SUR LES INTÉGRALES EÜLÉRIENNES

I. Legendre a désigné sous le nom d’intégrales eulériennes les'deux intégrales définies '

xP-' dx,

. . ' ' f — ‘xyt~'dx, . Ç e

qui ont été étudiées pour la première fois par Euler et qui ont , ’ ■ fait depuis l’objet des recherches d’un grand nombre de géomètres. La première intégrale dépend des deux paramètres p et q, nous la désignerons avec Binet par la notation B(p, q); la deuxième intégrale ne dépend que du seul paramètre p et ^ nous la représenterons avec Legendre par le symbole r (/? ). On aura en conséquence ’ ’ - ' ,

'(i) ' R(p,q\^ f xP-‘{i-^x]i-''dx, . ’ . -

(a) " y{p)= f e-‘xP-'dx,^ .

^ do. - . : '

c désignant ici| comme à l’ordinaire, la base des logarithmes V népériens.

Les fonctions B(p, qjsont dites intégrales eulériennes de première espèce et lés fonctions r(p) intégrales de seconde espèce. Pour que ces fonctions restent finies, il faut et il suffit ■ ‘ que les paramètres p elq soient positifs ou au moins que leur ' .. partie réelle soit positive, s’ils sont imaginaires.

On peut donner aux intégrales B une autre forme qu’il est utile d’indiquer. Si l’on pose

' 'dr '

dx =

NOTE

dans la formule (i), l’intégrale relative à y devra être prise entre les limites o et oo ; on aura donc, en remettant x au, lieu de J, r ‘ ' • ,

ou encore

' ' \i(p,q)= f — -H r” xP-'dx

^ si dans la deuxième intégrale on remplace x par - , dx par .

ilûC t . ' ' . '

les limites qui étaient i et» deviendront i eto et on’

. pourra les renverser en changeant le signe de l’intégrale. Oii 'aura donc .■

x^-' dx

ou .

Cette formule ( 4 ) montre que la fonction B (p,q) esl symétri- ' que par rapport aux deux quantités p ei q dont elle dépend, en sorte que l’on a .\r

B(p,q)z=B{q,iiU -

au surplus cette propriété peut aussi être reconnue sur la for- . - mule(i), car si l’on y change x en i — x, on transforme immédiatement B (;>, ç) en B {ç, /> J.

Nous allons montrer que les fonctions B{p,q) peuvent s’exprimer par des fonctions r, en sorte qu’il n’y aura plus à s’occuper que de ces dernières. ■ •

2. Si l’on désigne par m une constante positive et que dans ' la formule ( 2) on pose X = /wæ;',’ il vient " i ' '

f (/>) = ;n/’ / e~“*' x'i’-' dx\ \

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