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y ■ DR *'
Des dtflfërences et des séries.
Du calcul direct des différences.
373. Dans le Calcul différeniiel, on n’a fait varier les fonctions que pour considérer la forme des termes de leur développement, ou les limites des rapports de leurs accroissements à ceux des variables dont elles dépendent, mais sans avoir aucun égard aux valeurs de ces accroissements. Cette recherche ne portait que sur de nouvelles fonctions dérivées de la première,. et non pas sur les valeurs numériques de ses accroissements; mais l’examen de ces valeurs a montré que, dans un grand normbre de cas, elles suivent des lois plus simples que celle de la fonction elle-même, ou au moins qu’elles forment souvent des suites décroissantes qui se prêtent plus aisément G« cd. II. , I • .
UKS DIFFERENCES
aux approximations, et auxquelles par conséquent il peut être utile de ramener les quantités primitives. C’est sous ce point de vue qu’on s’est d’abord occupé du Ca/c«/ aux différences’ proprement dit.
On lui a donné le nom de Calcul aux différences finies, pour le distinguer du Calcul aux différences infiniment petites; mais la dénomination de Calcul différentiel, exclusivement affectée à ce dernier, etmotivéc comme on l’a vu(5), prévenant toute' équivoque, il n’est pas nécessaire d’ajouter l’épithète finies aux différences, qui ne sauraient être confondues avec v les différentielles.
Le but du Calcul direct aux différe.nces est donc de déterminer les accroissements en eux-mémes, en les déduisant^ nonseulement dei’expression analytique des fonctions, mais aussi,, de leurs valeurs numériques ou particulières, lorsque l’expression analytique manque ou serait trop éompUquée. , >
374. En examinant la marche des séries formées par les carrés et les cubes des termes de la suite naturelle des nom- • bres, on tombe déjà sur des propriétés remarquables et utiles des différences, ainsi que le montrera l’explication des tableaux * ci-dessous. ^ ■
■ Je n’ai point fait entrer dans ces tableaux la suite naturelle ~ *
, des nombres i, a, 3, 4, etc., parce que la différence de l’un à l’autre est toujours égale à l’unité. • - , *
A côté des carrés, le premier tableau contient, dans une seconde colonne, la différence entre chacun de ceux-ci et. celui qui le précède; puis dans une troisième colonne, la dif- * ' . férence entre chacun des nombres de la seconde et celui qui le précède. Ces dernières sont nommées différences secondes, comme étant les différences des différences premières.
Celles-ci, formant une progression par différences, présentent déjà une loi plus simple que les nombres de la première colonne ; et .les autres,’ étant constantes, offrent encore une nouvelle simplification.- Une conséquence assez importante de •
l’enchaînement de ces différences, c’est qu’on peut, au moyen des'seuls nombres 1, 3, 2, placés respectivement à la tête des f trois colonnes du tableau, former, par de simples additions, la .. colonne des carrés; car en ajoutant 2 à 3, on aura 5, puis 2 • à 5, on aura 7, et l’on formera ainsi là seconde colonne; ajou- ’ tant ensuite 3 avec i , on aura 4 ; 5 tivec 4> on aura g, et ainsi dès autres carrés. ^ . . ■
La première colonitc du second tableau contient les cubes; la deuxième, leurs différences premières; la troisième, leurs différentes secondes, qui ne forment plus qu'une progression •
4 ' DES DIFFKREXf'ES .
par différences; el enfin, dans la quatrième colonne, les différences des différences secondes, ou les différences troisièmes, qui sont constantes. ' "
Ici, au moyen des quatre nombres i, 7, 12 el 6 placés respectivement en tète des, diverses colonnes du tableau, on pourra former toutes ces colonnes, en commençant par celle de la droite, et en ajoutant chacun des nombres d’une même ; ■ .colonne avec celui qui se trouve sur une ligne plus haut, dans ' ' ' la colonne à gauche: -, . : , ,
Celle règle, qüi n’est encore établie que sur une simple in-“
. duclion, et pour deux séries de nombres seulement, sera bientôt démontrée et étendue à un nombre infini de fonctions, pour lesquelles on obtient ainsi dés déterminations rigoureuses.
D’ün autre côté, que dans une table de logarillimes on prenne les différences premières entre ceux des nombres con- ' sécetifs, elles auront une marche fort inégale, si l’on opère dans le commencemenfde la table, où la fonction varie beau- , coup; mais en passant aux différences secondes, troisièmes, etc., on en trouvera qui deviendront fort petites, et finiront par rester les mêmes dans un intervalle plus ou moins grand. Les ' logarithmes suivront donc sensiblement, pendant cet inter- , ' valle, une loi “analogue à celle que nous avons fait remarquer ' ci-dessus, par rapport aux carrés et aux cubes, et dont on peut faire usage pour simplifier la construction de cette table.
375. Quand on a vu le parti qu’on peut tirer de la considéra.* lion des différences successives, poussées jusqu’à l’ordre où elles sont constantes, soit rigoureusement, soit à très-peu prèsÿil parait tout simple de chercher l’expression générale de „ leurs relations. Pour cela, soit > ' ' '
• ^ Wj U\f Mj J /ifj ) • . * f K-n -, ^
une série de valeurs consécutives que reçoit une quantité, en '' vertu des variations qu’elle éprouve par elle-même, ou parl’effet de celles qui arrivent à une autre dont elle dépend ; les chiffres inférieurs sont ici des indices qui font connaître le rang qu’occupe chaque valeur dans la série, en marquant le
nombre de celles qui la précèdent, en sorte que la première, «, est censée répondre à l’indice o. On fait ensuite -
= Au, = AM|, — — ^ .
en se servant de la caractéristique A, pour indiquer l’opération de prendre la différence entre deux valeurs consécutives d’une même quantité. . " . '
'i Lorsque celte quantité varie par des degrés égaux, les différences Au, Auy, Au,, etc., sont toutes égales; mais si le contraire a lieu, on fait, par analogie, ■ ,
(' A«i — Au =AAu z=A’u,
Au, — a«i =AAll,=AUt,,
-\'AUn — Au„-r= AAk„, =
'A’M, — A’m = AA’ U =A’u, À*u, — A’ U, ■ = A’«,,
avi„— == = A’«„,.
En poursuivant de cette maniéré, on tire des valeurs u, u,, U,,. . une suite de différences dont le nombre des ordres est au plus égal à celui de ces valeurs, diminué de l’unité.
376. Il est visible que, suivant la notation ci-dessus, la différence d’une expression quelconque s'indiquera en plaçant devant chacun de.ses termes la caractéristique A, en sorte que .
A(»-l- V — (v) = Mirt-v, — to, — («-f- V — tp) = Ak-^-Av — A(v,
de même que ' , ' . ^ ^
d(«-f-v — (v) = dM-t-dv — div (10).
On a aussi i; , . • -
A(om) ou A.au=a[u, — M) = aA«,' ,
de même qued.aM = «d« (11); et les constantes isolées des
6 , DES DIFFIÉRENCES ' ,
variables disparaissent quand on prend la différence d’une fonction (7). , ■
377. Au moyen de ces règles et des équations (i), on obtient '
pour les valeurs Mi, u„ des expressions qui ne dé-
pendent que de la valeur primordiale u et de ses différences Am, A’m, etc.; car, puisque . ' '
AMi— A (m 4- Au) = Am -t- A’h, ’ ■■
il en résulte •
' U, = Ui 4- Au, = H 4- Au+ a(u 4- Au) = M 4-2AU 4- A’m,
et de même . . , .
m, =M, 4-AM, -, 4 ' .
= m4-2Am4- A’m 4- A(m '4- 2Au4- A’h)
■= u4- 3am 4- 3 a’m4- A’m. , ■
^ La forme de ces expressions, dontles coefficièiits numériques sont les mêmes que ceux du carré et du cube du binôme, conduit par analogie à \ ^
«„ = m4- -Am4 i A’h 4 ^ — —-i—’ — ^ A’m 4- etc.; ^
* ce qu’on peut vérifier aisément au moyen de l’équation "■
W/H-l — «B àlln f ' • ,
dont le développement montre que la loi ayant lieu pourTordre/i, a nécessairement lieu pour Tordre w -f“ 1- , ‘
378. On peut aussi exprimer immédiatement la différcnco • d’un ordre quelconque par les termes de la série primitive, qui
ont concouru à former cette différence. . - ^ '
Ayant d’abord ' ■
Am = Mi' — H et a’u = ami — Am, * '
' on observera que Ah, doit être composé avec u,.et h„ comme
A «l’est avec'« et c'esl-à-dire qu’il suffit d’augmenter de l’unité les indices, pour passera am, = «, — «„ et l’on obtiendra . '
puis augmentant de Tunltc les indices, dans ce dernier résultat, pour former A’ «I, il viendra
- = «a — 3Mj-|-3Mi — M, r^.
et par analogie . , ’
n " nin — i) n{n — lyfn — 2) . .
A» «= H — i i i L u„, + etc.,
loi qui se vcrifieraii par le développement de l'cxjuation
Ce résultat et le précédent reviennent à ,
= ( I 4- Am)”, A“« = (« — 1)",
pourvu que l'on change dans le développement de l’un, les exposants des puissances de A« en exposants dé la caractéristique A, et dans celui de l’autre, les exposants de « en indicesf on peut même poser tout de suite
et il n’y auVa rien à changer dans le développement, ' , ’ Pour tirer de (i 4-Am)" le développement que celle expression représente, il faut considérer que, dans l’ordre des puissances i == a«°, et en passant l’exposant o à la caractéris-, tique A, on aura a^m = M. 1' ^
' 379. Lorsqu’urte fonction est donnée , rien n’est plus facile que d’en obtenir les différences successives ; je prendrai pour exemple la fonction x'“. En faisant u ar", et supposant que a:
DES DIPPénENCES
augmente de la quantité h, on aura u, — (ar-f-A)", et par conséquent
A« = {x + h)" X" = mas^' h +
mim — A [ni — 2) ,
i ÆT"-’ A> etc.
Pour passer aux différences ultérieures A’u, A’u, etc. , il faut faire varier x de nouveau, ce qui présente deux hypothèses. L’une consiste à supposer que la quantité x prenne •toujours des accroissements égaux, et l’autre que ces accrois- , sements soient eux-mêmes variables : je ne m’occuperai ici que de la première. En substituant a: A au lieu de x dans A u,
on aura . . - , , . .
AU, = m(jr-(-A)"“'A -t-
( X 4- A y-' fl' -H.etc.
Il est visible quejSi l’on développe l’expression de Am, , et que .* l’on en retranche celle de a«, le résultat ordonné par rapport aux puissancos de A sera de la forme ' ’ ,
^'u — m[m — i)x™-'A’-+-MjX"-’ A’-4-M,x"-*A‘-i-eïc., ‘
M,, M,, etc., désignant des coefficients dépendants de l’exposant m. .
Par une nouvelle substitution de x-|-A dans cette dernière équation, on parviendrait à A’u, , et en observant que a'm =A’«i — a’m, on obtiendrait
À’m = m(/n — i) [m — 2)x"~’A* -1- A* +■' etc.
La loi des premiers termes de chacun de ces développements est évidente, et l’on voit que l’expression de A"« doit commencer par ' . ' ■ .
• . « ~ ■ On voit aussi que, quand l’exposant m est entier et positif, le nombre des termes du développement de A" m, ordonné suivant les puissances de x, diminue de l’unilé lorsque n aug-
ET DES SiéBiES. ' , 9
mente de cette quantité, et que quand n=zm, il vient , A"M=m(m — i] (fn — 2),..i.A"'. '
Cette différence étant constante, il s’ensuit que celles des ordres supérieurs sont nulles.
On parvient facilement au terme général de A’m en formant l’expression de cette différence par le moyen des valeurs de «,
«„ etc., sans passer par cellesde 4M, A’m, A"m, etc. (378). • il est évident que dans l’hypothèse présente les valeurs
• répondent à ' ^ ,
' x + ^hf x+3k, — , x-hnfi,
et l’on a par conséquent ^
' U, = [x + h)"' M, = (a;-+-2A)",. . . , m„= (x + «A)"; on tirera de là
4"« =(x-+' nA)" — Y[a:-(-(n — i)A]"’ '
7t(lï — l)
nln — i)(n — a)r / î -,
i 7~Ï3 — ^[a:-h(re — 3)A]" + etc.
Si l’on désigne par i l’exposant de A dans le terme général du développement de . l’équation ci-dessus, l’expression de ce-
terme sera , - >
[n , ' f n{n — OV ^ x, , 1
«■ — - (n — «) + ' l'Tl. — etc. J ;
♦ • * - • , mais comme on vient de voir que le développement de a"m ne
pouvait contenir des puissances de A dont l’exposant fût
moindré que n, il s’ensuit que là fonction
n<— -(w— i)‘+ ' (n — 2)'— etc.,
composée de «-f-i termes, est nulle tant que B'un '
10 des DIFFi^.REN'CF.S
autre côté, le coefficient
m{m — 1 ) ( »t — a ) ■ ■ ■ ( wt — t 4- 1 )
s’évanouissant lorsque i = m+'i,il en résulte que la plus haute puissance de h, dans le développement de A"«, ne peut être que A". ,
380. D’après la propriété du monôme x”, toute fonction rationnelle et entière de ar a toujours des différences constantes, savoir, Celles dont l’ordre est marqué par l’exposant de la plus haute puissance de x, qui soit dans la fonction, proposée. En effet, cette fonction étant delà forme h- Cx^ + etc., on aura
A"(Ax“ -1- Bx®+ Cx'*' 4- etc.)
= A A’ . X* 4- B A' . X® 4- C A- . x? -H etc. ( * ) ( 376) ;
et si a désigne le plus haut exposant dex, il viendra, pour le Cas où n = a,
A*.x“= 1 .2. . .oe/l“, A*.X® = Oj A“.x^ = o, etc.,
en sorte que ,
A* (Ax“ 4- Bx® 4- Cx'-f- etc.) = 1.2 .3. . .aA/t?.
