SUR LES INTÉGRALES EULÉRIENNES

d’où

-L — — ! — , r e—'" <ix’ ,

i\i>‘ l'(p) Jo

formule dont on fait'en analyse un fréquent usage et qui va nous servir pour résoudre la question que nous avons en vue. - ■ •

Effectivement, on a d’après cette formule . ’ ■ • . - .

' — * I x’i‘*i-' dx'] •

.{i-i-xy+f + • . ■ • •

donc la formulées ) peut s’écrire comme il'suit; :

Le second membre de cette formuleest une intégrale double; il ' . ,

est permis d’intervertir l’ordre des intégrations et 1 on peut

écrire •

l\lu,q)=i~r /' x'‘i~’ dx'.x'^ I xp~' dx-, . ■ '

mais, d’après la formule {S)\, x'i‘ f e~^’^xP 'dx est égale à ' ‘

r{/>); on aura donc '

ji(p,q.\z^-£££—:C x'i-\dx', -

ce'qui est le résultat annoncé. Nous passerons maintenant à •

Vexamen des principales propriétés des fonctions de deuxième* • . ■ ' ■ espèce. ' ,

3. Première propriété des fonctions r. Si l’on intègre par iwrtics la différentielle xP-Ky< e~^dx, il vient •

* . fl

NOTE

Si 1 on a p'^\, la pallie iiilégrée disparall aux deux limites O et cc , et l’on a

c’est-à-dire (7), ,•

celte équation exprime la première propriété des fonctions r; ' on en déduit immédiatement, en désignant par m un entier • inférieur èt p, ' ' ' . • •

, d où il suit que si la fonction r est connue pour -toutes les - . valeurs de l'argument p comprises entre o et i ou, plus généralement, -comprises entre deux entiers consécutifs, la même fonction sera aussi connue pour toutes les autres va- ■’ leurs réelles de l’argument. ' ■ ^ .

. Si p est un nombre entier et que l’on fasse m = p~i dans l’équation (8), il viendra ’ •

mais comme l’intégrale J'e~‘dx est égale à — C^^-t- const.,

(9^ , ' ' V f e-’dx = r(t) = ii - y \

donc ,

en sorte que si p est un nombre entier supérieur à i, r(/>) ; ^se réduit au produit des p — i premiers nombres entiers.