On obtient des formules. utiles en différchliant une ou
3G0 , ■ ,> . - NOTE î-, . ■
J plusieurs fois la tôrmulc de Stirling ; mais comme' celle der-r ' nière renfernie une série divergente, il en sera ‘de même de • celles , que nous avons on vue. Cependant ccllès-ci peuvent
■ servir, comme la Ibrmule de Stirling, pour le calcul numcriqué; ,•
• c est ce que, nous Allons établir. A, cet effet, remarquons que la quarrtité s qui figure .sous le signe / dans le dernier terme du secopd membre de la formule ( 1 7 ) est indépendante de x;
. on aura.donc, én différentiant fois cette équation, •
alors; en procédant comme nous l’avons fait, pour déduire , la formule (18) de^(i7'), on trouvera
. '.'g <t“inçyfx) „ I ■ „ (Fyii-eî). . ■ • V .
^ ‘ - ^-fL , •g -
t’(2n-i-i) . ,r(iH^3) «-t-an-t-l ’
I 9 désignant comme « une quantité ^conàprise entre, o et i. .
. Quand est suffisamment grand, lès termes du second membre vont d’abord en décroissa’nt, comme dans la série de Stirling,
. ' et l’crrêur commise en s’arrêtant à un terme quelconque est •v • • ' moindre que le terme -suivant et.de nt^êm'e signe que ce terme ; .
' ■ dans le cas particulier de p.i= i, on-a ; *' ’ . .
' dx . 2 j:> 4 I* . ^ ' Una:’" , ' ' , " an 4-a,xJn+,l,' '
On tire de la formule (7), par la différentiation, - .
rflogr(2r-nj ^ jto(;y(T) • .. ■ '■ ■ ' .
' . • - ’ du . dx , .
on aura donc
. . .SUR I,A FORMÜI.E DE STIRI.I.NR, ET^:. Cl, pour > I , ■ .
. J^ioçrt-x'H-O rXM--} r(M'j ’ ■
rCan-f-3) I ’
6 désignant, dans toutes ces formules, une quantité comprise entre o et i . , ^
10. Les résultats que nous venons d’obtenir fournissent un ■ mojen très-simple de calculer la constante d’Euler, ^constante que nous avons désignée par G. Nous prendrons pour point do départ la formule (3a) de la Note précédente qui suppose or , entier et qui devient, en changeant ar en X -I- 1 ,
2 3 ' r * aa:
remplaçant ^ par sa valeur tirée de la formule (3 1),
il vient .
. - H- — logx —
et l’erreur cqmmise en s’arrêtant au terme qui dépend dé B„
sera moindre, en valeur absolue, que
En rem-
( an -f- 2)
plaçant les nombres B par leurs valeurs, dans la formule pré- 'cédente, il vient . - ' •
’iax^ laox' , a52x“ a4ox' ’i32x" 32760X'’
et, en s’arrêtant au dernier des ternies écrits, l’erreur commise 6«éd. II. ' - ’ 24
• 3Ga
NOTE
sera moindre que Ainsi en faisant x=iç-; eu a la A>r-
• mule , ■ • . . ' • ■ •
\ ai 4 a 0-7 89 10/ ® ao
*. 0,01 O', 0001 0,00000( OjOOOOOOOl o^ocooooooof 0,00000000n(^l
12 120. aSa . 2/jo i3'2 v 32t<>ô
qui donnera la valeur de C avec /|uinze décimales exaeles; on jirenant ' • . . • • • ,
log 10 = a ,3o25fî5oç)a.994o45 G8, •
on trouve sans difTiculte la valeur - . •
0 = 0,57721 5664901533, déjà donnée dans la Note précédente.
11. Nous avons fait connaître au n“ 6 une formule qui permet de calculer successivement les noml)rc5 B,, B„ B,, ;
on peut exprimer généralement B„ par une formule débarrassée de transcendantes, mais qui, est un peu compliquée. Nous croyons toutefois utile d’établir cette formule, en terminant la présente Note. ...
Les nombres de Bernoulli sont' définis Jjar la formule (16), qui ppiii s’écrire comme il suit : ' ' '
Or on a identiquement
si donc on remplace les fractions du second membre par leurs valeurs en séries, en faisant usage de la formule préeédenie appliquée aux cas de et de a = v.z, il viendra
série convergente pour toutes les valeurs de z dont le module
' «I B I-A POHMn.E 1)K STIItlJNfi, ETC.'. . 363
est jnlcrièur à s; ou ii.donc'; pal la formule ilo Maeluiii'iit, '
. ( 35 ) ( — 1 J" — îî„= — ‘ ® '
La’première dérivée de la fonciioh
est
il est aisé de voir que l’on aura généialemeul
c“ H- t A, ci-""-'- -H + A.„,c=
A,, Aj,..., Am i étant des coefficients indépendants, de z; il y a plus : l’équation { 34 ) montre que la première dérivée de la
fonction — est une fonction paire de s. qui ne change pas
quand ony changes en — s; il s’ensuit que la même choSe a lieu pour toutes les dérivées d’ordres impairs. Mais, par ce changement de s en — s, l’expression précédente devient ^
il faut donc que l’oh ait généralement A^-i == A„ et, par suite,
j/ir.
■ Cela posé, ou a . . • • , '
d’où . ■ • ■ . • . . . ■
« + » a’"-' 1 )'* ja'
Ji M — I j«S
rft”
mais on a aussi
■an(a>i— l)...(-JA— i-t-l)
+- ... 4-2lt t -I- I ,
> ■ 364 KÇTE Sl'« l-A FOhMULE DE STIRUKO, ETC.
et en mutiipliani entre elles les deux équations précédentes, on aura,. 5 cause de la forhiule (36),' ’ •
Le premier membre de cette formule est une fonction entière de è*; par conséquent, en effectuant le produit indiqué, dans le second membre, il ne restera que deà termes côn-. tenant des puissances positives.de en écrivant que les termes en sont égaux dà'ns les dçux membres, on trouve ••
el, pour les valeurs de (X supérieures à‘i, ‘ , ’ . •,
