C’est surtout par rapport aux fonctions transcendantes

dont le calcul approximatif est laborieux, que l’on gagne beaucoup à se servir des différences, ainsi que le fera voir l’exemple suivant, tiré des logarithmes. , . '

Soit a = Ix: on aura

Mi=l(x-+-/t) =1x4-1 = lx-HM(^-^4:.^-ctc. ) (29), . •

d’où l’on tirera t/,, u„ etc., en mettant 2//, 3A, etc., au lieu

) J1 ne faut pas confondre avec car la première de ocs ci-

pressioDS est la difTcrence de l’ordre n de U fonction tandis que . ^

.4: si

V ‘ y'.' ' lÉ' '

* ‘ -vS't >•“. • ‘ ' ' i > *c*u J V* ^ • ' . * * <».*• 1

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‘ . .-V* • *4*1 ’.V ■ Mt - . J ?1

de h, et les fonnules du n® 378 donneront

Att =

A’m=iz-

-élc,

etc.' ,

On «poussera ces -suites, solvant la grandeur du nombre x;

' jusqu’à ce que la dernière différence soit assez petite pour être négligée sans erreur sensible. ■ •

' Si l’on avait, par exemple, ^i:;ioooo, et h\— i, on trouverait pour les logarithmes ordinaires, ■ .

•Au = 0,00004 34272 76863,

■ et il est évident que si l’on ne voulaitavoir les’derniers résultats qu’avec dix chiffres seulement, on pourrait, sans craindre ' ; d’erreur sensible, négliger longtemps les différences du quatrième ordre ; car il faudrait qu’elles fussent répétées un grand • nombre de fois, pour influer sur la différence troisième : on formerait (Jonc successivement, suivant la règle du n“ 374, les colonnes des différences troisièmes, secondes; premières, et ' enfin les logarithmes des nombres .

' ■ , loooi, 10002, iooo3, etc.,

en partant de celui de loijoo, qui estégal à*

^ Il faudrait faire le calcul avec i5 décimales, afin de reconnaître « quand l’accumulation des quantités négligées pourrait commencer à influer sur «le dernier chiffre qu’on se propose de conserver, ce dont on s’assure au moyen de quelques logarithmes calculés rigoureusement à des intervalles éloignés; car lorsque, par la. suite des additions successives, on parvient à

DES DIFFéBENCES

ces logarithmes, il faut que la méthode des différences les , donne tels qu’ils ont été déduits à priori, au moins dans les dix premiers chiffres, si c’est à ce nombre que l’on veut s’arrêter. Lorsque le dernier de ces chiffres cesserait d’être exact, ' ce qui n’aurait pas encore Heu pour le nombre ioo5o, on calculerait de nouveau ù priori les différences Am, a>u, A’m, et • l’on se servirait des nouvelles valeurs comme des précédentes, pour obtenir les logarithmes des nombres entiers qui suivent ^ceiui auquel on a dû s’arrêter. ■ ' • ^ ,

Application dn' calcul des différences à l’interpolation des suites. , >.

382. L’un des principaux usages du calcul des différences a pour objet Y interpolation des suites, opération qui consiste à insérer entre les termes d’une suite, de nouveaux termes assujettis à la même loi que les premiers. Pour cela on regarde les * différents termes de cette suite comme des valeurs particulières que reçoit la fonction qui exprime le terme général, lorsqu’on assigne également des valeurs particulières à la variable d’où dépend ce terme, et qui dépend elle-même du rang qu’il occupe dans la suite proposée. Quand l’expression de ce ' '

terme est donnée, on en tire autant de valeurs qu’on veut; mais il n’en est pas ainsi lorsqu’on ne connaît qu’un certain ' • nombre des premiers termes de la suite, ce qui est le cas ordinaire auquel on'applique l’interpolation. . , .

Il faudrait alors déduire l’expression analytique d’une fonc- , tion, de celle d’un nombre limité de valeurs numériqueSj ce qui ne se peut quand la forme de la fonction est inconnue ; car on doit observer que ce problème revient à former l’équation’ d’une courbe passant par les. points dont les valeurs de la variable indépendante représentent les abscisses, et celles de la fonction, les ordonnées, et qu’en quelque nombre que soient ces points, ils ne sauraient particulariser la courbe, si elle n’est pas donnée d’espèce. [Trig., 168.) Mais comme on ne cherche , . à interpoler une suite que dans des espaces très-resserrés, ' ■

on conçoit que l’expression de son terme général est dévelop- ' pée suivant les puissances ascendantes de sa variable, et qu’il * *

■ ' . . ' • . • Digifoectby'Coogle

ET DES SUIVIES. , ' l3

est permis de se bornera un petit nombre des premières puissances de cette variable; par ce moyen, la forme de la fonction, qui est alors rationnelle, se trouve déterminée.

Ainsi, sachant qu’aux valeurs '

etc.

d'une variable quelconque x' , répondent les valeurs

- u,^ U,, «J, etc:, •!

d’une fonction «' de cette friable, on suppose que l’on ait en général , .

uj = a -h ^x' + yx'^-{-S x'^ -4- etc. ,

et l’on détermine les coefficients «, p, 7, etc., par la condition que «' devienne successivement a, etc., lorsqu’on

change ar' en JJ , Jr, , ar,, etc.

Cette détermination présente deux cas ; le premier, dans lequel les valeurs x, x,, x,, Xi, etc. sont équidifférenles, se résout immédiatement par l’expression de it„ du n” 377.

En effet, soient m ■+■ i nombres donnés, et qu’on en prenne les différences relatives au premier terme, la formule rappelée deviendra •

n- n\ii — I

Am h i A’m.

et si l’on y fait successivement

elle donnera les nombres

on peut donc la regarder comme une équation qui lie ces nombres avec l’indicé du rang qu’ils occupent, n désignant alors une variable indéterminée. '

Il est visible de' plus que le second membre, étant développé et ordonné suivant les puissances de n, prendra la forme

a-H Pn-t-vn’-l-. .

où «, p, 7, . . ., (X sont des nombres donnés,' et semblable à celle qui a été posée ci-dessus en x'.

l4 DES DIFFERENCES ; ' ' . ^ , . .

Faisons mainienani ■ ’ i -

M = M, = f(x4-A),..., u,= {[x-\-nk),'

puis + /iA = «', et nA=ar' — ar = A' ; et il en résultera ^ .

, A' A'fA' — A) A'(A'— A)(A'— aA) ■

A‘. aA . 3A

Enfin, si l’on représente «' — m par A'u, il viendra

A' u = àu-

h'{h'-h] ^ A'(A--A)(A'-aAK.:;

A.aA:3A +