Soit

l’équation de l’ellipsoïde et désignons par u le cosinus de l’angle que fait le plan tangent au point {x, j-, z), avec le plan O»

ou

X' r’ Il \ a’

Si l’on considère u comme une constante, l’équation (a) représentera un cône du second degré, et les équations (i) et (2), prises simultanément, représenteront une courbe qui sera le lieu des points de l’ellipsoïde pour lesquels le plan tangent fait avec le plan xy un même angle ayant u pour cosinus. On aura la projection de cette courbe sur le plan des xy en éliminant z entre les équations (1) et (2); on trouve ainsi

fl’ — (fl’— f’)«’ — (l>‘ — c’)u' ,

'équation d'une ellipse dont les demi-axes ont respectivement pour valeurs '

V^fl’ — ffl’ - — c')«’ \Ui' ~ — c’) M’

et dont l’aire totale E sera, en conséquence,

v'[fl’ — (fl’ — c’) «’] [è’

Cela posé, soit </E l’accroissement que prend Equatid « aug- : mente de du, la partie de l’ellipsoïde située d’un côté quel- ' conque du plan xj et qui sa projette sur l’espace annulaire t/E

DigilizÉd h’y GoogI

ET Ij; CALCUL IVrétillAL

'.Of

(lE

a évidemment pour valeur— j elpouroblenirrairc tolalcS de

l’ellipsoïde, il suffit évidemment d’intégrer l’expression ou

^ depuis U = I jusqu’à u—o, puis de doubler le résultat; on aura ainsi, en renversant les limites et en changeant 1q , signe de l’intégrale,

„ /" tlE du

dü~

11 ne reste plus qu’à substituer dans cette formule la valeur deE tirée de l’équation (4) et l’on aura l’aire de l’ellipsoïde exprimée par une intégrale simple; mais il convient de transformer cette expression. A cet effet nous supposerons l’inégalité n’excluant pas l’égalité, et nous ferons, pour abréger,

.f=) ^ ’ C rtCOS,*,

d’où

V«’— c’ = « sin fl, f = A v' I — /l 'sinV,

B étant un angle compris entre o et enfin, nous pren-

ilrons pour variable, au Heu de «, l’angle? déterminé par ré(|uation

a . sin 9 sin? = -^T—

SlOfi

et comme « varie entre les limites o et i , l’angle ? variera de

U à fl.

D’après cela, les équations (4) et (5) deviennent

; Ttab{\ — -sin'?)

cos^. V * —

ol

*■ -"X- ïj

..... . - « </• sln? ^ v'-‘ *• ;

■ •■'..■if ■■■ .y. ... ■ .

\fd '

i.9> NOTE Sl'K i;E calcul DIFEÉREKTtEL

Or on trouve au moyen de l’équation (6),

dE

E E cos

■+■ — : — (la ^ d Jrao —

Cin*M ’ Clllm -•

sin? s'n? sin-<p siixp sin’^ — /'’sin’

a’ da

— itab

}/ 1 — ^’sin’y '

d’ailleurs si l’on différentie l’expression on obtient ' ’ .

cosijis^ — /l’Sin’ç ‘ sin^ , .

jCOSÿ\/i — A’sin'Ÿ , J— ^ dm

^ -=— V^l— A;*sin»Trfy-t-

y 1 — /r’sin’f

sin’y v'i — /r’sin’y’

et si l’on tire de cette équation la valeur de -Ù===i

‘ s\iV k*s\n'if

pour la substituer dans la formule précédente, il viendra, en ayant égard à la valeur de E, ^ ^