C. =fff r’ sin 9 drd9 d

et si r croît constamment entre les limites r, et r, fonctions données de 9 eti|/, on pourra écrire

(rj — rj ) sin 9 (f 9 rfiji.

l84 NOTE 80R LE CALCtL DIFFÉBENTIEL

Passons mainienanl aux aires des surfaces courbes; quand on emploie les coordonnées rectangulaires x et^, la détermination de ces aires dépend de l’intégrale double

Ç = // h + P’ g' dx dy,

^ dz dz

où P eiq désignent les dérivées partielles ^ et Si l’on

substitue les nouvelles variables u, vàx et y, on aura

dy

mais on a

dz dx dy dz dx du ^du~^^ du' dv ^ dv~^^ dv'

d’où

. / dx dy dx dy\ Idzdy dz dy\

^ \du dv dv du) \(/« dv ^ du)*

/ dx dy ^ dx dy\ / dx dz dxdz\

^ \du dv dv du) \du dv dv du)*

et, en substituant ces valeurs de p et q, il vient

r Ç j Idxdy dxdy'V ^ tdydz dydz\' ^ tdzdx dzdxV

~~ J J V \dudv dvdu) \dudv dvdu) \dudv~ dv^)

Supposons qu’on prenne pour k et e les coordonnées po-

la.res e,^; les denvees ^ devront etre

prises ici en considérant le rayon r comme fonction de S et ; alors on aura

dx dr . ^ . '

d9 dQ ^ ^

dy dr ... . ... dz dr „ . .

^ = ^ sin9sin4<-|- rcos9sinT|(, ^cos 9— rsine,

' dx dr . ^ , . . . . '

^ sin 9 cos iji — r sin ^in ip,

dy dr . ^ „ , dz dr

^ = ^sin9s.n^,4-rsin9cos+, =cos9, -

dudv.

ET 1.E CALCt'L INTÉGUAL.

d’où-

dx dy dx d y

dr

^sin9 + rcost

dy dz dydz . , dr „ . „\ dr . ,

dzdx dzdx . „ . f dr „ . „\ dr ,

la somjTie des carrés des seconds membres de ces formules est égale à

-(^y + r'sin>o[(^^yVr-]

on a donc

pour l’expression des aires courbés, en coordonnées polaires.

28. On peut arriver par des considérations très-simples aux ■formules que nous venons d’établir pour la détermination des volumes et aires courbes en coordonnées polaires. Remarquons d’abord que l'angle 9, formé par le rayon r et la direction de l’axe des 3 peut varier de o à w; quant à l’angle i|i formé par la projection du rayon r, sur le plan xy, avec l’axe des x, il peut varier de o à a jr, en marchant de Ox vers Oy ; enfin les é( uations .

y ;•=» constante, 9 = constante," '|< = constante,

représentent un système triple de surfaces orthogonales; les surfaces du premier système sont des sphères ayant pour centre ^origine dés coordonnées; celles du deuxième système sont des cônes droits ayant pour axe l’axe des z ; enfin le troisième système se compose de plans passant par l’axe des z. Si l’on prend deux surfaces infiniment voisines dans chaque système, on déterminera un parallélipipède rectangle infiniment petit ,donl les dimensions seront respectivement dr, rrf9, rsin ^d^,' son volume sera en conséquence /•’ sin 9 rfr rf 9 rf <ji et l’on aura

- t* cdll. i3

iSÜ NOTE Sl’B I.E CALCUL DiEFERENTIEL

pour la délorminalioii des volumes en coordonnées polaires l’expression générale -

/f r'siïiQdrdOd'^,

commet nous l’avons trouvée plus haut.

Le parallélipipèdc dont nous avons parle a deux de ses dimensions td9 et rsin fl <fili situées sur la sphère de rayon r,, l’élémcni superficiel de la sphère aura donc pour expression %

</ü = r’sin S f/Orfiîi, . -

et faire d'une portion quelconque de sphère se déterminera ■ par l’intégrale double . ,

r’y/sin 0 </fl

29. Supposons, par exemple, qu’on veuille trouver faire d’un , triangle sphérique au moyen de la formule précédente. Soient A, B, C, les angles de ce triangle dont les sommets seront désignés par les mêmes lettres, je prendrai pour axe des z le rayon OA de la sphère (*), puis menant un grand cercle perpendicu-, laire à OA qui coupe en deux points 1 cl J le grand cercle auquel appartient le côté BC, je prendrai le rayon 01 pour axe des y ; l’axe des x doit être perpendiculaire à OA et à 01, je choisirai la direction qui est telle, que la valeur relative à G sur- ' passe celle qui serapporteà B, en supposant que i{(Croisse quand on marche de l’axe des x vers f axe des y. Cela posé, considérons un point M se mouvant sur le côté BC de B vers C et n>enons l’arc de grand cercle AM qui, prolongés’il le faut, coupera en N le grand cercle situé dans le plan xy. Si l’on désigne par - ‘ ,

^}i. la valeur de ^}< qui se rapporte au point B él que l’on prenne pour unité le rayon de la sphère, faire T du triangle sphérique

sera donnée par la fbrmule " , ' ; ,

Le leclcar fera aiütinont lui' racine la li(;urc. »

ET EE CALCCL IMÉGRAI..

OU, à cause de cos AM = sln MN,

1= / siTiMNrf+= A— / sinMNr/J,. :

Mais le triangle sphérique rectangle MNI donne

sin MA = , cosM=sin IsinJi,

sin M

rx ^

et la dernière de ces formules donne par la différentiation V

sinM

sTiil cos^,'^’^^» sinMNrf^^ = -(fM;

on aura donc

rfM

d'if

dit;

enfin, comme on a M = w — B pour i = |, et M = C pour i[/o-4-A, on aura

T — A *4" B -f" C — - îT , ce qui est la formule connue.

- Kl

■- vi,'-

30. Considérons enfin une surface courbe quelconque dont un point .M ait pour coordonnées r, fl, i{i et construisons la sphère de rayon r qui a pour centre l’origine des coordonnées. Le cône qui a pour sommet cette origine et pour base l’élément rfû) de la sphère, déterminera sur la surface courbe un élément dS dont <?w sera la projection orthogonale sur la sphère r; on aura donc

iltù r’siufl</flrf\|(

dS.

cos«

COSt

e *élant l’angle forgié par le rayon r avec la normale de la surface.

Mais les côtés rrffl et rsinfltfij» de l’élément du> forment avec, le rayon r un système d’axes rectangulaires auxquels on peut rapporter la surface que nous considérons. Pour le point M les trois Coordonnées sont milles ; en outre quand les deux premières coordonnées s’accroissent successivement der</flet .... i3.

iS8

XOTE SUH LE CALCDL DIFTÉBENTIEL

de rsin la troisième coordonnée prend les accroissemenis . ïïï désignant par p ei q les rapports de ces der-

niers accroissements à ceux des coordonnées qui les pro- , duisent, on a . . ' ■ .

I dr

Jr

rsiii 6 d-}/

Mais d’après les formules en coordonnées rectangulaires, relatives aux normales, l’angle t a pour cosinus

on a donc

COS£

rsinS

et, par conscqueni, '

.. c/S = rrffirf^y/(^)V[(^)V,-]sin>9,coinme on l’a trouvé plus . haut.

31. Pour montrer un exemple de la réduction des inlégrares multiples par le changement de variables, j’appliquerai les résultats obtenus précédemment à 1^ recherche du volume et de la surface de l’ellipsoïde. ' *'

Si l’on fait usage des coordonnées rectangulaires, la surface

de l’ellipsoïde a pour équation- •

et les formules propres à déterminer le volume V et la surface S sont

“■ ET I,E CAtCl’L I.VrÉfilUL. 1 8()

Dans l’expression de V, on peut effectuer immédialemcul I intégration par rapport à l’une quelconque des variables;

I intégrale double est alors réduite, et la seconde intégration peut s’effectuer sans difficulté. Il n’en est pas de même de l’intégrale double qui représente la valeur de S; rinlégralioii relative à a.- ou à j ne peut s’.effbctuer que par l’introduction des fonctions elliptiques. L’emploi des coordonnées polaires ne réussirait pas mieux, mais on peut effectuer la réduction demandée en prenant pour variables les deux angles 9, i}/ liés, aux coordonnées par les formules

‘vv ;

'yy, A

a = asinOcosiJi, = ésin 9siii'l<, 2 = ccos9,

en vertu desquelles l'équation de l’ellipsoïde est vérifiée. . Alors on a, par les formules générales du n"27.

\ = abc j' ^sin9cos’9</9</i}',

J y^v'rt’ft’cos’9 -i- c’sin’9 (^t’sin•^{/ 4- é’cos>.|rîsin9(/9r/4,,

Ic5 intégrations s’étendant de 9 = o à 9 = tt et de t|< = o à i}i = 2n-. Dans la première formule, l’intégi'ation relative à 9

I <1^, en sorte que l’on a

donne le résultat ^ abc

^ xabc.

vr:

Quant à la seconde intégrale double qui exprime la valeur de S, on peut la réduire en exécutant rintégration relative à 9mais cette intégration introduit des arcs de cercle et le résultat qu’on obtient par cette voie n’a pas la forme simple qu’on peut lui donner. C’est pourquoi nous ne pousserons pas plus loin ce calcul ; mais, 4 cause de rinlérêl que peut présenter .^ceile question, nous indiquerons, pour évaluer l’aire de l’elli|)SoTde, une autre méthode (jui est d'ailleurs susceptible d'être appliquée à d’autres cas.

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igo NOTE SUR LE CALCUL DIFt’éRENTIFX