être horizontal ; mais oui.- détaché et on le ramène à celle position , où l’on achève de le fiver par des vis de rappel. On fait la même chose après chaque observation paire’ «, - f

sera la ilistance au zénith quadruple ; en le divisant par 4» un aura la distance simple.

Avant la distance quadruple , on peut l’avoir sextuple par le même procédé : il faut retourner le limbe face à l’est , dans sa première position , et ramener le point A" vers l’astr.e , sans détacher la lunette. Alorsle nouveau point de départ sera A" ; une nouvelle observation double amènera la lunette en A'", et l’arc A VA" A" sera l’arc sextuple. En le divisant par G , on aura l’arc simple.

En continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra tel multiple de la distance quel’on voudra, et en divisant l’arc , total parcouru par le nombre des observations , on aura la distaqcc zénithale simple. On peut faire ainsi parcourir à la lunette plusieurs circonférences entières dont il faudra tenir compte. Mais, pour s’épargner la peine de les compter une à une, il suffit de lire une Seule fois 1 arc doué ble , ce qui fait connaître la distance simple ; et quand les observations sont terminées, on voit aisément quel nombre de circonférences entières il faut ajouter pour que Farc. total , divisé par le nombre des observations, redonne la distance simple, déterminée approximativement par la première lecture.

324. Examinons maintenant en quoi consiste 1’avanlage de cette multiplication. Elle n’en aurait aucun si les divisions faites sur le cercle étaient mathématiquement exactes , et si l’observateur pointait toujours parfaitement juste; car alors, une seule observation donnerait la distance au zénith exacte. Mais, commf ces conditions sont impossibles il remplir dans la pratique , la répétition des an- *glesy suppléé par des compensations.

D’abord, quant à l’erreur des divisions, on voit que les arcs mesures se suivent sans interruption sur le limbe4., de manière que le point dq limbe , qui est la fin d’une observation , devient l’origine de la suivante Cela fait que la somme des observations, ou l’arc total parcouru, ne renferme absolument aucune erreur intermédiaire , mai^ seulement les doux erreurs des lectures extrêmes. Ces erreurs elles-mêmes sont encore .affaiblies, parce’que les alidadcsdu cercle portent quatre verniers que l’on lit séparément, efc.duui la moyenne contribue à marquer lé commencement et la fin de l’arc total avec une plus grande probabilité d'exactitude.

KnliiV, la petite erreur, qui peut rester encore, maigre ces précautions, Jans les lectures extrêmes, se trouvant répartie par la division sur l'arc entier parcouru sur le limbe, ne conserve plus qu’une iniluencc insensible sur l’arc simple parcouru dans une seule observation , du 'moins en supposant les observations suffisamment multipliées, ^es erreurs des divisions s’affaiblissent donc dans le cercle répétiteur par la répétition même , et la compensation qui s’o|H!rc entre elles n’est pas l’effet d’une probabilité, mais d’une certitude

Pour sentir jusqu’où cette compensation peutallcr,il faut savoir que, dans nos cercles répétiteurs qui n’ont ordinairement que 4 déeimètrcs(i5 pouce»environ)dc diamètre, l’erreur des divisions ne peut pas certainement s'élever à 1 5." sexagésimales. Elle se réduirait donc au pins à ^ seconde, après trente observations; que devient-elle après, quatre-vingts ou cent ?que devient-elle si ,comtne) on peut le faire et comme on l'a fait souvent , on laisse les séries des differents jours se succéder sans interruption sur le limbe, de sorte que les deux erreurs des lectures extrêmes se trouvent seules réparties sur un arc total- qui contient plusieurs milliers de fois l’arc simple?

L’erreur des divisions est donc comme nulle dans les observa-lions faites au cercle. Il est impossible qu’elle soit aussi rigoureusement détruite dans les plus grands instruments, s’ils ne sont pas répétiteurs. Jamais l’adresse de l’artiste ne peut égaler un procédé mathématique.

32iî. Mais il y a d’autres erreurs qui se détruisent par le prin- j eipe des probabilités dans l’usage du cci rie, et-qui restent dans les attires instruments. Telles sont les erreurs du niveau j qui , déjà très-petites dans les premiers cercles répétiteurs quej’on a construits , sont encore moindres dans nos cercles actuels , où le niveau

donné immédiatement. les fractions de seconde. Telles sont encore » ^

les erreurs du pointé, qui; déjà- fort petites par elles- mêmes, se * détruisent connue celles du niveau , par leur compensation fortuite dans plusieurs milliers d’observations. Ges erreurs existent aussi dans les observations faite» avec de grands instruments comme le mural. Car l'erreur du pointe s’y retrouve, et celle jlit niveau est

représentée par I erreur du iil à pfemib. Mais ici, le petit. nombre des observations 11e permet-pas d’espérer urtc compensation aussi exacte que dans le cercle. Si l’on suppose que. l'exactitude de*résultats moyens soit en raison composée du nombre des observations et de la longueur du rayon de l'instrument , cent observations faites avec nn cercle de 2 décimètres de rayon équivaudraient à une observation unique faite avec un mural de 20 mètres. Où pourrait-on trouver de pareils instruments, et surfont comment • pourrait-on les employer dans les observations qui exigent des voyages? * ®

526. Après avoir expliqué, en général, le mécanisme de la répétition et ses avantages, il faut entrer dans quelqucs-déjails sur les vérifications particulières que l’instrument exige avant d’être employé aux observations., +

La première condition à remplir, c’est cpie le limbe soitrexactoc inent vertical , et qu’il puisse se maintenir dans cotte position pen- , dant que l’on observe, ou , du moins, qu’on ait des moyens de l’y ramener. Pour cela, on place derrière le limbe, et perpendiculairement à son plan , un petit niveau à bulle d'air qu’on attache à l’axe horizontal autour duquel le cercle tourne (vov. Jig. 78). Alors, quand le niveau est horizontal le limbe est vertical *à cause de la ‘perpendicularité. Or , il y a dans les cercles répétiteurs une vis de rappel qui fait mouvoir le limbe, et avec laquelle on le ramène il la verticalité, lorsque le niveau perpendiculaire indique qu’il s’en écarte.

Quant à ce niveau lui-mème, on voit qu’il est horizontal , quanti les extrémités de la bulle d’air qu’il renferme se terminent deux traits fixes, tracés par l’artiste pour Cet objet. Mais il est utile de savoir au besoin suppléer à cette donnée.

En effet , en supposant même que ce niveau eût été parfaitement réglé par l'artiste,- il pourrait bien arriver qu’il se dérangeât dans sa monture, et qu’il cessât d’être perpendiculaire au limbe. C’est pourquoi on le vérifie avant de commencer les observations. Pour cela, on attache sur le limbe deux pinces P, Q, sur lesquelles on a tracé deux points extrêmement fins , qui doivent, par construction , se trouver à égales distances du plan du limbe.

\srnoNo.MiK.

auquel les pinces sont appliquées. Les artistes ont des moyens très-précis et très-sinfyles pour remplir cette condition. A l'un de cesipniuts, au plus élevé, on suspend un fil-à-ploinb et l’on fait mouvoir le limbe jusqu’à ce que ce (il vienne battre exactement sur l'autre point. Alors le limbe est vertical , puisque , par construction, la ligne verticale, menée par les deux points P et Q, est parallèle à son plau. Quand on l’a amené dans cette position, on fait mouvoir les vis de rappel du petit niveau, de manière qu’il devienne exactement horizontal, et les variations de ce niveau indiquent ensuite si le limbe s’écarte de la verticalité. La sensibilité de cet instrument rend même pour cela son usage préférable à celui du (il k plomb , en même temps qu'il est infiniment plus commode (*).

("} Pour apprécier l'erreur que produirait un petit défaut de verticalité, prolongeons le plan du limbe jusqu'à 1a sphère céleste; il la coupera suivant un grand cercle que mous nommerons HZ' Il , Jig -y Le point Z’, le plus élevé de ce cercle, sera le faux zénith indique par l'instrument, et la ligne OZ', menée à ce point parle centre du limbe, sera la verticale apparente autour de laquelle on mesure, sur le limho, les distances au zénith. Soit maintenant OZ la verticale vraie , en sorte que Z' OZ soit l'inclinaison du plan du limbe sur la verticale , angle que nous nommerons 1. Cela posé, si l'on mené du point O un rayon visuel OS à une étoile quelconque, la distance au zénith véritable sera l'ongle ZOS , que nous nommerons Z. Mais la fausse distance mesurée sur le limbe , sera l’angle Z' OS, que nous nomme rops Z'. Les trois côtés ZZ', ZS , Z’ S formeront, sur la sphère Celes le , un

triangle sphérique, rectangle en Z', cl dans lequel on aura « .

eos Z = cos Z' cos 1 ;

de là ou tirerait Z connaissant Z'. 'Mais il faudrait faire le calcul avec une c\ Set it iule minutieuse , à cause du facteur cos I, qui diffère très-peirdc l'unité, parce qnc l'fuclinaison I , qui poul rester après les vérifications précédentes , est nécessairement fort petite. C’est pourquoi il est plus Simple de chercher approximativement Ja différence des angles Z et Z’i A cet. effél, substituons à cos J sa valeur i — i sin’ ' I , nous aurons

ros Z' — cosZ = a coa Z' sin* (

Or, cos Z — cos Z = a sin j (Z -,-<Z’) sin J (Z — Z). Substituant celte va -

PH YSIQI'K. 429

527. Si l’on voulait vérifier aussi les pinces, elles-mcines, riçn ne serait plus facile. 1^ petit niveau étant calé, c'est-à-dire rendu horizontal , faites tourner le liiube verticalement, de manière que la pince qui était en haut vienne en bas , et que l’autre qui était en

leur, on trouve

. .... c*»Z'.lnM t -

c'cst le sinus do la moitié delà dilTércnce cherchée! Elle est toujours positive font que Z' est moindre qu’iin angle droit. Par conséquent , dans cotte limite^ la distance vraie surpasse toujours la distance observée: cela doit être, puisque Z est mm hypoténuse. L’inclinaison 1 ne pouvant jamais être que de quelques minutes, le facteur sin’t I, qui se trouve au numérateur, sera toujours un très-petit nombre, et lo dénominateur sin J- (Z -t-Z1) sera, comparativement, très-considérable, même à i° de distance du zénith. Ainsi , au-dessous de eo terme , la différence des arcs Z et 7! sera extrêmement petite ton pourra donc alors, sans craindre aucune erreur', supposer Z = Z’ dans le second membre, ce qui revient à négliger le carré de Z — Z’. On* trouvera ainsi définitivement, 3 •

sin i (Z- Z')

tang Z'

Pour apprécier l’exactitude de cette formule, il faut comparer les résultats qu’ci le donne avec ceux que l’on tire de là formule rigoureuse cosZïirm&’cos*!.

En supposant I =' io’et Z’ = t<> sox., on trouve déji que les deux formules s’accordent presquecxaclenienl. Plus près du zénith, l’approximation diminue , et enfin elle cesse d’étre sufitsainment exacte; par exemple, quand Z' ml est nul, elle donne Z' — Z infini, au lieu que la formule ^rigoureuat? donne alors cos Z = cos 1 , ou Z— 1 , c’est-à-dire que toute l’erreur de la verticalité sc reporte sur la distance au zénith^ comme cela doit eneffet arriver.

On doit tirer de ceci deux conclusions : la première t*c’est qu’il faut atténuer, autant que possible , le défaut de verticalité ; la seconde, qu’il faut éviter d'observer très-près du zénith, où l'influence do çc defaut sur leadislanccs est plus sensible, Il cause du dénominateur tang Z'. Co dernier in- , concernent cil toujours nul pour la Polaire , qui sert ordinairement h dé* terminer tes latitudes. Sa distance au zénith sort des limites où les erreurs de la verticalité sont considérables., au mliinsdans tous les |»ys habitables où l’on pept avoir occasion de l'observer. Enfin, quand on observera prés du zénith, même à quelques degrés de distanco; ou fera bien dWSluer, aussi exactement que posilble, l’inclinaison du plan' du limbe, et on en tiendra compté <yi rnnyan de la, formule précédente, ce qui atténuera toujours l’erreur et pourra même en rendre l’inlluencntoul à fait insensible.

,j3o ASTBOHOM1P.

bas vienne en liant. Alors suspendez de nouveau le til-à-plonib ; s’il bat encore exactement sur les deux- points P et Q , le limbe est vertical et les pinces sont bien réglées. Dans le cas contraire, l'écart du fil-ü-ploinb sera double du défaut de parallélisme. Car, soit, parexcmplc, LL „Jîg. 80, la direction du limbe dans sa première position, la verticale PQ faisant avec lui un certain angle par l'erreur des pinces. Dans le renversement , chacun des points P, Q décrit une circonférence de cercle autourde l’axe de rotation ACC, qui est perpendiculaire au limbe. La ligne PQ décrit donc, autour de cet axe , une surface conique dont l’angle au centre est PC'P' ou O'C'Q , P' et Q' désignant les nouvelles positions des points P et Q après le renversement. Si par le point C' on mène C'L' parallèle au limbe, cette ligne , qui demeure immobile pendant la rotation, divisera l’angle Q'C'l’ en deux moitiés, dont chacune sera égalé à l'angle L'C'P , formé par la ligue PQ avec le limbe/ Or, quand on suspendra de nouveau le fil-à-plomb en Q', la quantité Q 'Q’P', dont il 's'écartera de la ligne P'Q' sera égale à 4’angte au centre Q'C'P. Cet écart sera , par conséquent , double de l’erreur du parallélisme.

Si l’on s’apercevait d’une erreur de ce genre , il faudrait s’occuper de la corriger. Pour cela, il doit y avoir, sur les pinces , des vis'de rappel qui perm’ettent de rapprocher ou d’éloigner les points P-nt Q. On fera donc marcher ces points de manière à détruire la moitié de l’écart observé, et avec tes pinces ainsi réglées , on remettra le litnl«f vertical. Mais comme il est bien difficile que l’on fasse exactement cette bisseelion dès la première fois , lorsqu’on aura rétabli î» très-peu près la verticalité du limbe, au moyen des pinces corrigées , on profitera de cette verticalité approchée pour ■cori'iger de uotivèau lés pinces, et en .procédant ainsi par une suite d’csSais et de corrections successives , on parviendra bientôt h régler le tout exactement. Le petit niveau perpendiculaire au limbe indiquera ensuite !a conservation de la .verticalité. On peut même, en répéta ut'res tentatives sur divers points du limbe, s’assurer que l’axîe dorotatibn lui est exactement perpendiculaire , car, s’il né l’était pas, les positions du fil-à-plomb ne s’accorderaient pas entre r*Wrs snr les différents ravonsriu cercle.

328. A la rigueur^ un pourrait se contenter de ces. précautions, relativement a la .verticalité , car si 'on la trouvait dérangée dans une observation, les vis de -rappel de rinslruiucDt sufliraient pour la rétablir, d’après l’indication du niveau perpendiculaire. Mais comme cette 'opération prend toujours un peu de temps, il faut la rendre aussi raie que possible. Or, on serait forcé de Ja faire à chaque observation , par le retournement du cercle, si la colonne qui le porte n’était pas exactement verticale, far si , dans la première position de l'instrument, lorsqu'il fait face à l’est, LM , fig. Si, était le limbe supposé vertical , et AB la colonne inclinée à l’horizon ; comme celle-ci reste immobile dans le retournement, le limbe, en passant à l’ouest, prendrait la direction L'M', toujours également inclinée sur cet axe, mais non plus verticale ; en sorte qu’il serait nécessaire de lui rendre la verticalité , et de la lui rendre ainsi tour à tour, en passant d’un côté- à l’autre, dans chaque observation. On évite ces inoonvénients en rendant la colonne verticale, et onTamène à cette situation au moyen de trois vis que porte le cercle horizontal sur lequel la colonne s’élève, et qui sert de base à tout l’instrument.

des trois vis, désignées par V, V', V" dans la Jig. 8a , sont espacées à des intervalles égaux, de manière que les riavons CV, (J V', CV'-, menés perpendiculairement a Taxe de la colonne, lassent entre eux des angles égaux au tiers de la circonférence. Le procède consiste à rendre d’abord, un de ces rayons, par exemple CV, horizontal , et à faire ensuite tourner le plan VV' V" autour de cette ligne, comme axe, de manière à le rendre enfin parfaitement horizontal dans tous les sens. Alors l’axe XC'y qui , par construction , est perpendiculaire h ce plan , sc trouve nécessairement vertical.

Pour cela, on profite du grand niveau N N', qui esf adapté à la colonnedu cercle, et qui sert à conserver le zénith dans les retournements. On dirige le limbe dans le vertical de la vis V, et on met le niveau horizontal ; ensuite on donne au cercle un mouvement aziniutal autour de la colonne rCC', et on lui fait faqp un demitour qui ramène le limbe dans ie vertical de kt vis V. Mais alors les déux bouts du niveau ont changé de ]>osition par rapport à cette

wrnoNOMiK

vis. Le bout qui était sud est devenu nord , et celui qui était nord est devenu sud. Puisque la rotation s'est faite autour, de la^cnlonne CC', le niveau a décrit une surface conique autour de Ja ligne CC' comme axe. Si cet axe est vertical , cette surface devient un plan horizontal , et le niveau n'est point déraDgé. Mais si la colonne est inclinée à l’horizon , le niveau ne peut plus être horizontal, et l’inclinaison qui produit son écart est doublée parle retournement. On corrige donc la moitié de cet écart en faisant marcher la vis V dans le sens convenable , c’est-à-dire en haussant on baissant le point V, selon l'indication du niveau. Puis on achève l’autre moitié de la correction en faisant marcher le niveau lui— même, par ses vis de rappel , jusqu’à ce qu’il se trouve ainsi ramené au point d’égalité où on l’avait place d'abord. Mais comme on n’est jamais assuré d’avoir fait la hissection exactement, on re-"’ commence l’opération avec le niveau ainsi corrigé. Si le retournementdonne encore une différence, elle est incomparablement moindre, et en peu d’essais on parvient enfin à la détruire.

Alors, la colonne CC se trouve amenée dans un plan vertical, perpendicnlairc à la direction du rayon CV. Mais cela ne suffit ]>oinl encore pour que cette colonne soit verticale, car elle peut encore pencher vers V' ou vers V" : aussi , en dirigeant le liutbe dans chacun de ces azimuts successivement, trouve-t-on toujours qu’il dévie dan3 des sens opposés, et d’une quantité égale. Ainsi, en élevant l’une des vis et abaissant l’autre de quantités égales , on doitrétablir la verticalité , et trouver le niveau exact dans tous les sens sans qu’il soit nécessaire d’y toucher; c’est, en effet, ce qui arrive. Mais rominc on n’opère jamais ce partage d’une manière bien exarte, il s’ensuit que le. premier rayon CV' né conserve pas tout à fait son horizontalité après ces opérations. On recommence donc de nouveau , en partant de ce rayon , à rétablir la verticalité de l’axe. Mais cette fois les corrections sont incomparablement moindres, et, avec un peu d’habitude, on parvient à. rendre l’axe vertical après deux on trois essais. Alors le niveau reste horizontal , dans quelque azimut que l’on dirige le limbe. L’opération que nom* venons de décrite se fait- ordinairement avant toutes les autres vérifications , parce qu’elles ne sont jamais si faciles qiic

JHYSlQlir. J {33

quand i'axe est vertical^ niais pouvait, coinnttoëtte operation n'est pas de nécessité rigoureuse, jefle l’ai pas débité d’abord, f ** £ 52# Lorsque tou tes .ces vijjlic.il ions sont faites /Si l’on altaelie

niveau peipendjfiplaire an limbe dpivent yoii^ei'ver leur horizon-

* talité sans aucun dèi,mgeinei^.£etteAkrnière ycrififation embrasse i * et Ç0|t)6rmc tonte* leS’autres'M^

\ 350. 4 ne reste pins qu’à régler l’axe ôptiquesde la lunette. Cela *

se fait au pioven de la lunette d’éprenve, comme on l'a expliqué pour le mural , tome ü, pa|e 356- Si l’on n’avait pas (Je lunette * d’épreuve, ’bn pourrait y suppléer au moyen du cercle a/.imutal

* qui sert debase à la colonne et qui est ordinairement dix isiyomuu

le. cercle vertical; Voici en quoi le procédé consiste : fhrigpz la . lunette sur un point très-éloigpé et situé à. l'horizon ou très-pris f , " de J’horizon ; pour cela , une différence dè dix ou douze d^rés * n’est d’aucune conséquence. Lisez sur le cercle azimutal le nombre « de degrés et minutes auquel répoiyl l’index dt^lu rûjonne, ou, pour t plus d'ejtaçtitude , choisisse^ le point de mirejie manière que cet*

*• . index réponde à une division exacte, tellement que L’oii puisse rt^

* pondre .de sa, position à très-peu près. L’feimut étant bien lu , • faites tourner la colonne d’une demi-circonférence , en sorte que l’index qui répondait d’abord à l’azymU A^, réponde itîàin- '*

■ tenant « l'ammul A -f- 200', et après l’avoir mis bien exacte-

pres-

votre

ment dans cette position, lixea-le, au moyen d^ sa vis de sioti , d’une manière invariable, t Par cette Opération lujietto S'est retournée; detachez-la , ’et, la faisant glisser sur le ' limbe ^ ramenez-la sur le point de mire .précisément comme si* vous vouliez prendre sa distance Su zénith dans Sue observation

ptan du li

’ ^ jiaiée. Si l’axe,optiqiie de laluneUe est pfrallète au plan du» limbe, vous deyez retrouver le point de mire à l’intersectio^les fils.

te a U plus^etite inclinaison-, comme «fitis le ytour-

dey

Mais si cet axe

oeinenf il dtyrÿ une surface coniqu* autour de l'axe pendiculairé au limbé , le point ije mire nê^iourraujii vor^jp rintersectjqrfcalcs fîls : il s en ccSrtera à jlroite oi

■ 'entrai pefus styrelfiouoicj gmiclie.

fl

4 34 " « ASTROHOM'l

Si l'axe optique s'approche réellement du limlic <iu côte de Uobjecuif,‘1e |%iint «le mire paraîtra s’euTloigner. Au contraire, si celte extrémité de l’axe optique s’éloigne du limbe , le (Soint d£ mire paraî(p* *tfcn approcher, pajpé que Tes lunettes re^ersen^ et, comme le plan du limbe se trouve 'toiiiours datft le in^nio vertical, l'écart apparent du pointée fftre est double de l’erreur produite pas l'inclinaison de^axt optique. C’est ce que montre la fî^. 83,

O'O" l’écart de l’obj«!t O' par l’effet de l'inclinaison de 1,’axe optique .s u rie plan {luKmbe. écart double 3e O'B qui représente l'effet réeTtlecelta inclinaison.

Voulez-vous mesurer cgtte erreur, détachez l’index du cerele a/.imutal',*de manière que vous puissiez faire tourner la colonne, es ramenez ensuite l’intersection des fils sur le point de mire ; l'angle parcouru par l’index sur le cercle aziuiutal sera égal à l’angle O" CO', et, par conséquent, double de l’erreur O’CB, en supposant que pdqctuviit à l’horizon. Si cette dernière condition n'était pas remplie, l'angle parcouru sud le cercle azimutal'serait la projectidn horizontale de lpn^le réel. Si j’ai choisi l’objet à | l’horizon , c’est afin que l'opération donnai tout dev suite cette mesuîé. 1 #

Méis , au lieu de mesurer l’erreur, veut-on la corriger? Il n’y a qu’à ramener les fils du micromètre vers le point de mire, et les 1

faire ainsi marier jusqu'à ce que l’on ait détroit la moitié de

l'écart. ‘Si l’on a fait exactement cette bissection , l’axe optique sera devenu parallèle au planduliinbe. Mais comme on n’est jamais sur 'Vl’y parvenir dès la première fois, on recommencé la vérification avec cef axe optique déjà réglé, 'et, eii peu d’essais , on parvient à obtenirde parallélisme avfcc tout le degré d’exactitude nécessaire,, degré que le calcul détermine, comme on le verra dans les notes que nous avorts placées ioi (*J. » 'i *

(•)* Appn'r i(*n» i’errear pourraiCK siiltix d’un defaut tlr^arallfli»me de l’ni£ optique. Tour cela , concevons un rayon visijét twirfè l’objet ut>

PWVSKJli!'.

Je saisis cette, occasion de fajjo^-einarqucr.encore^inc fois qui- * l'exactitude <ie< pücédés tiÿtiunoniituiQi est tqujWttrs fondée sur

Tre egalementje plus silr moyen,

et*»vr«e les autres sciences:, offre

(lirais presqttejc seul, dfe parvenir à uaejjrancl^prCt^ion*"

Au tuo$?n des vérifications «tue nous venons' de" degyjre, le cercle est Complètement réglé , %t on petit jinlmédwteftent s’eiw

k,.,. ..a.: c ai ■ *- *

serve, et passant pari ave opi

t Étbituéi rus%flu * /

avec la paféntc'

«er\i» pour les observations. Tontes oies vérification^ tfont plus longue à expliquer qu’à faire , lorsqu’on est habitué .à l'tisajpfht *

ceroflP 49

V" 9 * er * 4 1

par fa te optiquo do lu lunette. L’angle ddee rayon verticale sera la dislpnCr vraie au zénith ou Z; mais la distance ajq Z', (elle qu'ôn la lira sur le limlîr , ne séM que la çrojection'de la précédents sur leydaD du limbe , a* tno^en d’un arc de cercle perpendiculaire ^ son plan. *el arc mesurera donc rincUnêtson de l’axe Optique sur le plan du limbe. Soit I cette inrfingison ; il est vtjible que le$,ang^ps j,Z' et i'sont Iqp trois eûtes d’un triangle spi^rique rectangle, dou( V. est l'hypoténuse, et par «conséquent dâus lequel on aura, comme tout & l’heure, *

^ 4 • • ' ’rt

^ cos 7*^ cos Z' qos'I. ~ ^ «• t '

t.'etto équation est absolument de mèmrf forme qilc collègue nous aVone trouvée pour la verticalité du limbe. On en tirerîP'doiic de même, par >mif approximation toujours suffisante , 1 . ,

* Vu • * *! • *1 * -..f

sin { (Z— Z') :

sin* J-J

taiig Z' *

^ I.’erreur provenant de l’axe optiquo est encore pins petite qup eelle qui est 4 due au défant de verticalité du limbe, <Ju moln| ordiu^i rement, car il cs^ près-facile d’éviter, sur l’Inclinaison de i’axq optiquq, intimité d’erreur, et l’eflet en serait inscqsible surfes distances air zénith (lùl’nn a coutume d’observer avec le cercle répétiteur. On, voit que net «flèi tend aussi h diminuer les Distances au zénith . puisque la distanaq/.’ lue sur le limbé i st moindre que là distance relie/

. Si l’on avait mal pegle IVc optique, ag si Ion avait observé trop loin de eet axe. on Jnqrrait Joujo^rs , au moyen di^la fqpm tilu prcéilenu^ corder le» observation*.

ÏMi

AST»(»OMt*

f 331. Il me reste maintenant à expliquer comment , lorsqu'on observe les hauteurs des astres au cercla répétiteur, on peut éluder les effets du mouvement diurne, et opérer absolument comme si

» l’astre était immobile.

D’abord , en faisant tes observations, on ne peut ordinairement

a voir^gue deux objets; de trouver l’heure par le moyen de la

hauteur obaervéc , ou de trouver la hauteur méridienne de l’astre.

. • , , , ■, ■ Examinons successivement ces denx cas. >•

% ? Pour avoir-l’heurc, il faut déterminer l’angle horaire par*ie

• , moyen de la hauteur observée. Il est donc avantageux d’observer

, * loin du méndien, parce qu’alors les hauteurs des astres varient - jduslxipidement j’tandis qu’en approchant du méridien , elles de- • \jenneut presque constantes, et une très-petite variation dans la hauteur répond à une grande différence d’angle horaire, de sorte « qu’une erreur fort petite sur l’observation de la hauteur en introduirait line considérable .sur le temps absolu. Le calcul fait voir que le mouvement en hauteur est le plus rapide lorsque Vaztmut . est de ioo*. Alors l’astre se trouve dans le plan vertical qui contient les.pointsji’.gst et ouest , et que l’on nottime ordinairement premier vertical. C’est dçnp surtout dans cette position qu’il est avan- • ^ tagàiik d’ofi&rver Je$ distances au zénith, pour en conclure le femps. biais tous les astres ne peuvent pas satisfaire à cette condition , car il y en a toujours beaucoup d’entre eux qui ne passent jamais au premier vertical. Heureusement cette condition n’est pas non plus rigoureusement necessaire, et lorsque les circonstances ne permettent pas de s’y astreindre, ce qui arrive fort souvent , il faut seulement choisir l'instant de l’observation et la hauteur de * l’astre, de manière que lesk variations de la hauteur soient assez rapides pour que les erreurs inévitables des observations n’y soient pas considérablement agrandies, quand on en déduit- l'angle horaire. Il est toujours très-facile^de déterminer, pour chaque ** , astre , les limites convenables , en calculant d’avance les petits

changements d’angle horaire qui correspondent à de très-petites variations de hauteur. En général , on sebt qu’il faudra, autant " qn^posüblé, choisir des étoiles situées prèslle l'équateur, .tBn que *c . .

'■ PHYSIQI K. ** 4^7

Iwn mouvement diuiirc soit plus i«q>uic, et éviter les étoilés eiieuiujpolair^s , dont le iflouvement est troft lent^*).

532’.’ Supposons donc que l’on ait eu egard à «>1, précautions diverses': on observe les distances de l’astre au zénith , çortime on ferait s’il était fixe*; mais à chaque observation-^ soit paire, soit

, (*) Soient A la distanco polaire ilo l’astre que l'on observe, P son angle horaire , Z sa distance' zénithale, D la distanco do ^énith ail pâle on Je complément de In latitude du lieu; cela posé, dans le triangle sphérique fqrme parle* trois arcs A.Zel’DT ou aura l'angle horaire P,. par la formule*

. COS Z COB A cos D

cos P — : : — - -r-r; *

. sinAsinD

Supposons qu'au bout de quelques minutes Id’dislance zénithale devienne Z-,

et l’angle horaire P', S elDrestant les mêmes, on aura encore

» 1. cos Z'— ods A cos D •

cos P' = — . — : — ; .

«a < stn A fin 1)

retranchant ces deux équations l’une de l’autre, on a

cos 7j — cos Z

cos P' — cos P =

sin A sin 1>‘ 1

ou, en .transformant ces expressions , s

,in Î^P'-t-.P) Sin HP' - P)

Si les observations sont assez rapprochées pour que les diiïérences P' — Pet Z' — Z puissent être considérées pomme fort petites, on pourra substituer le rapport des arcs à celui des sinus , et l’on aura

(Z'-Z)sinV(Z'-t-Z) .

Sin J- (P< -t-P) sin A sin D’

de plus, si l’on néglige les carrés et les puissances supérieures de ces pelilcs quantités, on pourra, dans le facteur ^|^f~7^p-j,qiii multiplie déjà Z'— Z dans le second membre , supposer Z = Z' et P = P', ce qui donnera

sin Z

sinPsin A sin D

Les circonstances les plus favorables à la détermination de l’angle horaire sont celles qui donnent à P' — P les plus petites valeurs, Z' — Z restant

T}38 *V ASTa/BNOMIS # •

impaire, on xtote^exacteiiiept l'Iienre , la minute , la seconde et, la fractitfti de secondé où Mastre .s’est plaçait .centre des fils. Cha- (|iie^oiipli' d'obsc&ations *>xige au plustieux minutes , quelquefois une seule, selon l'habileté de l’observateur. De temps en temps, à la tin d’une observation paire ,,<>n lit sur le Ihnbe l'arc parcouru.

33." . Lorsque l’on fai* la lecture de» arcs , apres chaque couple d'obser.vatigns , leur intervalle étant suppose de deux minutes sexagésimales, on s’aperçoit que, dtyjs l'intervalle de huit ou dix minutes , les liau|pui# observées croissent proportionDclIcment au temps, de sorte ipie la moyenne des hauteurs correspond exactement à l'époque moyenne , au moins quand on oî) serve assez loin du méridien /conima nous l’avons indiqué. Ceci bien prouvé, on se dispense de lire les arcs. b la lin de chaque observation paire, ce qui entraîne des longueurs. On lit après six on huit observations ; en un mot, après un nombre de couples qui compnmncntihuit ou dix minutes dé temps : on nomme cet assciuLlage une série, et on

le même , car.alors une petite erreur sur Z influera peu sur P. Il faut donc,

pour l'exactitude, que le coefficient- — *?n ^ «oit le plus petit posr sin P iinAimU t r r

•ible; et comme, Relativement b une même étoile cl à un iqêmc observateur A et U sont constants, la condition ne porte que ■* le facléur

"■"-p'Or, dans le triangle sphérique formé par les trois arcs Z, A et D, ai

, .... ain Z sirt* A

1 on nomme A 1 azimut oppose au côte A , on aura — — r; = r r » el

rr r stn P Sin A

comme A est constant, on voit que la condition imposée sera remplie, lors-

que sin A sera le plus grand possible, pour l’astre que l’on observe ; par conséquent, si l’astre peut, d'après sa position , passer au premier vertical, le maximum aura lieu quand il y parviendra , car alors l’azimut A sera égal & un angle droit. ,

On voit aussi que, pour la même étoile, il faut éviter les angles horaires trop petits , qui rendent le dénominateur siu P ou sin A une très-petite froc-

, , , , , sin Z sin A

tion , et par conséquent augmentent la valeur du rapport ou — —

Quant au choix h faire entre les diverses étoiles, comme toutes ne peuvent pas passer dans le premier vertical , on voit qu'il faut éviter celles dont la distance polaire A est trop petite, et s'attacher à celles pour lesquelles le sinus de celte distance est le plus grand possible , ce qui a lieu pour les étoiles situées dans le plan de l'équateur, où A est égal à un angle droit.

i'HVSUM'K, 4 Ain

lait répondre lVpo«me moyenne tles obseivaliojft à l’arc moyen pftnibmu sur le limbe. Mais ^M’pn prolongeait une même série plus longtemps , ou si l’on observait très-près du méridien, cette méthode, serait inexacte, comme l’expérimièh et* le calcul Vfrcprdent «gaiement ^ le prouver (*]?

(*) Tout cela se Toit aisémeal pat la formula **

SID Ci

que nous avons Irouvécdans la note précédepterCette formate spppâsc que

pPon pari d’une ^première vjfteur.de P et da^ pour passer à d’autres extrêmement voisines* P' et VJ. Elle faitconriailro le changement VJ — Z de lu distance au zénith, lorsque l'on connaît (a variation P'— P de l'angle horaire, laquelle peut se couclurô du temps écoulé entre les deux observations. Tant qâe les ditférencas Z* — Z et P' — P pourront être supposées très-petites, ces différences seront sensiblement proportionnelles entre elles, et la • moyenne' arithmétique des distances zénithales correspondra à la moyenne arithmétique des angles horaires ou des époques des observations. Mais, par cela même, on conçoifque cette supposition est limitée et*nc peut être ad- • mise que pour un temps ircs-court.

Veut -on jugêr, dans chàVjueifas, de son exactitude et de lYlendue que Pou peut lui donner sans craindre d'erreur sensible? Il n'y a qu'à partir d'une valeur donnée de Z et de P, par exemple , de la distance moyenne ob • servéc pendant une série, et de 4'angle hprairc moyen, que Pou peut en conclure, au moyerfdu tfiangle sphérique, pardn formule rigourcurffe

cos P =

cos Z — cos A cos 1) sin A sin U

Puis on supposera duui l'angle horaire un changement égal h la moitié de Pintervalle d'une série, par exemple, à 5' de temps sexagésimal , si les séries sont de io minutes , ce qill , étant réduit en arc, fait un changement do i° i5* sexagésimales sur P ; alors, avec la nouvelle valeur P' = P -+- 1° i5', on calculera la nouvelle distance VJ par la formule rigoureuse

cos P' =

cos Z' — cos A cos D sin A sin D ’

on aura donc aiusi Z', et par suite Z'-Zf on pourra donc comparer celle valeur à colle qui résulte de la formule approchée

• 7 ,D, sfn P sin A sin I)

/* — — [r — fj ■ . v.

' sin Z

Si êl les s'accordent à très peu près, de manière qu'il n'en résulte pour

f f . * * ^ 1 rf

554. Ayant atjisi la distance moyenne de l'astre au zériith et l’è

poqtte moyenne qui y corrospourten temps de la pendule, on résoudra , avec cette distance, le triangle 6pl|ériquë quidonne l’angle horaire/ Cet angle , héduit'cn temps sidéral , donnera le nombre £ d’heures, minutes et secondes sidérales, comprises entrel’époqtiedès observations et le passage de l’astre au méridien. Si îans ce calcul |, on a soin de compter les angles horaires à partir du méridien su- ' périeur, et dans le sens du mouvement diurne", depuis zéro jusqu’à la circonférence entière, il suffira d’ajouter l’angtc horairè calculé à l'ascension droite de l’astre rédujte en temps, et la somme sera l’angle horaire du point T de l’équSteur ou l 'heure %déra!r , '

§ 18. Ih^est entendu qu’avant d’employer la distance zénithale observée, pour calculer l'angle horaire, il faut la corriger de la réfraction. Quanta la distance polaire de l’asft-e/qui est aussi (m des éléments de ce calcul , 'on Ja prend dans les catalogué astronomiques, par exemple, dans la Connaissance ries Tcntps ; mais * comme ces catalogues ne donnent que la position moyenne de l'astre, on y fait les petites corrections relatives à la précession, à l’aberra- • lion et à la nutation , pour la convertir en position apparente.

558. Si l’astre observé est le soleil, l’angle horaire, ainsi observé et compté de midi ou de minuit, donnera l’heure suaire. Les astronomes français, se conformant à l’usage établi généralement dans la société , comptent ces heures à partir du méridien inférieur ou de minuit, et ils vont ainsi, sans interruption, de o à ?-4 heures sexagésimales, ou de o à îo, heures décimales, selon qu’ils emploient la division sexagésimale ou décimale du temps.

Z’— Z qu’une différence insensible , per exemple de seconde , on pourra, sans scrupule, employer la formule approchée dans tout l'intervalle d'une série, et, par conséquent, regarder la distance moyenne sur le limbe, comme correspondante à l'époque moyenne des observations. Mais, si les deux valeurs de Z' — Z s’écartent tropl’unedc l’autre pour que l’on puisse négliger leur différence, on en conclura que l’on a trop proltmgé les séries , et, par conséquent, il faudra resserrer leurs limites. Dans ce calcul, il faut partir de l’époque moyenne, comme lapins favorable, parce qu’étant moins éloignée des extrêmes, elle prolonge moins la proportionnalité des angles horaires et des hauteurs.

Comme lé disque du soleil a un diamètre sensible, on ne peut pas, dans les observations consécutives, sabir son centra comiid pour une etoile et le placer sous le fil. On clude la difficulté en mettant une fois le fil sur le bord supérieur et une fois sur le boni inférieur. Par ce moÿên ,*une des distances est trop petite de tout le demi-diâmètre du disque, mais la suivante est trop grande de la même quantité} et comme les observations au cercle répétiteur se font toujours en nombre pair, il s’ensuit qu’il s’opère toujours, dans chaque série, une'èxacte compensation. Le mcqje artifice s’appliquerait si l’on observait une planèté, ou' même la lune. U est presque mutile de rappeler que, pour observer le soleil, oit’ place devant l’oculaire un verre noirci, et que, pour observer t les autres astres de nuit fil faut éclairer les fils dujaiicromètre, excepté pour la lune dont l’éclat suffit i^cet effet* ^

33tîj Lorsqu’on observe' des étoiles, il est souvent difficile et même impossible de les mettre exactemerft aiïcentae des fils, comme on devrait le f^iee, pour que lcfirs images se trouvassent précisément dans l’axe optique de la^unette. La difficulté vient de ce que les fils se croisent à ce centre, ce qiti accroît lc^r épaisseur , ou plus exactement la place que leur image occupe dans le chafap de la lunette. Alors, quand on met l’étoile derrière le centre des fils, il arrive souvent qu’elle se trouve cachée tout entiére/et que l’on ne pourrait pas répondre de. fa remettre toujouts exactement au rpème point derrière les fils. On évite cet inconvénient en n’ôbservant pas à la croisée même des fils^mais à une très-petite distance, suj le fil horizontal. Mais comme , malgré tout le soin de l’artiste , il est impossible que ce fil n’ait pas quelque petite inclinaison, o’n t:\che d’éluder cet effet en observant toujours au même point du IM , ou au moins sur des points très-peu éloignés. Pour .cela, si, dfins la première observation, la lunette -étant supposée à droite de l'observateur, on a mis l’étoile un peu à droite du çentre des fils,*ce qui la. met réellement un peu trop près di^limbê, puisque nos lunettes renversent on la plaeg, ensuite un peu à gauche de ce centre dan»; la seconde observation^ où la lunette est à gauche , ee qui la met réellement trop prèsdu limbe, comme la première fois. Alors il se trouve qu’on a toujours rapporté l’astre au même point phy-

ij{5 ASTRONOMIE

sique*lu jjj, ou à iine^si petite!® distance , f|ut; l'efCA de™ f incli ii^son du lil^dane n^ourt intervalle,

rts!

n a presque attcWie influence leunobs^-vee. 4 ou s’écarte de quelques sg-

irnitc ou à gauche .de Panoptique; 'mais l’erreur est UhA à fait insensible , comme on peut lé prouver parles formules que nous avons données précédemment, page 435, pour mesurer cet(e>eixpur.* » ’

657. I^a.inethode que nous venons d’exposer est cellè des KaÉteurs absolues, Elle n’était pas praticable avec* les anciens quarts d?cerq||îp> qtiiue donnaient pas les distances au zénith avec assez d’exactitude, à cause des erreurs de division dont ils étaient presque toujours affectés. On recourait donc plus ordinai renient -fia méthode desJiauteurs correspondantes, Hque nous avons expliquée dafls la page346du tonie y. Maintenant celle des hauteurs absolues est la phis exacte de toutes, grâce à l’invention du cercle répétiteur, qui permet de mesurer ces hauteurs avec la dernière précision. On peut augmenter encore ses avantdgeÿen observant plusieurs séries d’jun'méme astre , et en les prenant de part et d’autre du méridien, ce qui évite toutes les erreurs d’ascension droite et affaiblit même celles de la- réfraction. Avec tous ces soins, j’ose affirmer que le cercle répétiteur offre le moyen le plus sûr de déterminer le tem^s, soit absolu , spit relatif , et je ne doute point qu’il ne l’emporte à cet jgard même sur la lunette 'méridienne.

Potrr compléter ces notions, j’ai placé , dans les notes, deux exemples de calculs du temps absolu, par les hauteurs d’une étoile et du soleil. La pratique de ce procédé est indispensable, car la détermination du temps est la base de tout ralcul astronomique , et les moyens de l’obtenir avec rigueur sont si faciles, qu’on ne serait pas exau sable de ne pas les employer dans les occasions où cel.1 devient nécessaire. «f

.638. L’autre genre d'observations que l'on peut faire avec le cercle répétiteur, c’est la mesure de la hauteur ineridienjie des astres. Pou* cela, peu d’instants avant que l'astre passe au méridien, or commence une série de. distances au zénith , -que l’on continue jusqu’.après le passage, à une distance à peu près égale. La distaqge moyenne, donnée par eette série, diffère peu de la dis-

MiUl^UK. [43

lance méridienne. Cependant elle ne lui est pas tout à tait égale, puisque celle-ci, dans les passages supérieurs, est la “plus petite, et dans les inferieurs, la pluj grande de celles que l’on peut obser-, ver. tyais, en marquant avec exactitude l'heure, la minute, la seconde et la fraction de seconde où chaque observation particulière a été faite , et connaissant d’ailleurs fépooue précise du passage de l’astre au méridien et sa distance polaire , on sait calculer la correction que chaque distance nécessite. Cette correction n’est plus simplement proportionnelle aux variations de l’angle horaire,’ comme dans lès hauteur» observées loin du méridien. Elle est, proportionnelle au carré du sinusde la moitié de l'angle horaire. Dans les passages supérieurs , elle est soustractive des distances au zénith , parce qu'alors la distance méridienne est la plus petite de toutesj dans les passages inférieurs , elle est additive. par une raison cotÿraire Comme l’arc parcouru sur le limbe est égal à la

(*) On a vu, dans la note de la page 437, que les distances successives d’un astre au réq^tli, et les angles horaires qui y correspondent, sont liés entre eux par la relation suivante :

sin { (Z' Z) sin 1 (Z'- Z) = fin A sin D sin-j (P'-t-P) sin j (P' - P).

• V» ’• jp

Supposons que Z représente la distance méridienne, et Z' onc 'distance observee très- près du, méridien, en sorte que Z*— , Z sait un» trè^petite quantité que nous nommerons S , laquelle sera pqsitive dans les passages supérieurs où Z' surpasse Z, et négative dans les passages inférieurs où Z surpasse Z'. Supposons encore que l’on comptq Ica angles horaires jt partir du méridien où l’on observe le passage; l’angle horaire P, correspondant à la distance Z, sera rtul, et l'angle horaire P', correspondant & Z’, sera fort petit. En faisant ces substitutions dans la relation précédente, pour la rendre applicable aux distances méridiennes, elle deviendra

sin (Z-t- j<?) sin 4 J = sin A sin D siu’^P',

ou , en développât le premier facteur, *

• sinZ sin a -HucosZ sin’j 0 =a sin A sin Dsi n* J P'.

La valeur exacte de sin à peut s'exprimer en une série convergente, ordonnée suivant ies puissances de sin* -J- P'; mais on peut, sans aucun calcul, obtenir lo premier terme de ce développement, qui suffit presque toujours. Car , en remarquant que sin i et sin} J sont des fractions très-petites , on voit que le carré de la dernière, ou sin’^o , sera beaucoup plus petit qui

somme île toutes les distances observées , on .y applique la somme de toutes lés corrections, dans le sens convenable ,-et on a autant de fois la distance moyenne qu’il y a, d’observations dans la'serie ; de sorte que, pour trouver cette instance , il sufiit de diviser la somme des arcÿ et des corrections par leur nombre: On, ce qui revient au mêrae, on prend la moyenne' des distances observées, pn v applique la moyenne de toutes les corrections , et on a la distance

, 1 * — fs

sino; ainsi, en négligeant ce carré, dans une première approximation, eu tliira simplement

, , asin S stn D siri'fP' • •

. »jn i = -, . — — •

• Un A i, ,

. ' % . ; » • Oirpeut encore simplifier cotte expression, ou du moins en rendre le calcul plus commode* éh remarquant que Æ étant pu très-petit arc, op peut, sans -erreur sensible, supposer la proportion 6ln t": si nfc :: ht: 9 y c'est- à-

dire que l'on peut substituer à sino1 l'expression — sin i", alors on aura

sin A sii> D î'csin,jP' sin Z bin i*

C'est ld valeur ’de la correction demandée, qui sc trouve ainsi exprime* en seconde#. Gcmtnc on a , en général, Z' — Z=t?, on aura la distance méridienne Z = Z'— .0. Pour etgblir la continuité entre les expressions algébriques, il faut compter la distance polaire A en allant du méridièn supérieur au méridien inférieur^ depuis o° jusqu'à la circonférence entière; alors, dans tous le# passages supérieurs , A sera moindre que deux angles droits , sin A sera positif, et la correction £, par le seul jeu de la formule, restera positive et par conséquent se retranchera des distances au zénith observées. Au contraire, dans les passages au méridien inférieur, A étant plus grand qua deux angles droits, sin A deviendra négatif, $ changera de signa et s'ajoutera aux distances zénithales.

Pour appliquer la formule précédente, on calcule les valeurs du facteur a" sin** P'

sin \m

-, correspondantes aux époques des observations, on en fait la

somme, et on la divisé parle nombre des observations. Puis on multiplie ce ré-

. . , , sin A sin D ....

sultat par le facteur ; — ri — * qui est constant pour toutes les sortes du

stn Z

môme astre, ot l'on a la correction moyenne qu'il faut appliquer à la distante observée, dans le sens convenable , selon ce que nous avons dit plus haut. Qn trouvera un exemple de ce calcul dans les Notes.

physique/* • ' 44^

■ tnérjalienine felle qu'on l’aurait observée immédiatement. Le complémcrtt de cette distance e»t la Laideur méridienne.

339. Ce jfli>cédé semble impliquer un cercle vicieux. Car, pour calculer le^ corrections dont nous venons de parler, il faut déjà connaître la distance polaire de l'astre, sa distance méridienne Z et ‘ la distance D du pôfe au.' zénith. Or, c’est 'ordinairement pour trouver une de ces choses que l’on fait les observations dont nous parlons ici. Mais on remarquera que la connaissance exacte deccs éléments n’est pas du tout necessaire; il suffit dé leur valeur, même grossièrement approchée. Car les erreurs que l’on y peut commettre sont considérablement atténuées , patce que , dans l’expression de la réduction au méridien , elles se trouvent multipliées par le carré du sinus de la "moitié de l’angle horaire, quantité qui est toujours nno>Jraction extrêmement petite tant qu’on ne s$carte pas , beaucoup 'du méridien. De sorte que l’influence de’ ces erreurs Itir* t la valeur delà réduction que nous nommerons Mktevient tout à fait insensible. C'est pourquoi, si l’astre observé est connu, il suffira de prendre sa distance polaire dans la Connaissance des Temps ou dans les cartes célestes. Et si, de plus, on cbnnait à peu prés la latitude ou la distance D du pôle' au zénith , on en conclura une1 valeur de Z , c’est-à-dire de la distaaœ..xnéridienne , suffisamment, approchée pour calculer la petite réduction 5} Mais si la latitiltié .n’est point connue, 'mèmè approximativement, on n’a'qu’à employer d’abord pour Z la distance moyenne oltservéaTsans^uitre correction que celle de la réfraction ; avec cette valeur et celle* de la distance polaire à , qui est supposée connue ' bu calrulcfau ou la distance du *pêle au zénith. Au moyen de res’valehrs approohées, on obtiendra celles de S ou les corrections à* faire auX1 observations pour avoir sa vraie distance méridienne ; £t recjjTmnençant le calcul avec celle distance corrigée, on en tirera une valeur de plié; exacte. Alors ces éléments sgront connus avec assez de précision pour qu’on puisse les emploie au Calcul définitif de la réduction au méridien.

-A LrVénte, nous empruntons encore ici des Tables la distance polaire de l’astre. Dans l*etat actuel de l’astronomie, ccf distances ^ont connues, pour les |#incipale? étoiles ^avcc mît extrême pr^-

.Die

joogle

446 \?rilONUMIK t

cision. Mais si l’astre observé était inconnu, il faudrait an moins ' supposer que l’on connaît la latitifde dti lieu où l’ort observe, et ^ par-conséquent ,1a distance du pôle au zénith. Alors , avec cette distance et la valeur observée (le Z , on calculerait approximati^e-

pour ii voir 1“ ~ tilde, 4n ma

calcul, comme dans le cas précèdent.

tuent la valeur de A , ce qui suffirait pour avoir lés corrections o >j

et par suite A et A avec phfs d’exactitude, an moyen d’un second

Enfin, si l’on voulait que l’observateur tirât tout de ses propres observations, il faudrait d’abord qu’il déterminât approximativement la latitude par lçs passages supérieurs et inférieurs des étoiles circompolaifcs, ce qui n’exige point la connaissance de la distance, polaire; après quoi il s’occuperait des autres astres. Telle est la marche d’invention que nous avons" suivie dans l'arrangement des précédents chapitres’; mais, dans l’application, il faut profiter de tout ce qui est déjà connu. A

37iO. Nous avons supposé que les angles horaires correspondants à chaque observation sont donnés en temps par l’horloge. Pour cela, il faudrait que l’horloge suivît exactement le temps sidéral , si c’est une étoile qu’ouobserve; Je temps solaire, si c’est le soleil ; et, en général, que sa marche fût conforme à celle de l’astre observé. Il est presque impossible^ qtie vcettc condition soit remplie à la rigueur, mais elle n’est pas indispensable; il suffit que* le mouvement de l’horloge soif'bien connu , et on le réduit à ne qu’il devrait être, au moyen du calcul. Si ce mouvement s’ecarte peu de la marche de l’astre, il n’en résulte qu’une petite correction, très-facile à faire sur le résultat définitif (*).

II est presque inutile d’ajouter que, si l’astre observe a un dia-

ïpresMon

” (*) La réduction au méridien a pour èspr

Supposons ^n*>, pendant uiiç rérolution diurne del'.iulre , Jjhorloge manque al1* — r ct.St ua petit nombre d'oscillatiqmtPsoil '1% un des angles 'idtaires oBservéAn 1 hoslftne, c’estSS-dire le

nombre d’oscilla-

*fqmpu. 4$ À '

mètre sensible, il Tant mettre alternativement le fil én contact avec son bord supérieur et son bord inférieur. Nons^ivons déjà indique cette précaution «Lins l’article 53iî. * . * ■

Mail , ce qu’il importe beaucoup plus de remarquer, si l’astre

observe avait un mouvement propre en déclinaisonV'il serait ne-

lions écoulées entre l’époque do l’uliscrvation et le passade de l'astre au me- *

ridicnq<fi est visible que cet angle horaire, converti en arc, n'aura*pos poïlr valeur i5T', comme cela devrait être si l’horloge et l’asire étaient d’accord. ^

Avant de faire cette eonvocsiQii, le nombreT'dora être modifié dans le rapport •

de la nuirche de l’horioge S celle do l’astre , c'est-à-dire dans le rapport de ’ • *

— ri a4*1, Ct eu multipliant le résultat par iS, la valeur de l’angle ho- * •

- , 1 iJT'ai*1 fii. "• « * *

raire exprimée an arc Reviendra - ^ ou^ entréduieatil tout ert se-, •

— y Telle serait donc la valeur

coudes sexagésimales, ^T'

de V qu’il faudrait employer dans le calcul 3e la correction de soSte

qu’un faisant, pour plus de simplicité, |5T ' —p' et

- — r , on au-

rait ja « • 1

Mai», on substituant cotte valeur dans l’expression de 0 , oh peut profiter de ce que r’ est une quantité fort petite pour la simplifier beaucoup) en effet, on a

' W ép éf V • a , W •

sin-4 P',= sin ( | p’ + 4 p'r' ) — s in \p' cos 4 p'r' -h cos i ^'sin-fyi'r'.

En élevant cette expression au carré, bornons-nous à la première puissance * de sin \p'r', et négligeons les autres comme exprimant des fractions trop petites , noua aurons *’ . r. , A

? , ' . , . , sin p' sin nV .

. AinHP^sin’iAf-t f--^ Ç- • » ™ . » ■

Le second terme de cette valeur étant extrêmement petit à cause de la pe-e titesse des arcs p' et pY, on peut, sans erreur sensible, lef* substituer ir' p' i ce qui revient k mettre u s i n } p* au lieu de sin p', -'ut ar'shi Vy»' a

au lieu «le sin p'r'. O11 obtient alqrs celui cxpi%s»ion fort simple »

ce qui.<for»«t:

sin’lf';* (yl- Or'^siii’ \p'

sin é sin D

a D jj -+- a r^) oP»fu,\p'J, sin Z « ||n 1"

Par cet artifice , chaque correction , calculée d'après l'angle horaire vrai ,

cffiSaire d’y avilir egajd jdcar la distance méridienne qui* se déduit de chaque* observation partielle au moyen îles réductions précédentes, est celle qui aurait réellement lieu si la déclinaison de l’astre restait toujours la oiéme^qa’à l’époque de l’observation. Si cette déclinaison varie, la distance réduite doit différer de la dislance Acridien ne véritable, et la différence doit être égale an changement dé la déclinaison, depuis l'époque (le l’observation jusqua celle du passage au méridien. C’est pourquoi, si l’on siqrposele mouvement en déclinaison uniforme, pendant la durée de la série, il faudra calculer proportionnellement la correction de chatte distance réduite , 'en- raison du l’angle horaire qui y, correspond . . Ces cor récrions seront évidemment de signe contraire avant et après lé paésage ail méridien , en supposant , commet cela est le cas ordinaire, que le changement dalla déclinaison se continue dans le même sens pendant, toute la sério ; car alors, si ce changement . augmente les distances au ténilh il’ un- côte du méridien, il les diminuera de l'autre côté. De làirésulte "cette règle fort simpld. Faites- sépat^ment la sommeilles angles horaires observes avant et après le passage , ces angles étant exprimés en •temps, par exemple en minutes. Retranche/, ces deux sommes l’une dé l'autre, divisez leur Hiflerence par le' nombre des observations, et , multipliez le résultat par de mouvement de l’astre en déclinaison pour une

trouve dans un rapport conatant avec celle que l’on aurait eu Employant dana le calcul l'angle horaire donné immédiatement par l'horloge. U en résulte seulement un terme de plus dana le facteur constant , commun 1 toutes les réductions. Ainsi, quanti l’horlogc/te suivra qu’é peu près la marcha de l’astre observé , on effectuera tous les calculs comme si citera suivait

cidttemcntj"’on détermidfcrà les valeurs dti facteur a ) cqpime

à l’ordinaire- et on aura „soin ensuite de tenir compte du facteur i + ir', dans le calcul du lheteur constant. Ou , si l'oit (put, lorsqu'on anra trouve la correction moyenne de toute la séjié, telle qu’elle' serait si la pendule suivait la marche de l’astre, on lui ajoutera leftrôduit de cctW correction par le nombre abstrait a r'. 11 est clair que r serait négatif, si l’horloge avançait sur Jjaslre au lieu de retarder, comme ou l’a supposé ici. Celte approximation serait encore parlai légion» suffisante, quand même ou observerait le soleil avec une horloge réglée sur le temps sidéral, ou réciproquement.

fi*

minute de temps, mouvement qui est donne par les tables astronomiques. Le produit sera la correction qu’il faut appliquer à la distance méridienne, calculée d’après l’ensemble de la série, comme si la distance polaire était constante.

541. Une seule série de ce genre, faite sur un astre dont on connaît la distance polaire méridienne, suffit pour déterminer la latitude du lieu où l’on observe ; car si l’astre passe au méridien du côte de l'équateur , comme dans la fig. 84, en retranchant sa distance méridienne ZS de sa distance polaire PS , on aura la distance PZ du pôle au zénith. Si , au contraire, l’astre passe au méridien du côté du pôle , comme dans la fi g. 85, on ajoutera, dans les passages supérieurs, la distance polaire à la distance méridienne, dans les passages inferieurs, on la retranchera. De tonte maqière, on aura la distance du pôle au zénith , et par suite la latitude qui en est le complément. Parmi les étoiles que l’on petit choisir potth obtenir ainsi la latitude, la polaire est la préférable, parce que c’est celle pour laquelle les réductions au méridien sont les plus |>etites. Cela tient à la -petitesse de sa distance pofttire(*). C’est elle aussi (pii a été la plus observée, surtout dans ces derniers temps ; par conséquent, sa distance polaire est parfaitement connue. On peut encore employer avec sûreté fi de la petite OurSe, qui a été aussi beaucoup observée par WM. Méchain et Delambre.

542. Lorsque l’on veut déterminer une latitude aveu une précision extrême, par exemple, pour la-mesure, d'une méridienne ou pour le tracé d’une grande carte, on tâche de.se rendre indé- I tendant môme de la distapcc polaire. Pour cela , on observe, au cercle répétiteur , les deux passage) supérieurs 'et inferieurs d’une étoilé circumpolaire ,• par exemple de la polaire elle-même, otf de p de ,1a petite. Ourse. On réduit ces observations au méridien avec les valeurs de la distance, polaire, les plus exactes que l’on peut se procurer , et on tire de chacune d'elles nne distance du pôle au

(*) Cela ae voit «ta tuile par l'expression du o, qui contient* » >«i numérateur, le sinus de la distance polaire. Quant à l'étendue dus aoples horaires, il copvient d’arrêter la série lorsqu'unOerrcur rlei" en temps, juf P*, donnerait une erreur tt’nne seconde rtc itecré sur la réduction o. * *

Digit

zénith, affectée île toute l’erreur qui peut avoir été commise sur la distance polaire. Mais cette erreur agit en sens contraire -sur les résultats des deux passages. Elle disparaît donc dans leur somme, qui donne ainsi la distance du pôle au zénith , et se double dans leur différence qui donne l’erreur de la distance polaire. Cette compensation est toute pareille à celle qui se fait dans les distances méridiennes du soleil , lorsqu'on observe les deux bords (*>).

C’est par ce procédé, uni aux soins de l’exactitude la plus

(*) SoicntZ’la moyenne des distances nu zénith observéesdans les passages snpériciirs ; Z" cette moyenne pour les passages inférieurs; 1) la vraie distance du pôle an zertith , et h la distance polaire véritable : en calculant avec ces valeurs , que nous supposons exactes, on trouverait

Dans les passagés supérieurs O = Z’ -f- A, llnns les passages inférieurs D = Z" — A;

et rcs deux valeurs de D s'accorderaient ensemble. Mais si, au lieu de A, on emploie AH- c, e étant l’erreur de la distance polaire, on trouvera nécessairement des valeurs do D, qui ne s'accorderont plus, cl en les nommant II’,!)", on aura , ■ , «

Dans les passages supérieurs D' = Z' -+- A -t- e ,

Dans lés passages inférieurs D” = Z" — A — e; ou , en mettant pour Z* -t- A et Z" — A , leur Valeur commune U ,

I)' = IJ-t- e, D* = D — r , « * .

d’où l’on lire, par addition et soustraction',

D = — - cz= —

Ainsi, quoique l’on ait opéré avec une distance polaire inexacte , la demisoinme deS distances zénithales obtenues par l’observation des doux passages donne la vraie distance du pôle nu zénith, et leur demi-dlffércucc fait connaître l'erreur do la distance polaire. L’erreur e influe, à la vérité, sur le coefficient constant qui entre dans Pcxpression de la réduction au méridien, mais cëlte influence est considérablement affaiblie par la fraction ain*^', ainsi que nous l’avons déji remarqué. Au reste, si l’on craignait qu’elle ne fût sensible, on n’aurait qu’i calculés de 'nouveau les réductions au méridien avec les distances D, corrigées par la comparaison des passages supérieur» et inférieurs; ce qui donnerait ensuite une nouvelle valènr de D, encore plus exactoquo la première. Mais, dans l’état actuel des eatafogues astronomiques, on n’aura jamais besoin de recourir h

cette ^seconde approximation. ‘ « ' ’’ «

PHYSIQUK. ^5,

scrupuleuse, que l’on a déterminé la latitude de Paris* * et celle de plusieurs points situés sur Tare du méridien, compris entre les parallèles de Formentera et dè Dunkerque : c’ést, par conséquent, ainsi qu’ont été faites les observations de WM. Wéchdin elDelambre, rapportées dans le tableau de la page 387, tome II.

545. Le cercle répétiteur n’est pas seulement utile dans les observations astronomiques, il sert encore dans les opérations géodésiques,et dans la levée des plans , pour mesurer les angles de position compris entre les objets. Afin de le rendre propre à cet usage, on substitue au grand "niveau une seconde lunette , pareillement mobile autour du centre comme la première, mais placée de l’autre côté du limbe; ondésengrène celui-ci et on l’amène dans le plan des deux objets dont on veut mesurer l’angle : il y a , pour cela, des vis de rappel dans tous les cercles. Soient, /?£.' 86, S', 6" ces deux objets , et C le centre du cercle. On met la lunettè supérieure' L' sur le point zéro de la division du cercle ; on l’y fixe , et sans la déranger, on fait tourner le limbe jusqu’à ce que l£ point de l’objet S' sur lequel on vise, se trouve au centre des fils. Puis on dirige l’autre lunette, la lunette inférieure L", sur l’objet à gauche, qui est ici S". Alors les axes optiques des deux lunettes comprennent entre eux l’angle S' CS", qui est celui desdëyx objets. Mais comme le point A', oit répond ht seconde , n’est pas, marqué sur le limbe , on ne peut pas lire cet arc. On y supplée en le doublant comme onjfait pour éviter la lecture du fil-à-plombdans les observations verticales. Sans toucher aux lunettes, on fait tourriér'le limbe de manière que la lunette inferieure, qui.se trouvait tout à l’heure dirigée sur l’objet à gauche, se dirige mainténànt sur l'objet à droite. Alors la lunette supérieure prend la direction CL', fig. 87. On la détache, l’autre restant fixe , et on la ramène Sur f objet a gauche, ce qni lui donne la position CA"S", Jîff. 88. Dans ce mouvement, il est évident qu’elle a décrit un angle ACA", préciscAient double de l’angle compris çntre ces deux objets. Ainsi ,. en lisant cet arc, indiqué par le vernier de la lunette supérieUEP, sa moitié sera l’angle demandé (*). ’

(*) Nous supposas ici l.rilifision clu limbe tracée de droite n jifuçhe,

544. Veirt-op maintenant l'angle Quadruple? Laissez les lunettes fixes, et faisant tourner le limbe , ramenez par ce mouvement la supérieure spr l’objet à droite S' ; puis détachez l'inférieiircrët amenpz-îa sur l’objet à gauche S", fi g. 8g. Alors les circonstances redeviennent absolument lesmèrHes que dans la première observation : sculdnent lp point de départ de la lunette supérieure sur le limbe n’est plus A , mais A", c’est-à-dire , l'extrémité de l’arc double parcouru dans le premier couple d'observations. Ainsi , en recom- Yncnçant à opérer de la meme manjpre , on ajoutera un nouvel arc double au premier, -et, en multipliant les observations, on aura tel multiple de l’angle que -l’on vpudra. Quand on croira avoir a\^.“int, par la répétition, une exactitude suffisante, on lira les vcrniçrs^et , en divisant l’arc. total par le nombre des observations , on aura l’arc simple, Ce procédé possède évidemment tous les avantages que nous avons remarqués dan* la répétition, pour les angles vert ica qx*

542, Voyons maintenant les précautions et les vérifications (|u'il.exige. La première est de rendre les axes optiques des deux lunettes parallèles au plan du limite : rien n’est plus facile. On a vu commcnt.il faut opérer pour la lunette supérieure; quand celle-ci. est réglée, on la dirige sur un objet éloigné, et on amène l’axe optique deT autre sur le même point. Ces axes optiques sont alors parallèles entre eux ; ils sont donc tous deux parallèles au pLip du limbe puisque l’un d’eux a été préalablement amené dans cette situation.

54G. Nous avons tacitement supposé que la direction de ces axes passait par le centre de l’instrument ; cela ne saurait avoir lieu que par un hasard extraordinaire ; il y a même des cercles

coibmedans la Jig. Alors, en opérant comme nous venons de lo.dirr, la Ipn^ttc supérieure CL' marche daris le scus des divisions. Mais si le cercle était illvisé de gauflic à droite, l'arc ainsi parcouru serait le supplément h ÇriciS de celui que le vornier indiquerait. 1 lans ce cas, il sorait un peu plus commode de diriger fa lunette supérieure surl'ohjct 4 gauche, et l’inférieure sur d’objet 6 droite, ce qui obligerait ensuite de faire tourner le cercle de L' ’ eu sens conlrnirodc ce quêtions avons supposé. Au reste , de quel-

qne manière quo,l’on opère, l’évaluation des arcs n'd aucune difficulté.

i»HY$IQUK.

dont les lunettes sont excentriques. Cçtte excentricité doif produire un effet analogue à l’erreur de collimation aluns le mural cxaminons-en l’influence.

Supposons d’abord que l’axe bptique de la lunette supérieure passe toujours par le centre du limbe , en sorte que’ Uinfcrieure seule soit excentrique. Ce cas est celui qui se présente le plus fréquemment. Tout ce que nous avons à considérer, c'est l’étendue de l’arc AA' A", parcouru par la lunette supérieure sur le limbe , fg. 88. Ou cet arc est composé de deux parties : l’une A'A^ est toujours l’arc compris entre les deux objets; l’excentricité de la lunette inférieure n’y a aucune influence, puisqu’il est intercepté entre deux positions de la lunette supérieure, qui n’est point excentrique. L’autre portion AA' est la* *quantité dont la lunette supérieure, d’abord dirigée sur S', a été repoussée à droite par la rotation du limbe. L’arc AA' est donc égal à l’arc décrit par la lunette inférieure pour aller de l’un à l’autre objet : or, si celte lunette est excentrique, le recul peut fort, bien n’étve pas égal à A" A'.’ Car soit , fi g. 90, CE l’excentricité , qui ne variera pas , puisqhe la distance de la lunette et de son axe optique au centre du limbe est constante. Dans la première observation , lorsque la lunette inférieure est dirigée sur l’objet à gauche , la direction de l’axe optique sera ES". Dans la seconde position, lorsqu’ellu passe sur l’objet à droite, la direction de l’axe optique deviendra E'S'*. L’angle décrit par cet axe en passant de l’un à l’«utre objet, est donc égal à S''C'S', ou à l’angle au centre ECE', puisque l’excentricité .CE, CE', est supposée perpendiculaire à la direction de l’axe optique. Cet angle ECE', ou S'C'S", exprime donc aussi le recul de la lunette supérieure, qui a fait le rffême mouvement. Désignons par A l’angle cherché , c’est-à-dire S"CS' ; et nommons S', S" les anglqs enèS' et en S", qui sont réellement les deux parallaxe* (*) sous lesquelles

f ! y — ^ — ’ — * — — * — *; — Vr

(*) On obtient aisément ces parallaxes quand on connaît l'excentricité (lu cercle cl la distance de l'ôbjel; cor, en nommant c rcxccntricitfcjjC et I) les distances , îv, S* les deux angles en S' et en S", on a évidemment

. sidS*=— -»

sin S'= 1

ou , en réduisant les sinus en secondes, à cause de lu |>clil06sc'dc& angles

Di

un observateur place à l’un ou F autre de ces points, verrait l’excentricité. Cela posé, on aura évidemment S”C'S'=S"BS'-r- S', puisque l’angle S' BS' est extérieur au triangle BC'S'. On aura de meme S" BS' — A + S", et, par conséquent, S"C'fi'*= A -4- S" — S': c’est-à-dire , que l’angle décrit par le recul de la lunette supérieure est égal à l’angle ides deux objets, plus la différence des parallaxes. L’arc total décrit par cette lunette sur le limbe, dans son retour

à l’angle précédent plus A , ou

à aA -+- S — S' ; et sa moitié A H , représente 1 arc simple

lu sur le limbe. La quantité - — - — exprime donc ce qu’il faut retrancher de cet arc, pour avoir l’angle A compris entre les deux objets ; ou ce qui revient au même , il faut à l’arc mesuré par les

vers l’objet à gauche , est donc égal

verniers, ajouter la correction , c'est-à-dire la moitié de

la parallaxe de l’objet à droite , moins la moitié de la parallaxe de l'objet à gauche. Nous avons supposé l’excentricité à gauche de la lunette inférieure, l’observateur étant placé à l'oculaire ; ce serait le contraire, si elle était à droite. Il faudrait alors ajouter la moitié de la parallaxe de l’objet à gauche , moins la moitié de la parallaxe de l’objet à droite. Il y a des cercles oit les deux lunettes sont excentriques, mais ce cas est fort rare :Ton peut voir aisément qu’alors la correction definitive est la différence de celles qu’exige chaque excentricité. Au reste, comme l’excentricité des lunettes et

S'fct S",

D tin 1"

fit la correction » ajoutera l'angle 'observé devient

•2 2 D sin if * îG sin 1" #

Elle se trouve ainsi exprimée en secondes. Si les distances des deux objets sont égales, D = G, et la correction est nulle. Il est visible qu'il mi dira, dans le calcul , de connaître D et G à peu près et môme avec une très-grossière approximation.

le limbe du cercle lui-même sont toujours fort petits par rapport à la distance des objets dont on mesure l'angle, il en résulte que les parallaxes S’ et S" sont toujours extrêmement petites , et peuvent, le plus souvent , être négligées (*).

347. Il arrive souvent qu’ayant à observer d’un point C ,/îg. 91 , un angle S'CS", compris entre deux objets éloignés,. on ne peut pas se placer précisément au centre C de la station, mais dans quelque autre point, tel que C' situé à une petite distance du premier. Alors l’angle S"C'S', observé tierce point , n’est pas le même que celui qu’on verrait du point C , et il faut y faire une petite correction pour l’y ramener ; c’est ce que l’on nomme lu réduction au centre.

Ceci est encore une affaire de parallaxe. Soient C l’angle demandé,

C' l’angle observé, S',. S" les parallaxes des deux objets, c’est-àdire les angles sous lesquels ils voient la ligne CC' qui joint les deux centres. On aura", comme tout à l’heure , C' = S"BS' — S', parce que l’angle S"BS'' est extérieur au triangle C’BS’. On aura , • par une raison semblable, S"BS' = C 4- S" ; par conséquent, C'=C-f-S" — S', et enfin C = C'-f- S'— S". D’où l’on voit que, pour avoir l’angle cherché C , il faut ajouter à l’angle observé • la parallaxe de l’objet à droite , et en retrancher la parallaxe de l’objetà gauche. Ces parallaxes sont faciles à évaluer quand on connaît la distance des objets, la distance des centres et. les angles' observés du point C' (**). • ,~

(*) Borda a remarqué que l’effet de l’excentricité est nul sur la somme des trois angles d’un triangle. En effet, soient A, B, C les trois nngles^n allant de droite à gauche, et AB, BC , AC les trois côtés ; les corrections ducs, à l'excentricité seront

f l'angle A . .

i l'angle B . . .

à l’angle C« . .

2 AC sin t* a AB sin 1* ’

a AB sin 1" a BC sin 1" ’

iVe ” i»:J

a BC sin 1" a AC sin 1"’

dont la somme est égala à zéro. < • 1 4 0

(*") Soit toujours l'angle observé S’CS^C’; supposons que l’ou observe aussi l’angle S”C'C et nommons-le j. Appelons G *la distance CS* de

ÔW. Quand on a observe les angles de position formés entre les objets et dans leur plan , il faut les rédnire à l’horizon. Pour cela , on redresse le limbe , on le remet vertical , et on mesure les distances des deux objets au zénitb ; avec ces distances et l'angle observé, on peut trouver la réduction à l’horizon, comme nous l’avons enseigné dans les pages 93 et suivantes.

349. Enfin , le cercle répétiteur peut encore servir, et sert en effet, à trouver l’arc de distance de deux astres, ou la distance angulaire d’un astre à un objet fixe. Le procédé est absolument le meme que pour mesurer les angles de position des objets terrestres dans îles plans inclinés. Seulement si l’un des objets, ou tous les deux, sont mobiles, il faut que les observateurs fassent continuellement varier l’inclinaison du plan du limbe , de manière à lui faire suivre toujours les deux objets. Chaque fois que la lunette est pointée sur l’astre, on note exactement l'heure, la minute, la seconde et la fractiondc seconde, comme dans les autres observations célestes. En bornant les séries à un petit nombre de minutes, on peut regarder la distance moyenne comme correspondante à l'époque moyenne des observations ; car nous avons vu qu’à de grandes

l'objet 4 gauche au centro de la atation ; et D la distance CS’ de l'objet 4 droite ; enfin nommons c" la distance CC’ des deux centres. Les triangles . S’ C’ C , S" C’ C donneront

. #sin(C'-r-/)

sm S’ = n

d’où l’on tire, en substituant les arcs aux sinus , * •

s» ° *in ((:' -1- ■*) ■" ° *ln>

IJ sim" ♦ Gains»’

C'est la correction qu'il faut ajouter h l'angle observé : si le second terme * l'emporte sur le premier, clic sora négative, et alors il faudra la retrancher. Ce s deux termes étant ordinairement fort petits, il suflit de con- « naître G, D, et l'angle y approximativement. Pour avoir l'angle .r, on mettra la lunette supérieure sur zéro, et on la dirigera sur S", l'infcricurc étant su$.S'; alors celle-ci restânt fixe* on détachera la première et on la dirigera à vue vers le centro C, puis on lira l'arc sur le limbe \ co sera la mesure de Tangle^, suffisamment approchée.

PHYSIQOK. 4^7

distances du méridien , le mouvement de l'astre est sensiblement unifSrme dans lin petit intervalle de temps.

5S0. Cette operation , qui exige beaucoup d’habileté et d’exactitude, sert à trouver les azimuts des objets terrestres, par exemple ceux des signaux pour orienter une méridienne ou une carte. La distance du signal au zénith étant constante , peut être facilement observée : celle de l’astre peut se calculer d’après le temps de l’observation. Avec ces données et l’arc de distance , on forme un triangle sphérique où les trois côtés sont connus. On peut donc aisément trouver l’angle opposé h l’arc de distance; c’est la différence des azimuts. On connaît d’ailleurs l'azimut de l’astre, d’après le temps de l’observation, et d’après l’heure de son passage au méridien. On connaîtra donc l’azimut absolu de l’objet. Il faut remarquer que, dans le calcul , on doit employer les distances apparentes au zénith , affectées de la réfraction , puisque l’arc observé est pris entre ces distances apparentes. Il est clair" que l’azimut absolu, et les différences d’azimut restent les mêmes malgré le changement des hauteurs, puisque la réfraction élève les arcs dans les verticaux où ils se trouvent. On fait commodément ces observations sur le soleil. Généralement l'instant le plus favorable est celui où l’angle horaire de l’astre est égal à 100*, ce qui répond à six heures sexagésimales avant ou après le passage au méridien. Alors, en effet, l’astre est parvenu à son plus grand écart de ce plan. Il cesse de s’en éloigner pour y revenir ensuite en décrivant l’autre portion de son cercle.diurne, ce qui fait que, dans les observations voisines de cette époque , l’azimut varie fort peu. D’un autre côté, il faut éviter d’observer trop près de l'horizon , lorsque l’astre -entre dans des couches où l’on peut craindre des réfractions extraordinaires. Car alors sa distance au zénith, qu'il faut calculer d’après l’observation du temps, pourrait • être fort inexacte. On évite cet inconvénient en employant la Polaire, au lieu du soleil. Alors il f^ut avoir un signal de feu qui puisse être aperçu la nuit aCn de pouvoir observer sa distance angulaire à l’étoile. Pour cet objet rien n’est pins avantageux que les lampes à courant d’qir munies de réflecteurs. On. prend ensuite à loisir l'angle que ce signal forme avec l’objet terrestre dont on veut

>gle

déterminer l'azimut. L'instant lu pins favorable .pour l’observation de l'arc de distance, est celui où l’étoile se trouve dans la partie de son cercle qui est la moins éloignée du signal, ‘parce qu’alors la distance étant la plus courte possible , éprouve de trèspetites variations. La position la plus favorable pour placer le signal est à 100* du méridien de l'observateur, parce qu’alors l'époque des observations approche le plus possible du cercle de six heures. Cette méthode a été employée avec succès en Angleterre, et depuis par Méchain en Espagne.

Comme cette opération peut être fréquemment utile , nous allons développer le petit calcul qu’elle suppose. Nous ferons d’abord abstraction de la réfraction ; nous verrons ensuite comment on peut y avoir égard.

Soient, fig. 92, O l’observateur, Z le zénith, P le pôle, S S* S" le parallèle que l'étoile décrit; soit R le signal de feu dont on veut avoir l’azimnt, représenté par l’angle RZP. Pour cela , nous avons dit qu’il sufGt de trouver la distance RP du, signal au pôle : en effet , les arcs ZP, ZR , distances du pôle et du signal au zénith , sont donnés par l’observation. Si de plus on parvient à mesurer l’arc RP, alors dans le triangle sphérique RPZ , on' connaîtra les trois côtés; on pourra donc aisément calculer l’angle RZP, ou l’azimut du signal.

Pour trouver RP, il suffirait de connaître l’instant où 'l’astre passe au point S ; car alors on mesurerait RS avec le cercle ; on y ajouteraitSP, distance polaire de l’étoile , et l'on aurait RP. 11 n’est pas même indispensablement nécessaire de connaître l’instant du passage en S avec la dernière précision; car l’arc RS étant perpendiculaire en S à l’arc que l’étoile décrit, les variations de sa longueur, de part et d’autre de ce point, sont nécessairement fort petites. Or, l’époque approchée du passage peut se trouver de bien des manières. Parexcmple,commeon est supposé ccutnaitreliieure,* on sait à quel instant l’étoile jtasse au méridien de l’observateur : à cet instant, mettez le limbe du cercle vertical*, dirigez la lunette sur l’étoile , et lisez sur le écrcle azimut, -il le pyint de la division auquel répond Pindex : puis donnant au cercle un mouyement azimut»! , amenez le limbe dans le vertical du signal ; placez celui-ci

au centre des fils, et lisez de nouveau , sur le cercle aziiruital , le point où répond l'index. L’arc parcouru sur le cercle sera évidemment l’azimnt du signal , ou l’angle RZP. Alors, dans le triangle sphérique RPZ , vous connaîtrez deux côtés RZ , VL , et l’angle compris; vous pourrez donc calculer le troisième côté RP, distance du réverbère an pôle , et l’angle RPZ , qui sera l’angle horaire de l’astre à l'instant de son passage au point S. Mais vous n’aurtv. ainsi ces quantités que d’une manière approchée , et avec le degré d’approximation que comporte la division de votre cercle azinmtal.

Vous pourriez même rectifier ces premières données, en amenant le limbe dans le plan du signal et de l’étoile, un peu avant l’époque où, suivant voire premier calcul , elle doit passer par le point S. Alors , dirigez une des lunettes sur le signal, l’autre sur l’étoile, et suivez celle-ci pendant quelque. temps , précisément comme si vous vouliez mesurer la distance RS ; vous ne tardez pas à reconnaître l’instant où cette distance est’la plus petite, et vous connaîtrez ainsi l’époque du passage au point S avec assez de précision. m « t , ■ ,

Mais voulez-vous en obtenir encore davantage et arriver à une exactitude indéfinie? Appliquez ici le principe delà répétition des angles , précisément comme on fait pour les passages au méridien. Observez au cercle les distances RS',, RS, RS", quelque temps avant et après l’époque du passage an point S, et réduisez-les toutes, par le calcul , à ce qu’elles seraient si elles avaient étéobservécs précisément dans ce. même point. Cette réduction est trèsfacile; car les circonstances sont ici absolument les mêmes que dans les passages d’étoiles au méridien supérieur. La plus courte distance RS reptrésente la distance méridienne, qui est la plus petite • de toutes. Les autres distances RS', RS", représentent les distances zénithales observées très-près de la première, et dont l’écart est mesure parles angles horaires SPS', SPS". Ainsi , les mêmes formules qui ont servi pour la réduction des distances méridiennes, serviront encore pour les azimuts^*)..

(•) Nommons R la distance du' signal an pftlc; A la distance polaire de l’etoile , et p son angle horaire compte à partir de l’époque de son passage

Examinons maintenant les modifications que la réfraction introduit dans ces résultats. Sans elle , les position» successives de l’etoile S', S, S" formeraient un arc de cercle dont le pôle vrai serait le centre. L’effet de la réfraction élève l’étoile d’une quantité dépendante de sa liauteur sur l'horizon, et qui , par conséquent, varie à chaque instant , à mesure que la hauteur de l’étoile varie. L’orbite apparente S'SS" n’est donc plus circulaire; mais comme l’élévation produite par la réfraction est fort petite, la forme de l’orbite est aussi très-peu altérée. Si l’on n’en considère qu’une portion très-peu étendue, comme cela a lieu dans nos observations de distance, l’effet de la réfraction, étant à peu près constant dans cet intervalle, ne fait qu’élever cette portion del’orbito sans la déformer sensiblement , et le petit arc sur lequel on opère peut encore

en S. D’après ces données, on aura la plus courte distance RS = R — A. Ainsi la correction qu’il faut faire aux distances observées hors de ce méridien aura pour valeur

sin R sin A a* sin* -{- v m •

~sin(R — A). sin 1" l>4

On calculera j les valeurs du facteur variable -

•in sin* J p

pour les instants

des observations; on fora la somme de toutes ces valeurs, on la multipliera

. - si» R *in A ... . , . ,

par lo facteur constant — — = r» et en divisant lo produit par le nombre

si 11 (II— » A)

dos arcs observés, on mira la correction 0, qu’il faut toujours retrancher de Ja distance moyenne mesurée sur le limbe- On nnrà donc ainsi RS, et par suite;* RS -f- A =s R. c'est-à-dire la distance du signal au pôle.

On voit qu’ici, comme pour les distances méridiennes, il sulfit. de connaître R approximativement: cependant, si la valeur do, celte quantité déduite des observations, après les réductions précédentes, diRera il» beaucoup de colloque l'on a employée dans le calcul des réductions, on so servirait de la nouvelle valeur R pour calculer plus exactement la valeur de l’angle horaire SPZ, qui donne rinslanidu passage de l'étoile nu point S. F.n effet, en supposant R connu, les trois côtés du triangle sphérique ÎU’Z le sont pareillement; et Von peut calculer un quelconque des angles du triangle. Connaissant ainsi plus exactement la distance R et l’époque du passage de l’étoile en S, on recommencera le calcul des réductions 0 avec, les cléments corrigés. Celle fois, la valeur que Von obtiendra pour US -H A ou R, sera fort exacte, et pourra èlro regardée compte définitive.

être considéré comme circulaire : mais le centre «le cet arc n’est plns’le pôle vrai , comme dans le cas où l’on supposait la réfraction nulle*; c’est le pôle vrai * élevé par la réfraction autant que l’étoile Test réellement. Ainsi, pour avoir égard à l’effet de la réfraction dans les observations d’azimut, il suffit de substituer ce pôle fictif au pôle vrai dans les formules , qui d’ailleurs restent les mêmes qu’auparavant (*).

(*) Pour mettra ceci on évidence , cons iderons d’nboni uno position quelconque S' <lq l'étoile sur son cercle, abstraction faite «le la réfraction. Soient alors Z la distance vraie de l’astre [at£*énith ; D in distance du zénith nu pAle rrai : A la distance polaire vraie de l’étoile, et A l’azimut du vertical «lans lequel «Ile se trouve , azimut représenté par l’angle lVS',fig. 93; on aura évidemment, dans le triangle spbtrique l’ZS’,

co» A = «in 11 sin Z cos A -t- cos U cos Z ;

ou , cc.qoi r«\ ierit au même,

cos $ = cos (Z — D) — asin D sin Z sin’ ^ A.

Supposons que, par l'effet de la réfraction, la, distance zénithale Z de i éloilo devienne Z' s= Z — r; la réfraction r variera si peu dan» Tétctidue de l’arc observe, qu’on pourra la regarder comme constante, car son cliangcinenl lofai , dans tout le cercle décrit par l’étoile, depuis le passage inférieur au mériflièn /jusqu’au passage Supérieur, va rarement il ro". Élevons le p«>lede la même quantité, en sorte que sa distance au zénith deyienne

D» — H r, Pt rapportons les positions apparentes de l’étoile à ce point

considéré comrao fixe. En nommant A' sa distance apparente Al’cloilo , nous aurons pareillement

eos A'==.co$ (Z' — D'>— asinb'sln Z' siu’.i A; <

maintenant, la nature (le mouvement vrai de l’étoile est telle «pu: A reste consla me ; il s’agit de faire voir que , pendant un court intervalle de to'mps , A’ peut être regardée comme constante ‘aussi. Tour cela, je retranché les deux valeurs de cos A et cos A’ l’une et l’autre, en observant que, par nos sup- -, positions, Z'— D’ = Z — IJ, cl l’on a ainsi

cos A' — cos A = U (sin D sin Z — «in D’ sin Z') sin1 j A ,

^ W 7 * ♦jnte J ^*1 ' *

ou, c e qui cil In mAmc chose ,

cos A'— côfrA *= Qf(wn Z— Z') sin D-PCsin D — sioD') sin Z'] 6in’ï A;

nu l»6u «les «JiWronces de sinus et «le fostmts, mettons loues valeurs en

A defaut de cercle répétiteur , les observations d'azimut peuvent se faire avec beaucoup de promptitude et même avectine précision presque toujours suffisante, par le moyen du sextant de réflexion (décrit précédemment dans le § ST I) , instrument qui est entre les mains de tous les marins , et qui doit être entre les mains de tous les voyageurs.

I onctions do la différence des arcs , il Tiendra

»in J(A-t- A') sip 1(4 — 4')

= a sin-tr [cos * (Z -t-Z'}sin D -t-'cos i(D-t-D') sin Z'] sin* ± A.

Tous les termes do aecond membre se trouvant multipliés par sin J r sont très- petits do l'ordre de la réfraction. La différence 4 — A’, doa deux distances, est donc aussi très-potitedu même ordre. En se bornant à sa première puissance, on peut substituer le rapport des pctilsmrcs $(A — 4*) et i /■ à celui do leurs sinus, on pont, de plus , supposer A=A', Z=Z',D=D', dans tous les autres termes de l’équation; on aura alors

sin (D-

sin A

— ' sin*

Ça

si la différence A — A' restait constante, comme A oc varit) point*, A'serait constante aussi; examinons donc, d’après cette formule, à quoi s’étend la variabilité de A — A'.

Tir, on voit topt de suite que cette variation ne peut être que 'fort petite, ot même tout à fait négligeable , quand l’arc qui comprend les observations est très-petit. Car l’expression de A — A' ayant pour facteur sin* J A , et l’azimut A dan» lequel on peut observer la Polaire, étant toujours fort petit, du moins dans nos climats , la valeur de A — A' est toujours extrêmement petite. A Taris, par exemple, elle ne s’élèverait tout au plus qu’à deux secondes, en supposant la réfraction d’iiQC minute, et i angle horaire de six heures, cc qui donne la. plus grande valeur de l'aximul A- On peut donc, sans aucune erreur, négliger les variations do A' pendant l’intervalle de», observations, et employer, pour A et Z, les valeurs qui conviennent à l’époque moyenne de la sério ; d’autant mieux que si le signal est placé dans un azimut peu différent do iooS, l'azimut A de l'étoile vnrio très-peu pendant la durée des observations. Ainsi, avec ccs restrictions, la valeur de A — A1 pourra être employée comme constante; l'étoile sera censée décrire encore un petit arc de cercle autour du pèle fictif, et 1o rayon de oc cercle sera » » » A

2r sin (Z ■+■ D) . , A' = A — , - - ' tin*

sin A

La diminution de ccravon estl’effet dn rapprochement des verticaux qui lotis

wsiqcï. 463

5<>l. Quoique le cercle répétiteur jouisse de tous les avantages que nous venons de lui reconnaître , je ne dois pas cependant dissimuler que quelques défauts d’execution de la part de l’artiste pourraient détruire toute son exactitude , et cela est d’autant plus important à considérer, que les défauts dont il s’agit sont très-aises à reconnaître; qu’il est très-facile, lorsqu’on en est prévenu , d’éluder leur influence.; et qu’euiin , fante de ces précautions, on s’expose à des erreurs graves., dont rien ne petit vous avertir.

D’après ce que nous avons dit au commencement de ce chapitre, sur la construction du cèrcle répétiteur, il est évident qtie les seuls défauts qu'où ait à y redouter sont cetrx qui peuvent attaquer le principe de la répétition, en produisant sur chaque observation

concourent nn icnilff. Car l’orbltc de l’étoile étant toujours comprise entre les mêmes verticaux extrêmes , tt faut uéoessairèment, Si ello s'élève , que «on ’rayon diminue , et dimîntio d’uno quantité dépendante de l'nrlnint A qui mesure l’écart de ces verticaux. On vojt donc que ces formules , fondées sur la pçlitcsse dé l’angle A, cesseraient d’être exactes si le pèle vrai était assez élevé sur l’horizon pour que l’ilimuï A cessât d’être nn très-petit angle; mais cela ne saurait arriver que dans dés contrées trop voisines du pèle pour qmvl'on puisso jamais avoir occasion d’y observer.

Kn résumant ce. qui précédé, on voit que, pqur avoir égard à l’effet <fc fa

«o T r-i efî nn ilnrtc lf>a tibv.o vâllnnc il - . . rr. « ... .

faut employer^ pour distance polaire do Ùcloito, U valeur do A’, que nous Venons de calculer. . »

' Arec ocs valeurs, on déterminera l'instant approché du passage de l’étoile lu point S,Jig. ga, ‘d’après les méthodes d’esiai que nous avon» Indiquée* ^ensuite on observera , par la répétition , Tes dtslances apparentes US du signal à Pelade. .On calculera le* réductions e',en employant les ‘valent* apparentes R' A' ot D', ce qui donne

^ sin R' tin A' V ein'j./>' , ' .

Les-angies horaire» p' doivent être çhmptés depuis le passbge de I efoilè nu point S situé sur le grand cercle qui joint le signaî au pille fictif. La illsunar

àoogle

une erreur constante. En effet, une pareille erreur s’accumulant avec le nombre des observations , et n’étant pas susceptible de compensation , puisque nous supposons toujours à l'instrument une forme invariable , se retrouverait nécessairement tout entière dans la distance moyenne au zénith, qui, sous ce rapport, ne serait pas plus exacte qu’une observation unique.

332. De ce genre sont les erreurs dues à l’inclinaison de l'axe optique et au défaut de verticalité du plan du limbe. Nous avons donné les moyens de les mesurer et de les détruire,1 ou de les atténuer assez pour que leur influence devienne absolument insensible. Mais il y a encore dans les eercles d’autres causes possibles d’erreurs pareillement constantes, auxquelles on h’a pas pris garde jusqu’à present. La première est l’erreur du centrage. Elle a lieu si la lunette supérieure, en tournant autour du centre du limbe, peut jouer autour de l’axe qui la porte. Pour concevoir l’erreur qui en résulterait sur les distances au zénith, partons de la première position de la lunette au commencement des observations, laquelle est représentée par OCA, fig. g4* Alors l’anneau MN, percé au centre del’alidade qui porte la lunette, est descendu par "son poids sur l’axe CM, autour duquel la lunette tourne; et l'anneau touche l’axe en M ; à son point le plus élevé. Les choses restent ainsi dans la seconde position de la luèelle après le retournement -dû cercle , pour passer à l'observation paire, fig. g5 et 96. Seulement le point île contact de l’anneau est passé de M en N, sur la partie opposée de sa circorffercnce. Par conséquent l'arc AZA', parcourir par l’alidade sur le limbe, fig. 96, est plus grand que l’apgle véritable oC,a\ et la différence est "égale à An 4- AV ou o. An. Mais une erreur contraire, et plus considérable , a lieu dans le passage de la seconde observation à la troisième. En effet , è la lin de la seconde ; la lunette a la position.Gi.CA', fig. gfî. Dans le retournement du cercle, la lunette prend la direction OCA ',fig. 97 . Elle conserve la même inclinaison sur l’horizon ; le point de contact N reste le même, et le point A' aussi. Mais quand bnsuite Ort ►fait tourner le limbe verticalement autour de son centre C, pour ramener la lunette vers l’astre, pt lui donner la direction OCA’, de la/fe»98, le point ile-eontart rie P9nne.nr sur Taxé «entrai ne se

fait plus :yi mémo |mint.N. la} lunette tombant par^urt , contact revient de nouveau du côté de M,. dans la partie opposqp de sa circonférence.- CeWiouveinent.ilippjoehele point A' du point A, par(,c <ipe Poculaiae désigné .par O dans la figure, est üxé au moyen dt sa vis de pressioft. La lunette tourne donc ainsi autour du 'point O comme centré ; l’objectif, eb tombant, rétrograde sur le limbe d’une quantité A'AV,, quadruplé de A'o' ; et coirime l'arc doubléconclu du premior couple d’observations était trop grand de 2 An, l’arc quadruple conclu des deux couple* consécutifs ft;st trop petit de la mcme.quantité. II est clair que ce même eflçt se reproduira toujours sur chaque couple ; et <pie, pour des distances égales an zénith , il se fera toujours dans te même sens , d£ la même quantité, puisque l’anneau de l’alidade et l’axe central sont tous deux circulaires. Voilé donc une cause qui tendra toujours à diminuer la rtesure des distances au zénith. Elle est d autant plus a redouter , que le rayon de l’anneau et celui de l>a\o sbnt ordinairement fort petits , de sorte que le moindre jeu qui peut sé trpuver entre eux s’agrandit considérablement en se reportant sur le limbe. Il est donc de la dernière importance que la juxta-position de ces detJJf pièces soit observée avec un soin extrême , et pour cela il faut que l’axe'd’acier.qui porte l’alidade soit prolongé d’une quantité suffisante, pour que l’artiste puisse l’adapter exactement sur l’anneau. Malheureusement, il paraît qu’on n’y a pas donné jusqu'ici assez d’attention, si ce n’est dans les derniers cercles que L’on a construits. * ,

5lî3. Un autre effet absojumenj semblable se produirai la vis de gressipn destinée à fixer l’alidade par la pression siptlé limbe, n’a pas assez de serrage pour la retenir invariablement. Car, dans le passage dp la seconde observation à la troisième, ou en général d’uné paire à une impaire , la lunette pourra glisser par son poids, en vertu du jnowvement.que l’on donne au limhe^ et alors le point A' sé déplacera encoêe dans un sens ou dans l’autre, de manière à diminuer ou à augmenter les distances au écnirih. Ce déplacement n’influera que dans le passage des observations impaires aux observations paires, où la fixité de la lunette sur le limbe est de riguenr. •

t. ni. 3o

ititi » ** astrokomiiw

,Vv, . *

*384v<4Eylih , un effet du meme gétlW pj-ocVlira» ctiè orc si

In vis de rappel qui fait mouvojr la lunette sur le limbe 'a le moindre jeu dans sou étroit ou dans ses collets. Car, sans entrer ici d^ps des détails de construction trof> minutieux , ou jteut considérer cette vis corrftn» destinée aussi à retenir la* lunette fixe dans' le passage cfcs observations paires ou impaires. Si la vis ballotte dâns son écrou , la lunette qu’elle corrauit ponrra prendre absolument les mfcnes mouvements. Or, la luQctU.- se renversant nuressaircment*dàji$ le pasl&ge des observations' ^ilÿrcs aux impaires, la»vis de rappel , qui fait corps avec elle < prend aussi des positions opposées, comme on le voit dans les Jig. g(i et g8,0ù celle vis est désignée par V. Par conséquent , si elle a du jeud ans l’écrou qui la retient, il y aura une de ces deux positions oit la lunette ne sera plus soutenue. Ainsi, elle tournera dans le sens où la pesanteur l’entraine, c’est-à-dire que le point A' descendra si le bout qui porkü’objectif est plus lourd que celui qui porte l’oculaire; dans le cas contraire, il s’élèvera : dans le premier cas, la distance au zénith, donnée par le premier couple, sera diminuée; dans le second cas, elle sera augmentée.

3158. En vain voudrait-on prévenir ces erreurs en lisant avec soin les verniers dans les deux positions opposées de la lunette ; il faudrait qu’elles fussent énormes pour qu’on pût ainsi les apercevoir. Heureusement on peut les corriger toutes par un moyen trèssimple. C’est d’observer des distances zénithales d’étoiles au nord et au sud du zénith. Car si le cercle nous donne des distances trop grandes ou trop petites , la somme de <es distances sera aussi trop grande on .trop petite d’une quantité double. Or celte somme n’est autre chose que la différence des distances polaires des étoiles observées ; ainsi , en prenant ces différences dans des catalogues d’étoiles bien exacts, -on verrait si le cercle a une erreur quelconque , et dans quel sens elle se trouve. Malheureusement, on ne connaît encore parfaitement que les distances polaires des étoiles dont on |5eut observer les deux passages. II y a beaucoup d’incertitude sur les aqtres, et ce serait un travail des pins utiles que de déterminer exactement la déclinaison des plus brillantes, au moyen de leurs hauteurs méridiennes, observées au cercle répétiteur dans

un lieu tel que Paris, dont la latitude est exactement déterminée par une multitude de passages d’étoiles circumpolaires. Toutefois, sans attendre l’exécution d'pr. pareil travail, on peut -eneq/p suppléer à la connaissance des distances polaires, quand on n’a pas besoin d’une latitude absolue, mais seulement de la .différence de latitude aux deux extrémités de l’arc observé, comme cela arrive ordinamement dans les observations géodésiques, qui sont celles où l’on exige le plus de rigeur. Il suffit alors Je répéter, à ces deux extrémités, les observations de distances zénithales des. mêmes étoiles au nord et au sud du zéntih. On fera pour chaque station la somme de ces distances opposées, afin d’avoir les mesures des mêmes arcs célestes. Si l’on y trouve une différence, on en prendra la moitié, et on l’ajoutera aux distances observées dans la station où la somme des distances a été la plus petite.- Par ce Inoycn , on réduira le cercle à n’avoir que la même erreur dans Tes deux stations, et la différence des latitudes sera exacte. Mais la latitude absolue pourra être en erreur de toute la quantité correspondante à l’erreur absojue du cercle (*).

(*) Soit N la distance zénithale vraie d’une étoile située au 11 or et il u zénith dans la station la plus boréale. Soit S la distance zénithale vraie d’une étoile située au sud et observée de la même station. Nommons N', S' les quantités analogues pour la station la plus australe. Ce seraient 16 les quantités que l’on observerait si le cercle n’avait aucune erreur. Alors la différence des latitudes serait N' — N ou S — S' ; et l’arc céleste A =; N -+-S, A'= R'-t-S' serait le même dans les doui stations , de sorte que l’on trouverait A=A\ Il n’en sera plus de môme si le cercle a eu l’erreur constante <• dans la première station , et l’errour r' dans la seconde. Car alors lés distances zéni-’ thaïes observées seront N -+- e , S -+- e , N” c'j S' -t-jc', et.qtubd on -les combinera pour trouver la différence des latitudes', on auba , par les étoiles boréales , Ni' — N -t-e' — c; par les étoiles australes S — S' -t-r — e'. Les erreurs affectent ces résultats eu sens contraire, ainsi elles disparaîtront en

les ajoutant ; et leur demi-somme — — ~-f- ^ donnera la véritable dif-

férence des latitudes indépendamment des erreurs constantes de chaque station. * « ’ < ,

Mais veut-on évaluer la différènee de ceserteurs, c’cst-à-cHre la'qtia’nlité dont l’erreur couslaqle du cercle a changé, en le transportant d’une "station à l'autre. Rien n'esl plus faeile; car, en faisant dans chaque station la

4fi8

586. 11 me paraît évident que les causes d’erreur dont je viens de jjarly ont produit les petits écarts que l’on remarque quelque* fQisyentreJes latitudes absolues observées au même point, avec differents cercles , ou par differents observateurs , dont les résul-

tats particuliers s’accordent entre eux. Les observations correspondantes au nord fl au sud , auraient corrigé l’effet de ces différences^ l’on y eut songé plus tôt; il semble désormais indispeifcablc de les employer dans des observations où l’on veut atteindre la

dernière exactitude.

587. Pour compléter ce chapitre , je- crois Utile d’expliquer avep exactitude la théorie des niveaux à bulle il’air(*), instruments dont l’application est extrêmement fréquente dans l’astronomie et dafis la physique , mais sur lesquels on n’a pas généralement des idées très-précises. On appelle communément niveau à bulle d’air, un tube de terre fermé par les deuxliouts, et rempli en partie d’un liquide, tfl que l’eau, l’alcool ou l’éther. L’espace qui n’est point j*emp{i par la liqueur, est occupé par l’air, ou au moins par la

Homme de distances zénithales pour obtenir l are célcslb» on aura

dans la première A=N-f-S-t-ae, 9 *

dans la seconde A' = N'-t-S'-f-ae' ;

et comme N' — N esl égal 5 S — S', si Ton retranche ces deux équation!

Pu ne de Paütrc^on trouvera

A' = — oc', par conséquent c —

c'est I» differencp des erreurs. Ajoutez-la aux distances zénithales N#4-e' , S'-*- e' observées dans la 6céondo station , 'elles deviendront N' H-e, S'+e. Elles seront doq£ albrs comparables aux distances observées dans la première , et, en les combinant , on aura N' — N ou S — $' pour la vraie différence des latitude*. t ?

£*) Quoique la théorie des niveaux à bulle d'air ail éfé exposée en détail dtns le toiçe lt, pages 24° cl snivantes, on a cru'deroir laisser subsister jfÇi la description qui en est faite, parce que c'est conformément aux procédés qui y ^OBi indiqués qu'ont été construits un grand nombre de niveaux de Çoflii), qui 6nU etc employés dans d(£ operations importantes et délicates, et qu'il pourra être bon d'y recourir^ soit pour comprendre les opérations VJui ont été fartes, soit pour se servir de nouvelhtdc ces niveaux.

vapeur du liquide ; et comme celui-ci , en vertu .de la pesanteur, tend toujours à occuper ht partie la plus basse du tube. et à -s’y mettre de niveau , il en résulte que la bulle d’air se’ déplace aussi et se porte au plus haut point dp tilbe. Ses mouvements indiquent par conséquent , les variations de l'inclinaison du plansurlequel on a posé le niveau.

5150. Examinons d’abord le cas où la bufle d’air serait assez, petite pour pouvoir être considérée comme un point. Si l’intérieur du tube étaif parfaitement cylindrique, il n’v aurait, rigoureusement parlant, qu’une seule position du niveau où Ça bulle put se trouver immobile au milieu du tube; ce serait la position horizontale; et la plus petite inclinaison la déplacerait indéfiniment, de manière qu’elle se porterait tout entière aux ellréiilités. Il faut donc, pour prévenir cet inconvénient , que l'intérieur du tube soit légèrement arqué. Alors la bulle se place de manière que spn milieu réponde au point où la tangente h la courbure intérieure du tube est horizontale. Si l’inclinaison change, ia bulle se déplace et se porte au point du tube qui est devenu le plus élevé, c’est-àdire où la tangente est devenue parallèle à l’horizon.

Parmi toutes les courbures que l’on peut d&gncr au tube* la plus avantageuse est celle du cercle, parce qu’alors les déplacements de la bulle mesurent immédiatement sur le tube les varialions de l’inclinaison. En effet, soit,yf^. gg, NS un arc de cercle indéfini qui représente la section longitudinale du niveau. Soient G le centre de cet arc, et ÇA un rayon dirigé suivant la verticale. Dans cette position du niveau , la bulle d’air, que nous supposons toujours extrêmement petite, ira se placer au point A. Mais si l’inclinaison vient à changer, le rayon CA s’inclinera comme dans la Jig. too, et un autre rayon, tel que CA', deviendra vértfcal ; en même temps la bulle se déplacera et se portera au point A'. L’jrc. AA', qu’elle décrit sur le niveau, est la mesure de l’angle ACA*, ou du changement d’inclinaison.

539 Dans tout ceci , nous supposons que le niveau soft une ligne physique circulaire. Cela n’est point possible danj la pra tique ; mais pourtant on peut y conserver les avantages de la cir-

470 ASTBONOMIF.

cularité, en concevant la surface intérieure du niveau couunc un anneau engendré par un cercle DI)', fi-g. 100, dont le centre se meut sur la circonférence directrice >iS. Une pareille surface conserve évidemment toutes les propriétés de symétrie cpie nous venons de considérer. Quant à la manière de donner cette courbure aux tubes, on y parvient,' à force d'essais, en usant leur surface intérieure parle frottement, au moyen de verges métalliques qu'on y introduit successivement par les deux bouts, jusqu’à ce que la marche de la bulle s’accorde exactement avec les changements d’inclinaison. Pour voir si cette condition est remplie , on pose le niveau sur un plan incliné , d'une longueur déterminée, dont l’inclinaison peut être rendue variable au moyen d’une vis verticale dont la hauteu^pdes pas est connue. La tête de cette vis porte un cadran divisé Vn parties égales, et un. index, comme une vis de micromètre. En faisant tourner la vis d’une quantité connue, il est facile, d’après les données précédentes,, de calculer les variations qui en résultent, sur l'inclinaison du plan, et l'on voit si la marche de la bulle Sur le tnlxf y est exactement conforme. Pour cela, on commence "par tracer sur le tube de verre des divisions égales dans toute sa longueur,^*).

5G0. Par exemple, en soumettant à cette épreuve un niveau construit par Fortin, pourfes observations de latitudcàDunkcrque, nous avons tfotuvc que la' bulle parcourt 3 millimètres sur le tube pour un changement de t" sexagésimale dans l'inclinaison, et elle cqnserve cette marche dans toute- l'étendue des divisions avec une régularité parfaite. Ce résultat peut se vérifier encore d’une manière plus exacte , quand le niveau est adaptât au- cercle répétiteur , au moyen des observations d’un objet éloigné". Pour cela mettez le limbe Vertical , et dirigez un des pieds du cercle dans raziinut de l’objet; mettez la lunette supérieure sur zéro, et faites tourner le limbe jusqu'à ce que l'objet vienne au centre des fils ; alors placez le grand niveau de manière que la bulle soit très-voisine d’une de

(*) l'exposition pratique de ce» proffidés re trouve dai:s un tris-bon Mémoire de M. do Chexy, sur la construction des niveaux , inséré dans les Hémoires de l Académie des Sciences , Snennls rtrnn^rxs.

ses e*ii

ftf-

(HYSlQUÿi 4^

cuiituif Çf*la lait, sau» titurlirr à la lunette , faites tourner ensemble le njyeattiet R“ limbe ‘dans leur plan vertical, au nn>{eti des vi3 de rappel ^ jusqu’à ce que la bulle passe à r.uiUV .extrémité ,Ur (imite, erv,V'fe qujrfle parcoure ainsi un grand nombre lie di* v i si« tns s . rs I ’qb}e tj* répondra plus au rentre des Us , et il faudra faire marcher la lunette sur le limbe pour ry Rplaenb L'are qui inasuae ce dçplucefiieht étant lu sur le limbe , ou cou» naîtra le changement d’incJiimïSqn qui répond au nombre de fliyw sions qnc là bulle a parcourues ^tet par conséquent , en divisant <fctle inclinaison par leur çofcibrc^bn aura la valeur d’une d'eugv-

L’Src 'parcouru dans une observation de eepenre-ctant loujrfttrs fort petit, unç seule <>Mei^ation u£ 13- donnerait pas avec, assez d’exactitude, fà cauütl dcs'çfjrcms .que l’on peut commettre dans lealkrtures des verniérs ; ntÿison pop appliqué ici U principe de la «épélitioh. Lu effet , la première observation étant faite , ci la lunette ramdiute sur f objet, déplacez le gqind ji^ve^ii ct rflineqç/ la Huile à l’autre extremiu?*du tube; puis, '.sans toujlicrît la lunette', faites tourner le limbe Verticalement, jUstjn’à ce que la bulle revienne a l'extrémité opposée. Ce inoin eincot déplacera l'objet, mais vous le ramenez au cci JTX! '<& (ils i n i. lisant n a lu-

nette ; parce ujpvçn , celle-ci décrira un nouvcliart , qui s'ajoutera au premier «pi’MJe avait parcourt .éVôti» vous retrouvez ici précisément dans les mêmes circonstances que lors de la prcqjirpè oh servalion,et vous repassez par les mêmes operations, Kie* n*eiD-* pèche de fai|£ ainsi nue troisième observation, une (^»triè;u«,W d’avoir sur le limbe tin arc assc^gratid pour que l<*S erret^rç des lectures extrêmes n’en fassent qu’une parlje aliqnute fort petite cet are, correspondant à 1000 ou' î 200 parties du niveau, donnera, par la division , la valeur d’une d’entre elles avec une extniuic^lrA cisîorft fCe|tflké[lrcuve est d'autant plus nécessaire , qu’elle indique la valeur des pÿtfics du niveau lorsqu’il est en place. KjieffeC it > -

peut ajrrivet-quetette valeur ne soit pas la même qne,quan<ble ttilic était libr«r et simplement posé à nu sur un plan. Car ^s montures dans lesquelles le niveau est ordinairement serré, jieuvent l’infléchir et changer sa courbure , surtout si elle est d’un rayon ronsMé-

ia.

^3 AStl.ll>.. MIL

vaille , cumule' dans nuire niveau de-Ounkerque, dont Iç rayon

et&U ‘le 6 1 q mètres (*). ■ . ’mfBtf %^v " ^ •

SWH. Unis ton! ce qui précède, nous a' ou»- suppose la" bulle d’air lisse/, petite pour pouvoir ëtrèYrjjm-tMr comme lin pcîht. Cette considération était utile pour simplifier les r.iisoiirt|nfetiU ; mais on l'évite (lins la pratique, et c’est aveenuson ; pa^.l’cxpénen'f'e apprend qu’une bulV* si petite se ment avec unj extrême lenteur, et que le moindre obstacle, la pins petite. irrégularité dû- tube suffit pour l’arrêter : au contraire ,^>rt* finit la bulle Uès-lonyue', parce l’on a observé que plus elle i^t longue, jilns dit est ^risible, c’est-à-dire* plus elletrevicnt promjjtalhimt.&régmlibVe*

(Te phénomène depeiul des attractions rt;iTpro(pies du liquide et du verre : il est du genre de (jjjux qtqj ITiii uoinmç phénomènes capillaires , parce qu'ils ont etc d'abord ohsèfvés ftins des tubes très-étroits, où l'Jn sait que les liquides susceptibles de modifier le verre s’élèv.nit au-dessus <Ie leur njveau .naturel, en formant une potite colonne tcruùnce par une surface eoneave. Les bords (je cette surfa {4*7 composes Je molécules adhérentes au tube, s’élèvent le InfiJDe ses parois; et lotir inclinaison dépend de l’action plus ou moins grande du tulic sur le fluide, et aussi de la fluidité plus ou moins parfaite .-.Ineffet analogue se produit dans-lés niveaux , sur les extrémités de la* bulle qu'ils comprennent. Ces extrémités sont relevées le long du tube; par ce moyen la forme.de la bullç d’air est .flrroiulie liantes endroits où;Ja surface du liquide touche Je ' verre : elle l est Surtout aux deo\ bouts plus que sur les côtés, et -* elle l’çst plus dans un tube étroit que dans un tube large. ‘.Cela lient à’ii ngïnrc des forces capillaires qui , partant Je sa surface et n'ayant (l’action sensible qu’à une très-petite distance» ont un effet d'autant plus intense que lés surfaces qui les- exercent sont pif? rapprochées. C’est pour cela que l’élévation des liquides dans

fj 2 t i , ' »

i£) Cclo^tto voit d'après lu mure ne du niveau. Sur colui-ci, un arc de i"

stv.agésimàlo *?il exprime ^ar 3 millimètre*; or, on sait) parles calculs tri gonometriques /.que le rayon exprime en arc faut 5?° ij' 44*>S Je la division sexagésimal <£nii , ch qui revient an m£me, 2o6jG4",8. Puisque chaque seconde \a ut 3 Aiillimètres , le. rayait) vaudra 3 millimètres multiplies par xnGüG'j .8 ou (1i8,,,.7«)/|4-

piivsiguK. 4/3

, les tubes étroits et verticaux augmente à mesure que leur diamètre intérieur diminue, de manière que la colonne liquide ainsi soulevée est réciproque à ce diamètre , comme l’expérience et le calcul •s’accordent également à le prouver. D’après Cela, on conçoit què l'effet de ces forces doit surtout être considérable sur une trèspetite bulle, autonr de laquelle le fluide formerait une surface concave d’un très-petit rayon. Alors la moindre aspérité du tube peut changer considérablement les attractions qui déterminent cette forme , et allonger la bulle dans un sens plus que dans un autre, ou même la retenir absolument; au lieu que ces effets seront beaiicoup moindres sur une longue bulle et dans un tube large, où le relèvement du fluide, par l’effet de la capillarité , sera beaucoup moindre. Tels sont les avantages des grands niveaux , pareils à ceux que Fortin- a construits pour nos cercles. Mais pour que cette longueur soit utile, il faut que les tubes soient bien travaillés dans l’intérieur, et exactement calibrés, suivant la courbure circulaire; précautions que les artistes ne prennent pas ordinairement, se contenta lit d’y suppléer au moyen des courbures naturelles que les tubes dp verre prennent toujours quand on ies fabrique.

302. La bulle du niveau ayant irue dimension sensible, on regarde son milieu somme le point la plus élevé du tube, et c’est kl marche de ce milieu qui détermine les changements d’inclinaison. Pour indiquer et mesurer ces changements , on divise le tulle dans toute sa longueur; -le ;cro de la division répond son milieu , et pour déterminer la position du centre de la bulle, on prend la demi-somme des. divisions où se terminent ses deux extrémités. Cela est rigoureux en effet si le fube est bien càlibré suivant la forme annulaire, car alors, sa forme étant symétrique dans toutes ses parties, celle Je la bulle lésera nécessairement. Un pourrait même, si-l’on voulait, prendre une des extrémités de, la bulle pour l’indice de son'niouvement; mais l’autre moyeu est plus ava'ntageitx parce qu’il atténue les petites irrégularités du tube,en les partageant sur ies dqpx extrémités de la bulle. Au reste, ibest sur que l’un et l'autre procédé, sont également inexacts si le tube est mal travaillé en dedans. ’

3(53. Ordinairement on a coutume de placer le zéroale la divi-

ASTRONOMIK

siou , comme je viens «le le dire, au milieu du tube ou à peu près au milieu. Cela est en effet plus commode et on a ainsi des nombres plus simples. Mais cette condition n’est nullement nécessaire ; on pourrait faire partir les divisions d’une des extrémités, et la demisomme des divisions marquées par les extrémités de la bulle donnerait toujours la position de son centre : en général , quelque part que le zéro de la division fût placé sur le tube, le niveau servirait également.. * ' , ,

ôG-î. L’extrême perfection que l'on a donnée aux niveaux dans ces derniers temps, a permis «le les rendre fixes dans les cercles répétiteurs; et «le déterminer, par leur variation , les changements d’inclinaison de l’axe. Par ce moyen on évite la nécessité où l’on était de corriger ces changements en replaçant le niveau , ce qui exigeai t.d u temps , et multipliait la difficulté des observations par l’union qu’il fallait obtenir entre l’observateur qui dirige la lunette sur l’astre et celui qui cale le niveau.

Dans cette nouvelle disposition, le niveau est attaché seulement à la col«»nne verticale autour de laquelle U; cercle tourqe. Il est place perpendiculairement à la direction de cçtle colonne, et parallèlement au limbe. Le Jimbe lui-méme peut aussi s’attacher fixement à la colonne, ou plutôt à un plan vertical qu’elle porte, et sur lequel le limbe se fixe comme sur 'un mural au moyen «le deux fortes vis de pression. Pour faire la première observation , on commence , conime.à l'ordinaire , par mettre la Innette <}« limbe sur le zéro tle la division ; ou , ce «pii revient au même, on lit exaetepjonl les points de la division auxquels les verniers répondent : cqs point servent d’origine aùx ftres que la lunette décrit. Lnsuitç on détache le limbe, on le tourne jusqu’à ré «pie la lunette se dirige v«r% l’qstre; pnjs on l'attache , et bnyichève de mettre l’astre sous 1g lil au moyen des vi» de rappel. A cet instant on note la minuit', là seçonje, cl le aecopilobscrvatcur litle niveau. Alors on fait, faire au cercle une deipi-ré.volution , comme à l’ordinaire , autour de la colonne verlifalc , pour passer à la seconde obsi’rvation. Cette fois, laissant Je limbe fixe, on détache la lunette et on la ramène sur l'astre. Si la colonne $ ou plutôt si l’axe rotation du cercle «jst demeuré invariablement vertical , comme on suppose

qu’il letail d’abord dans la première observation , le niveau ne sera pas dérangé par le retournement. L’arc parcouru sur le limbe sera double de la'distance auzépitli sans aucune correction. Mais si l'axe n’est pas exactement vertical , on s'il a pris quelque inclinaison dans le passage de la première observation à la secconde, comme c’est autour de lui que la rotation s’exécute, la bulle du niveau ne répondra plus aux mêmes points du tube après le retournement.1*C’est pourquoi l'observateur lit encore le niveau dans cette seconde position comme il l’avait lu dans la première, et au moyen de cçs deux lectures, ou trouve l’inclinaison, de l’axe de rotation sur la verticale.

SCiî. Pour concevoir comment cela se peut faire, examinons avec soin les positions respectives du niveau, et de l’axe de rotation du cercle dans les deux observations consécutives. Soient, fig. toi, PA la direction de cet axe, AZS l’are de cefcle'qui représente la section longitudinale du niveau. S<lit C le centre du niveau qui pourra bien ne pas se trouve/ sur le prolongement de l’axe de rotation , et qui nes’y trouvera que dans le cas où cetaxe serait perpendiculaire au. niveau. L’angle CAP sera l’iydinaison de l’axe du niveau sur l’axe du cercle, inclinaison que nous nommerons I'. Si par le pied du cercle ou par le point P on élève' la verticale PV, l’angle VPA , que nous nommerons I , sera l'inclinaison de l’axe de rotation du cercle sur cette verticale. Enfin , si par le* centre C du niveau on élève une autre verticale CZ qui ira rencontrer en Z sa circonférence , le point Z sera le centre de la bulle , puisque, ce centre doit toujours se trouver au point le plus élevé du nivtait ; et l’arc AZ, compteur /a division circulaire du niveau, sera la mesure de l’angle ZCA, .c’est-à-dire de l’inclinaison du rayon CA sur la verticale. Or,*cn jn-'olongcant la direction AP de l’axe jusqu'à sa rencontre avec la vèrticale CZ en D, il est visible qne l’angle ZCA extérieur eu triaiigle CAD est égal à la somme des deux intérieurs CAD, CDA ; nous «tvonsnomme le premier I'; quant au second, il est égal à VPA ou à I. Ainsi , en substituant iT ces angles leurs valeurs en partics*du piveau , on aura- AZ I -4- I'.

Maintenant , si l’on retourne le cercle ‘comme dans la fig. 102, la rotation s'exécutant autour de l’axe AP, le rayon CA du niveau

décrira autour de cet axe une surface conique ; de sorte qu'apre» le retournement , l'inclinaison CAP se trouvera la même , dans un sens opposé , c’est-à dire enrorç égale à I'. De plys , si par 1» nouvelle position du centre C, on élève la verticale CZ', le point Z' sera le centre de la bulle dans la nouvelle position du niveau ; l’angle Z'D'A sera encore égal à I, et par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire , on aura AZ' — 1 — I'.

Ainsi donc l’arc AZ , dans la première lecture, est la somme des inclinaisons de L’axe du cercle, sur la verticale et sur le rayon du niveau ; tandis qife , dans la seconde lecture , l’arc AZ' est égal à la différence de ces mêmes angles ; d’où il suit que l’inelinai^pn du rayon du niveau sur l’axe du cercle est égal à la demi-différence de ces ares, et l’inclinaisyn de l’axe du cercle sur la verticale est égale à leur demi-somme, c’est-à-dire que l’on a

r AZ — AZ' , j AZ 4- AZ'

Reste maintenant à évaluer ees arcs AZ, KL' . Cela serait facile

si l’origine des divisions du nivcau^se trouvait justement au point A, sur le prolongement de l’axe de rotation; car* alors la simple lecture exprimerait leurs valeurt. Mais, queHc que soit l’Origine des divisions, il est facile d’obtenir ces valeurs'^ d’apnès les deux lectures combinées, et *ôn en tire aussitôt la correction dne if l’inclinaison de l’axe (*). • *

{*) SoH,j!ç. ion , M l’origiife des divisions du niveau, ou.br position du point réro sorte tube; nommons A la distance AM depuis cette origine jusqu’à l'intersection du niveau par le prolongement, de-Paxc dé rotation : soit *i L la longueur totale de la bulle , et désignons par N Vt S les ■coordonnées de ses deux extrémités nord et sud , c'esl-à-diro tes distances de ges extrémités à l’origine M dos divisions. Ce sont iqi les arcs MN , Cela posé , et le point Z étant supposé le milieu de la butte, oa aura-, dan» cette première position du niveau et du limbe, - * -