MIROIRS SPHÉRIQUES

face réfléchissante, et un objet ne donne qu'une seule image, tandis que dans un miroir en verre, surtout s'il est d'une certaine épaisseur, il y a toujours deux surfaces réfléchissantes parallèles et qui donnent un grand nombre d'images. De là le précepte d'employer des miroirs métalliques ou des miroirs de verre très-minces. Les miroirs métalliques toutefois ont un grave inconvénient, qui les a fait presque bannir de la pratique- en ophlhalmoscopie, c'est de se dépolir et de se rouiller avec une erande facilité.

Jusqu'ici, en parlant des images, nous n'avons considéré que la réflexion régulière des rayons lumineux. Or, quand un pinceau lumineux tombe sur un corps qui n'est pas parfaitement plan et poli, il y a toujours une partie plus ou moins considérable de cette lumière qui est irrégulièrement réfléchie et qui se disperse dans toutes les directions. C'est cette lumière que l'on désigne sous le nom de lumière diffuse, qui nous permet de voir les objets. La réflexion régulière et complète, en effet, ne donne que l'image du corps lumineux et non celle du corps qui la reçoit. Une glace parfaitement polie et parfaitement propre échapperait à nos regards si nous n'étions pas prévenus de sa présence.

§ 5. — Miroirs spbcriqucs.

Nous avons dit qu'un miroir sphérique était formé par une calotte sphérique et que ce miroir était appelé concave ou convexe suivant que c'était la surface interne ou la surface externe de la sphère qui était polie.

Dans un miroir sphérique, on appelle centre de figure le milieu du miroir. Le centre géométrique ou centre de courbure est le centre de la sphère h laquelle appartient

■R il '■

Fis 8.

MIROIRS SmiÉRlQUES. 13

ce miroir. La ligne indéfinie R?/, qui joint ces deux points, c'est Vaxe principal du miroir. Toute autre ligne qui vient rencontrer le miroir en passant par le centre de courbure s'appelle un iijce seco n du t ;t .-E n fin , l' o u • verlure du miroir MOiN est mesurée par l'angle que forment les deux rayons passant par les extrémités opposées d'un diamètre du miroir (1).

La réflexion de la lumière sur les surlaces courbes se fait suivant les mêmes lois que nous avons vues régir les miroirs plans. En effet, on peut décomposer une surface circulaire en surfaces planes excessivement petites, et chacune de ces dernières agissant indépendamment fera l'effet d'un miroir plan.

Soit, en cfl'et, un rayon lumineux CPi tombant obliquement sur une surface sphérique MN, si nous concevons un plan tangent AB passant ,par le point d'incidence li, il est évident que le rayon se réfléchira sur la surface sphérique comme il le ferait au même point sur la droite AB. Mais la normale ne sera autre que le rayon OPi prolongé, de sorte qu'on aura l'angle CRA=C'RB.

Fis

(I) Voir pour plus de diilails : Gavarrct, Des images par réflexion et par réfraclion, p. 0 et suiv.

EFFETS DES MIROIRS SPIIÉRIQUES CONVIiXliS.

G. — Effets des miroirs sphcriqncs convexes.

Le foyer, clans les miroirs spliériques, c'est-à-dire le point où viennent s'enlre-croiser, après leur réflexion, les rayons réfléchis ou leurs prolongements, peut être virtuel ou conjugué.

Dans les miroirs convexes, le foyer est toujours virluel. Considérons un rayon L'P (fig. 10) tombant sur le miroir convexe MN parallèlement à l'axe principal Ox et au point

P. Ce rayon, après sa réflexion, prendra la direction PL en faisant avec la normale, c'est-à-dire le rayon OP prolongé passant par ce point, l'angle de réflexion DPL égal à l'angle d'incidence Fig'. 10. LTD. Or, nous avons

supposé le rayon incident L'P parallèle à l'axe Ox, dès lors l'angle L'PD est égal à l'angle xOD. Mais comme il est égal aussi à l'angle de réflexion DPL et que ce dernier est égal à OPO' comme opposés par le sommet, il s'ensuit que ces quatre angles sont égaux et que le triangle OO'P est isocèle. Alors 00'=0'P. Mais l'arc PR étant très-petit, la ligne O'P ne diffère pas sensiblement de O'R, et le point 0' est à peu près au milieu du rayon OR, d'autant plus près que le rayon incident est plus voisin de l'axe principal.

11 résulte de cette démonstration que le foyer principal, dans lesmiroirs convexes, est virtuel, et que ces miroirs ne donnent que des images virtuelles également et qui sont droites al plus petites que les objets.

--if

Supposons, en effet, un objet AB(fig. 11) placé devont un miroir convexe MlN, à une distance quelconqac. Le point B situé sur l'axe principal fera son foyer virtuel au point D'où les rayons émis par ce point et prolongés après leur réflexion vont rencontrer cet axe. Le point A fera de même son foyer au point A' de l'axe secondaire AO. Tous les points compris entre A et B feront également leur image entre A' et B', de sorte que l'image totale A'B' sera virhielle, droite et plus pelile que l'objet. Elle sera d'aulant plus petite que l'objet sera plus éloigné du miroir et que ce dernier sera plus convexe; ce qui se comprend aisément, puisque le maximum de grandeur de l'image sera donné par le miroir dont la convexité se rapprochera le plus du miroir plan, car alors l'axe secondaire OA tendra de plus en plus à devenir parallèle à l'axe principal OB.

§ — Effets des miroirs splicriqiics concaves.

Dans les miroirs sphériques concaves, les rayons parallèles à l'axe principal vont après la réflexion concourir en un point situé au milieu du rayon et qu'on appelle foyer principal.

Soit DD' (fig. 12) la coupe d'un miroir splicrique concave, et RD un rayon lumineux parallèle à l'axe principal xx'. Le rayon de courbure OD est perpendiculaire au plan langent que l'on pourrait supposer mené parle point D et sur lequel

se réfléchirait le rayon RD, comme nous l'avons vu pour les miroirs plans. Soit DO' ce rayon réfléchi. Nous disons qu'il passe par le milieu de OB', En efl"et, l'angle RDO égale l'angle DOO' comme alterne interne, mais il égale aussi par construction l'angle ODO'. Donc le triangle OO'D est isocèle, et aux angles égaux correspondent des côtés égaux; par conséquent 00' = O'D. El si nous supposons le rayon incident assez voisin de l'axe principal, la ligne O'D' sera sensiblement égale à O'D, ayant toutefois en moins la quantité B'B qu'indique la ligne ponctuée DB, puisqu'une circonférence ayant O'D pour rayon passerait par le point B. On voit également par celte figure que plus le rayon incident parallèle se rapprochera de l'axe principal xxi\ plus petite aussi sera la différence.

Les rayons parallèles sont donc transformés par un miroir concave en rayons convergents. Ceci établi, voyons comment

Fij. 12.

se forment les images des objcis lumineux placés devant le miroir. Supposons d'abord l'objet AB (lig. 13) placé aune dislance moyenne, beaucoup plus grande que le rayon de courbure du miroir, et sur l'axe principal du miroir MN.

Menons le rayon parallèle AD qui, après réflexion, prend la direction DO'. Menons également le rayon ON dont le prolongement passe par le point A; c'est un axe secondaire,

EFFETS DliS MIROIRS SPHÉRIQUES CONCAVES. 17

et nous savons que les rayons qui suivent un tel axe reviennent sur eux-mêmes, parce qu'ils tombent perpendiculairement au plan tangent supposé mené au point d'incidence. Les rayons parallèles éuiis par le point A et les

iiifiinni 'j

Fis. 13.

rayons divergents émis par ce même point vers toute la surface du miroir viennent tous passer par le point a, c'est donc en ce point que se fera l'image du point A. Le point B, à son tour, envoie des rnyons qiii suivent l'axe principal et reviennent sur eux-mêmes, nuis des rayons divergents qui viennent tous couper l'axe principal au point B. Soit en elTct BN un (le ces rayons. Menons la normale ON et construisons le rayon réfléclii NB. Ce rayon vient couper Taxe principal au point b, entre le loyer principal et le centre de courbure, car l'angle d'incidence BNO étant plus petit que l'angle formé au point N par un rayon parallèle à l'axe, tel que RN par exemple, l'angle de réflexion sera aussi plus petit que l'angle de réflexion du rayon parallèle qui, comme on le sait, passe par le foyer principal. Tous les autres rayons divergents émis par le point B viendront donc passer par le point b, ce sera donc en ce point que sera l'image du point B. Pour les mêmes raisons, tous les points situés entre A etB viendront

former leur image entre a el b; et on aura en ab une image de l'objet AB réelle, renversée et plus petite que l'objet; d'autant plus petite que le miroir sera plus concave.

Les positions relatives de A et a, B et b, forment ce qu'on appelle des foyers conjugués; cela veut dire que ces points sont le foyer l'un de l'autre, el que si l'objet est en a, son foyer sera en A; si l'objet est en A, son foyer sera en a, et de même pour tous les points situés' entre a el b el entre A et B.

Supposons encore l'objet AB placé à une dislance de plus en plus grande du centre 0. Le rayon AD parallèle à l'axe se réflécliira toujours suivant DO', mais il viendra couper l'axe S3condaire mené du point A en un point de plus en plus voisin du foyer principal, à mesure que le point A s'éloignera davantage, et l'image ab sera toujours renversée et de plus en plus petite. Enfin, si la distance est infinie, tous les rayons émis par le point A pourront être considérés comme parallèles, et par suite se réfléchiront en passant par le foyer principal 0' où se formera une image extrêmement petite et renversée.

Maintenant, voyons ce qui se passe lorsque l'objet AB est placé au centre de courbure du miroir ou entre ce point et le miroir.

Dans le premier cas, le rayon A'D parallèle à l'axe principal se réfléchit suivant Da', et l'axe secondaire mené par le point A' coupant ce rayon au point a', nous avons en a'b' une image renversée et égale à l'objet A'B'. En effet, dans le triangle A'Da', la normale OD divise l'angle en deux parties égales, l'angle A'Da' et par suite le côté opposé A'a'.

Dans le second cas, trois circonstances peuvent se présenter :

\° L'objet AB esl situé entre le centre de courbure 0 et le foyer principal 0'.

Nous avons vu tout à l'heure que les points symétriques

des images a h et AB (fig. 13) étaient des foyers conjuguésles uns des autres, et que l'image AB placée au-delà du centre de courbure donnait une image ah renversée et plus petite. Par

Fig 14.

conséquent, l'objet AB (fig. 14), placé aussi entre le centre de courbure 0 et le foyer principal 0', donnera une image ab située au-delà du centre et plus grande que l'objet; d'autant plus grande que celui-ci sera placé plus près du point 0', comme l'indique la construction : a'h' étant l'image de A'B'.

2° L'objet kBest placé au foyer principal. Nous savons que les rayons parallèles tombant sur le miroir dans le voisinage de l'axe principal convergent tous vers le foyer principal. Pour la même raison, les rayons parlant de ce point seront parallèles après leur réflexion, et iront former leur image à l'infini, c'est-à-dire qu'il n'y aura pas d'image que l'on puisse recevoir sur un écran.

Il est facile de démontrergéométriquement que les rayons émis par le point A" sont parallèles après leur réflexion sur le miroir.

En effet, les rayons partant du point A" parallèlement à l'axe se réfléchiront toujours suivant DO', mais celle ligne ne coupera pas l'axe secondaire A"0, parce que la figure

DA"00' est un parallélogramme : DA" et 00' sont parallèles par hypothèse, et ÛA" est égal à xO' et par conséquent à 00' ; donc les deux autres côtés DO', A"0, sont aussi parallèles, ainsi que leurs prolongements, et ne peuvent se rencontrer.

3° Uobjet est placé entre le foyer principal et le miroir.

Dans ce cas, le rayon réfléchi DB' (fig. 15) et l'axe secondaire AO sont divergents, et le trapèze DAOF ayant pour côtés parallèles DA, OF, les deux autres côtés, OA et FD convergent vers le miroir et se renconireni derrière au point a. L'œil placé devant le miroir recevra tous les rayons parlis de A comme s'ils vcnnicnt de a. Il observera par conséquent, une imnge virtuelle, droite et agrandie de l'objet AB en ab.

C'est le même phénomène qui se produit lorsqu'on se re-

BillIIl

.;.ÏX

garde dans les glaces concaves à long foyer, que certaines personnes emploient pour se faire la barbe, et qui font paraître le visage considérablement agrandi. Chacun de nous peut s'en rendre compte en se regardant dans le miroir d'un ophthalmoscope concave à long foyer.

En résumé, les miroirs sphériques concaves donnent des

images rêdles plus petiles que l'objet et renversées quand ce dernier est placé au-delà du centre de courbure; réelles, égales à Tobjet et renversées quand cet objet est placé au centre de courbure; réelles, renversées et plus grandes que l'objet quand celui-ci est placé entre le centre de courbure et le foyer principal ; |9as d'image quand l'objet est placé au foyiT principal; una image virtuelle droite et amplifiée quand l'objet est placé entre le miroir et le foyer principal.

Donc, plus le rayon de courbure du miroir concave sera court, plus l'image virtuelle sera grande. La figure 15 le fera aisément comprendre : le même objet lumineux AB est placé en A'B' à la même distance du miroir MN dont nous augmentons le rayon en supposant son centre de courbure en 0' et son foyer en F'. La construction nous montre que l'image virtuelle de A'B' devient a'b', plus pc-

Fi: m.

lite que ab, d'aulant plus [leiite que le rayon de courbure augmentera davantage. Celte image deviendra égale à l'objet lorsque le rayon du miroir égalera oo, c'est-àdire lorsque celui-ci sera plan.

InversemenI, [)his le rayon de courbure de ce môme miroir sera court, plus l'image réelle sera petite. La simple

■1'- El'FETo DLS JllUOlIlS bl'UÉlllQUES CONCAVES.

inspection delà figure 16 montre que l'image réelle AB est ab lorsque le rayon de courbure du miroir est OM; mais si laissant l'objet cà la même dislance du miroir, nous transportons en 0' son centre de courbure et par suite son foyer principal en F', l'image de A'B' devient a'b' , c'est-à-dire plus grande que ab, d'autant plus grande que le rayon de courbure du miroir augmentera davantage.

Si l'on place donc un objet lumineux, ou simplement éclairé, devant un miroir sphérique concave au-delà du centre de courbure, on obtiendra une image réelle, renversée, 'plus petite que l'objet (fig. 16), mais qui grandira à mesure que la concavité du miroir diminuera.

Nous avons vu, à propos des miroirs convexes, que l'image virtuelle donnée par ces miroirs grandit en même temps que le rayon de courbure du miroir. Ces principes trouveront leur application lorsque nous étudierons le phénomène de l'accommodation, au moyen des images de Purkinje.

Voilà à peu près ce que nous avions à dire sur les miroirs plans et sphériques, qui sont les plus employés en ophtlialmologie. Cependant nous serions plus lard embarrassés quand nous parlerons de l'asligmalisme, si nous ne disions pas quelques mois de certains autres miroirs convexes ou concaves qui donnent des images irrégulières, déformées. Nous serons très -bref sur ce sujet, qui nous entraînerait trop loin, et nous nous contenterons de signalerles particularités les plus intéressantes et les plus utiles dans la pratique relativement aux miroirs cylindriques.

g 8, — Effets lies miroirs non sphériqiics concaves et convexes.

En passant devant les boutiques des opticiens ou en visitant les cabinets de pbysique, tout le monde a pu voir des miroirs dans lesquels notre figure était étrangement déformée ; tantôt elle s'allongeait verticalement et paraissait d'une longueur démesurée : tantôt borizontaleraent et paraissait alors affreusement large ou aplatie de haut en bas. Dans d'autres miroirs la figure ressemblait à celle d'un hydrocéphale, démesurément large vers la partie supérieure et pointue vers le menton; enfin dans d'autres miroirs, une moitié de la figure était rejetce d'un côté ou de l'autre en bas ou en haut. Les variétés de déformations sont infinies', il y en a autant que de surfaces irrégulières.

Ce phénomène en apparence étrange est de la plus grande

simplicité. Il est produit par des miroirs cylindriques, à axe vertical, horizontal ou oblique; ovoïdes, ellipsoïdes, paraboliques, cic. On sait que chacun de ces miroirs peut être convexe ou concave et qu'il est fourni par la surface

externe ou interne des solides géométriques de même nom.

La démonstration géométrique des images formées par ces miroirs est facile. Prenons le cas le plus simple, celui d'un miroir cylindrique concave MN (fig. 17) dont l'axe, c'est-àdire la direction delà génératrice, est vertical. Soit un objet AB placé entre le foyer F et le miroir. D'après ce que nous avons vu nous aurons une image virtuelle. Les rayons émis horizontalement par le point A se réfléchiront lous de la même façon car leur réflexion aura lieu sur une surface régulièrement sphérique, puisqu'un plan perpendiculaire à l'axe d'un cylindre est un cercle. Mais tout autre plan oblique passant par le point A ne sera plus un cercle mais bien une ellipse dont le grand axe sera d'autant plus grand que ce plan se rapprochera davantage de la verticale; par conséquent les rayons lumineux qui frapperont tout autre plan du miroir se réfléchiront et donneront une image d'autant plus petite que la surface sera moins courbe, et l'image sera égale à l'objet quand la surface sera plane, c'est-à-dire quand les rayons frapperont le diamètre vertical du cylindre. Dans le premier cas l'image de AB, sera a'b', plus grande que l'objet; dans le second cette image sera a b égale à l'objet.

Si, au lieu d'être placé entre le foyer principal et le miroir, l'objet était placé au-delà du centre de courbure, on aurait alors évidemment une image réelle, renversée elplus pelile que l'objet; d'autant plus petite que le rayon de courbure du miroir sera lui-même plus court.

En vertu des lois que nous venons de démontrer, un objet tenu devant un miroir concave cylindrique à axe vertical, par exemple, et entre ce miroir et son foyer principal, donnera une image virluelle d'autant plus grande que les rayons émis seront davantage dans le plan horizontal. L'objet paraîtra donc élargi horizontalement.

Mais si nous éloignons cet objet jusqu'au- delà du centre

de courbure du méridien le moins concave, noiis oblien^ drons une image réelle d'autant plus petite qu'elle sera fournie par un méridien à moindre rayon de courbure, et, comme c'est le méridien horizontal qui est dans ce cas, l'objet sera élargi verticalement, c'est-à-dire en sens inverse de l'image virtuelle.

S'il s'agit de miroir cylindrique convexe, c'est la même démonstration. Tout le monde connaît ces boules de verre élamées intérieurement et qu'on voit suspendues dans les jardins. L'image des objets extérieurs donnée par ces boules, agissant comme miroirs convexes, est d'autant plus grande que le rayon de courbure de celles-ci est lui-môme plus considérable; cela ressort de ce que nous avons dit des miroirs convexes, qui ne donnent que des images virluelles, plus petites que l'objet, et d'autant plus petites que l'objet est plus éloigné et le rayon de courbure du miroir plus court. Si le miroir convexe est cylindrique, l'objet donnera dans le sens de l'axe (faisant l'office de miroir plan), une image égale à l'objet, quelle que soit sa dislance, mais, dans tout autre sens, la surface sera convexe, d'autant plus convexe qu'elle se rapprochera davantage du plan perpendiculaire à l'axe, et, par^suile, l'image sera d'autant plus petite qu'elle se formera dans un plan plus voisin de ce dernier ,cas auquel elle atteindra son minimum de dimension.

Dans un miroir convexe non sphérique, le maximum de grandeur de l'image correspondra au méridien le moins convexe et le minimum au méridien le plus convexe.

Il est très-facile de se faire une idée des miroirs convexes ou concaves non sphériques ni cylindriques, mais de courbures diflcrentes, en regardant sa propre image dans le miroir formé par la surface interne ou externe d'une cuiller d'argent parfaitement polie et plus ou moins grande. En inclinant plus ou moins un axe quelconque de ces miroirs,