C Z TT

Remplaçant donc le facteur exponentiel e —e qui

DES FONCTIONS ELLIPTIQCES.

figure dans l’expression de 4> ( a ), par ce rapport de fonctions H, et posant

il viendra

Or on reconnaît au numérateur et au dénominateur de <^(^) les expressions que nous avons déjà employées en démontrant le théorème d’Abel sur l’addition des arguments. Sile nombren est impair par exemple, l’expression ; 1

Il(j-i;,)II(z— g,)... II(z + îi;)

est celle qui a été considérée page 43o, et qui s'exprime ainsi

» ' * fi 7* *

7(z) = F(ar’)+-^-xF,(x’),

F { ÆT ) et F, ( ar ) désignant des polynômes de degré ” et

et.r pouvant être pris égal à sinamz, cos amz, ou Aamz. Dans le cas de n pair, elle coïncide avec la fonction désignée page 43 1 , paripi(a:), et l’on a alors, en désignant par,F(a?)el f(x) deux

polynômes entiers en a; respectivement des degrés - et

-, •' Il(z — ç,)H(s— ç,)...ll(z4-:;ç) '

= smamzb(sin’amz)H ^ f(sin’amz). , , '

On voit donc que >l>(z) est donné par le quotient de deux expressions de cette nature, et c’est précisément dans la réduction de la fonction doublement périodique à sin amz et à sa dérivée que consiste la proposition que nous avons en vue d’établir.

La démonstration que nous venons de donner, reposant en entier sur l’expression générale d’une fonction doublement

488 NOTE SDK LA THÉORIE

périodique F(æ-), que nous avons préccdemmenl obtenue,

savoir ;