F(^)=L + R, JJ
nous indiquerons encore un moyen d'y parvenir immédiatement, en partant de l’équation
a r f{p+at)df-i-h i f(p + a + bi)di
î[p b-h at)dt ~ b- J' [{p-{-bt)dt = 7.ivS.
Soit comme plus haut « = 2K, 6= aj'K', et prenons
f(z)=F{2)jj[^-— ;• •
Par la définition seule de la fonction H (2), on a
|H'(2-2/K') H' (2) , iji 'i1(2-5.jK') H(2)“^K’
et il en résulte
de sorte que l’équation précédente se réduit à •
0 dt :
Or les divers résidus qui entrent dans A, se rapportent d une part à 2 = ç, , ç, , . . . , et de l’autre k z=x-, les premiers,
s’ils correspondent, comme nous l’avons supposé, à des racines simples, donnent pour somme
V izr~ y \ H (a: — ^ f-r — - '
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DES FONCTIONS ELLIPTIQCES.
elle résidu relatif à z = a:, racine simple de H(jc — z) = o, sera évidemment — L’expression de A qui suit de là donne immédiatement la relation
^)= jr'F(/»-H2K0rf<+K.
IF(^-g
J’ajouterai encore une remarque sur celle formule que j’écrirai, pour abréger, comme il suit :
F(x)-C+2,R hÏx-K)'
En employant le théorème relatif à l’addition des arguments dans la fonction de seconde espèce (*), on trouvera aisément la relation
H'(^ — ç) H'(ar) H'(ç)
sin amx
■cotangamxAamx
sinam ^sinatii Ix-
d’où résulte en substituant dans l’expression de F (at), et ayant égard à la condition
zR = o,
cette nouvelle formule
R sin ama:
sin am î sin am ( a: — Ç)
( * ) C'est la quantité <!>•> entre dans Z(x), mais on peut lui substi-
tuer r> a raide de la relation sin amx = qui donne, on prenant H(x)
les dérivées logarithmiques des deux membres,
îfW-F(xy = ~‘®"ea»'Aamx.
6* éd. U.
ou bien
NOTK SDK I.A TH^.ORIK
F f.r ) = eonsi H- V — -
M sin anix
siti ain Çsin itni (ji’ — Ç)
C’esi fionc encore la réduction de la fonction à double période à sinani.r et à sa dérivée; mais la méthode plus rapide qui nous y conduit ne donne pas, comme la précédente, la relation importante, et que nous avons dû tenir à ne pas omettre, savoir;
Il — ïï' — 2 (aK
Celte nouvelle formule résulte d’ailleurs immédialenienl de 1.1 seule condition
comme nous allons encore le faire voir.
Considérez en effet la fonction
Jjii .
sin ami: sni am(ar — s 1
dont les périodes seront zlv elaf k'. La somme de ses résidus .comprendra d’une part ceux qui se rapportent aux racines ^ de l’équation
( ’t;sl-à-(!ire
^ sin il
F(ir)- ’
ani ç sin uni (x — <; )
! t puis les nisidus relatifs aux deux équations
sinuma=^o, sin am (x — 3 ) =: o.
Or dans rintervalle des périodes zK et zf'K', on n’aura d’autres racines que 3 = 0, z — x, auxquelles correspondront les ré-
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sidus -7
sin anix
DKS FONirriOXS EM.IPTIQrES.
— J— • on a par consequeiU sinamar'
sin amÇsin am (ar — ç) sinaina: sinainj;
d’où
R sin am^
sin am ç sin am {x — Ç )
D’une manière toute semblable on trouvera relativement ii à une fonction ^{x), satisfaisant aux conditions
-t ( j: aK) = — • -f(a:-l-?./K') = -f (ar),
l’expression très-simple
'(^)-2<sinam(x-Ç)’
où figurent seulement les racines ç qui sont renfermées dans l’intervalle aK et aïK', et exprimées par la formule
%= P 'xKt + liK'u,
i et U étant moindres que l’unité.
Nous nous arrêterons à ce point dans cette Note, pensant ainsi avoir à peu près complètement esquissé l’ensemble des notions élémentaires de la théorie des fonctions elliptiques qui précède l’étude de la transformation.
