ET LE CALEDL INTEGRAL
En faisant, avec Legendre,
V^i-*— /l’sin’if <^t = E (ft, k].
on retrouve la fonmile donnée par cet illustre géomètre, savoir :
2lzh
( . ol $ = 2,r c‘ -f- [(«» C-’) E (ft, A) c’ F (,., A l] ;
les symboles F(/*, A), E((x, A') désignent les fonctions ellip- ■' tiques de première et de seconde espèce ayant f* pour amplitude et A- pour module. Si l’on Veut introduire, à l’exemple j
de Jacobi, comme fonction de deuxième espèce, l’intégrale ' -
sin’çrfy
I on remarquera que 1 on a identiquement
Jo vt — Ar’sin'ffl
= f'j-Ÿ— - *■ f'T=Sii=. . ■ '
do . Jo V* — A’sin’ç i/o V' — A’sin’» •
ce qui permet d’écrire la formule (8) comme il suit :
iità'b • i ■ I - i s
S = î ir c’
V^rt’ — c’
i^ï rfy . — Sill»yrfy 1
'^L/o A'sin’Ÿ J„ s/i — A^’sin»(pJ'
Si l’on a e = è, l’ellipsoïde est de révolution autour du petit
axe, on a A = 0 et a = arc cos-» la formule précédente de- . *
vient
S = 3rr/>’ -4- 3îr arC COS -•
Si au contraire a^b, l’cllipsoïdo est de révolution autour
P rCvolulmn autour .. y. ta
194 NOTE SUR LE CALLlft DIFI^RENTIEL
du grand axe, on a A = i, ella formule (8) donne
S = 9.irA»-t- - log .
c’ A — vil»— c>
Il esl facile de voir que les formules (la) et (i3) s'accordent à donner S = 4"^’» quand on fait a = b dans la première et t = è dans la seconde.
33. La surface du cône oblique à base circulaire cfu elliptique peut aussi s’exprimer par les fonctions elliptiques, mais le^ résultats sont beaucoup moins simples que ceux qui se rapportent à l’ellipsoïde. Afin de donner un exemple des transfor- . mations qu’il convient d’employer dans les questions de cette espèce, nous examinerons ici le cas le plus simple, celui du cône oblique à base circulaire. " ^
Soient O le centre de la base, S le sommet du cône, SP sa hauteur, SA et SA' les arêtes situées dans le plan SOP qui est un plan principal, Met M' deux points infiniment voisins sur la circonférence de la base. Désignons aussi par rie rayon de ta base, par /« la hauteur SP du cône, par / la distance OP projection de OS sur la base, et enfin par w l’angle que fait le rayon OM avec OP, angle qui peut varier de O à 2ir.
Si l’on abaisse SQ perpendiculaire sur la tangente à la iJasc
au point M, l’élément SMM'= dS de la surface du cône sera '' »
r/S = -MM'xSQ, ,
■ l’arc MM' est égal à rrfw, en outre le triangle rectangle SPQ
donne SQ= y/sP -l-PO ; SP est égal à A, PQà±(r — feosu), cl l’on aura en conséquence ■■
' S= - /• (r — y'coswj’f/w;
par suite faire de la portion du cône comprise entre les arêtes ' . qui répondent aux valeurs o et w de u, sera .
S= r I + — ycosw)' </«.
- . Jo
ET I.K CAI.Cri- IXTé«nAE. 19“
Pour ramener celle expression à des irunscendnnles plus simples, j’«xéculerai une iransformalion ajani pour objel de faire disparallrc sous le radical la première puissance du cosinus de l’angle variable. A cel elîel, désignant par ç une nouvelle variable, cl par 9 une constante indélerminée, je poserai
eosO-Hcosç , sinOsin®
COSoi= , siiiw^ J — :
i-+-cos9cosç l-t-C0S9C0Sç
ces formules ne sont point contradictoires, puisqu’on en tire cos’u -t- sin’M= i; on en déduit aussi sans difficulté
. • • ' , . ' J sin9^/o
lang- » = tang- 9 tang-ç, nw= ,
• ■ 2 a a I -t- cos9 cosy
et l’on voit que si w varie de o à aw, ^ variera lui-même de o à atr.
Si l’on substitue dans la formule (i) les valeurs précédentes de cosw et de da, cl que l’on profite de rindélerininaiion de 0 pour faire disparaître la première puissance dè cosf sous le radical, il viendra
S==^ rsiu9 ÿ(/'5-4-A>^-y>)(i4-cos'9) — i^rfcosO
■ V t/»— A-’siiPy ,
(l-|-C0S9C0Sî-)’^
en posant, pour abréger.
( A’-t- r' — P) sin’9
a a (r*-f- /l’-t-/') (i -t-CO:»'0) — quant à l’angle 9, il est déterminé par l’équation
/rcos’9 — (r’-i-/t’-t-/’)cos9-i- fr = o, d’où l’on lire
coso = ' » + /«’+/’- j tr+[r-fy]
i^cos9 — ff v"'
. + cos9 “ .’.V. .. <
ig6
NOTE SUR I.G C.4LCUL DIFFERENTIEL
Il est aisé de voir que les radicaux y^A’-t-(r — /)’ et y/ /»’+(/ -+- /) ' représentent les valeurs des arêtes SA et SA' situées dans le plan principal ; si donc on désigne ces arêtes par a et a', on aura
