CHAPITRE X

Représentation, par le dessin, des formes oristalUnes

Étant donné un cristal, il est bon d'en savoir faire un croquis, au moins approximatif, qui facilite le choix des éléments immédiatement utilisables dans le calcul. Plus tard on en pourra faire une représentation exacte, précisément à Taide des résultats de ce calcul.

Projection porspective. — Nos figures relatives aux formes fondamentales et dérivées des six systèmes cristallins sont des vues perspectives permettant de se faire une idée rapide et suffisante de l'ensemble du polyèdre.

La mise en perspective d'un corps consiste à reproduire sur le papier Taspect qu'il offre à Tœil supposé situé en un certain point de l'espace qu'on appelle pom^ de vue.

Pour fixer les idées, supposons que Ton ait affaire à une figure triangulaire ABC. Il est évident que l'aspect de ce triangle change avec la position du point de vue.

Menons les rayons visuels OA, OB, OC passant par les trois sommets. Tous les triangles tels que A'B'C, dont les sommets

CBISTALL. GÉOMÉT. 7

98 TRAITÉ ÉI.ÉMEr^TAlRE DE CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE

sont situés sur les mêmes directions, présentent à i*œil un aspect identique; le triangle A'B'C s'appelle projection perspective du triangle ABC par rapport au plan P qu'on appelle tableau.

Le papier sur lequel on représente une vue perspective est

donc choisi comme tableau.

Le tableau restant - - « ^ fixe, la vue perspective

' '^^-'' change évidemment,

soit lorsque le point de vue se déplace par rapport au corps , soit lorsque le corps se déplace par rapport aii

Fig. S8.

point de vue.

Or, pour qu'une vue perspective donne une notion suffisamment nette de l'ensemble de toutes les facettes d'un cristal, il est indispensable que le point de vue soit convenablement choisi par rapport au tableau adopté et aux axes coordonnés du solide.

Dans les systèmes à axes rectangulaires, on choisit généralement pour tableau, soit le plan de l'une des faces, soit l'un des plans diagonaux.

Dans les systèmes à axes obliques, on peut adopter soit ceux- I à, soit des plans parallèles aux arêtes latérales ou perpendiculaires aux bases.

Quant au point de vue, on doit le supposer placé en un point tel qu'aucune des dimensions du solide ne soit vue par trop en raccourci.

REPRÉSENTATIOiN PAR LE DESSIN DES FORMES GRISTALUNES 99

C'est afin de réaliser celte condition que:

Dans le système cubique, ayant choisi pour tableau le plan coordonné xoz = (100), nous avons supposé Toeil à une grande distance en avant du solide et dans le trièdre antérîeur-supérieur-droit.

Dans le système quadratique (conventions identiques), le dessin eût été tout aussi lisible en choisissant pour tableau le plan coordonné xoz = (100).

Dans le système orthorhombique, nous avons adopté pour tableau le plan coordonné yoz = (100) = h* et pour point de vue un point situé dans le trièdre antérieur-supérieurgauche.

Dans les systèmes monoclinique et triclinique, le point de vue étant resté le même que dans le système orthorhombique, nous avons pris comme tableau, pour le premier, un plan parallèle aux arêtes latérales et h Tune des diagonales de la base, et pour le second un plan perpendiculaire aux bases.

Enfin, dans le système rhomboédrique, le tableau étant perpendiculaire à Taxe (-|- m, — u) le point de vue a été choisi au-dessus du plan horizontal et à droite du plan coordonné uoz.

La représentation perspective qui a le grand avantage de parler immédiatement aux yeux, lorsque le point de vue a été ^convenablement choisi, présente T inconvénient de ne pas toujours se prêter facilement au calcul cristallographique, surtout lorsque le cristal est fortement modifié.

C'est pourquoi on a imaginé de projeter stéréographiquement non plus les faces et les arêtes, mais les pôles de ces faces par rapport à une sphère décrite autour du centre du cristal.

De la sorte, les arcs de grands cercles compris entre deux

pôles quelconques sont supplémentaires de l'angle des faces correspondantes, .et un angle solide du cristal est représenté par un triangle sphérique polaire de celui que détermineraient sur la sphère les trois faces prolongées.

On a donc ainsi sous la main tous les éléments du calcul, d*autant plus que les côtés des triangles sphériques sont précisément les angles tels que les donnent les goniomètres à réflexion.

Projection stèréographiquo. — On appelle projection stéréographique d'un point A d*une sphère sur le plan d'un grand cercle quelconque MN, le point a d'intersection de ce

plan avec la ligne PA joignant le point A au pôle opposé du grand cercle.

Le point a n'est donc en réalité que la projection perspective du point A sur le tableau MN, le point de vue étant P.

On démontre facilement que :

1* Tous les grands cercles de la sphère situés d'une façon quelconque par rapport au tableau ont pour projection stéréographique des arcs de cercle d'un rayon plus grand que la sphère et coupant le tableau suivant des diamètres ;

2* Tous les grands cercles perpendiculaires au tableau ont pour projection des diamètres de son cercle, ce qui n'est d'ailleurs qu'un cas particulier du précédent.

Or, nous savons que la forme holoèdre la plus simple est constituée par deux faces parallèles entre elles ; tout cristal

REPRÉSENTATION PAR LE DESSIN DES FORMES CRISTALLINES 101 pourra donc se partager en deux moitiés symétriques, de Taçon que les pfiles situés sur une seule demi-sphère suriiront k une détermination complète de sa forme.

On fait alors une projection stéréographique dft cette demisphère Eur le grand cercle qui lui sert de hase.

Le plan du tableau est évidemment tout à fait arbitraire; d'habitude on choisit le grand cercle passant par les pôles de deux des trois plans coordonnés: xop = (001) ^ p, xoz = (010) =g\ yoz = (100) = A'.

Adoptons celui qui passe par les pôles de g* et de h* et considérons le cas le plus général de trois axes obliques quelconques.

Les projections des pôles H et G sont surlecercledutableau

Fig. 100.

Flg. 101.

en h et y, et le plus petit des arcs hg est supplémentaire de l'angle h} g*.

Celle du pôle P du plan coordonné p est en p à l'intérieur du cercle.

La projection du triangle sphérique PHGest donc le triangle phg dont seul le côté hg a pour rayon celui de la sphère.

Les trois axes coordonnés rencontrent la sphère en trois points X, Y, Z qui déterminent un triangle spbérique XYZ polaire du triangle PHG ; sa projection stéréographique œyz est un triangle à côtés curvilignes appartenant à des cercles de rayons différents et plus grands que celui de la sphère.

Toutes les faces situées sur une même zone ont leurs pôles sur un même grand cercle dont la projection renferme égale* ment celle de tous ces pôles.

Une simple inspection de la figure permet donc de reconnaître immédiatement les différentes zones; ainsi, dans le prisme

triclinîque, les faces octaédriques qui affectent les arêtes h et d sont en zone avec les bases p ; elles seront donc représentées sur le tableau de la projection stéréographique par les^ deux points 6 et d situés sur un arc de cercle passant par p et coupant le cercle du tableau en deux points diamétralement opposés.

Lorsque les facettes du cristal sont ainsi représentées par leurs pôles, on reconnaît facilement, avec un peu d'habitude, d*abord les angles qu'il sera utile de mesurer, ensuite les triangles sphériques à résoudre pour arriver le plus directement au résultat.