P^O OE

= T> = cotg p' = 0,63203

i — ri —

= = cotg. p' tg d' = 0,81005

Fig. 128.

On en conclut que Taxe c seul a changé, et si Ton effectue le quotient J/.qg)aq ^ ^^ 1® trouve sensiblement égal à 3. Le premier octaèdre étant donc noté :

Miller (114)

Weiss a\ h \ c

Lévy h^

le second le sera:

Miller (113)

Weiss. ... a \ b : ^c

Lévy b^

Nous croyons inutile de multiplier les exemples de ce genre de calcul. Il suffît en effet d'en bien comprendre le principe pour arriver à faire face, avec un peu d'habitude, aux difficultés que chaque cas peut présenter en particulier.

Calcul inverse des angles par les axes pour les formes fondamentales, et par les caractéristiques pour les formes secondaires. — Il est bon, comme vérification, d'opérer les calculs réciproques des précédents, c'est-à-dire de retrouver les angles directement mesurés à l'aide des paramètres fournis par le calcul direct.

Si l'on ne retrouve pas une valeur très voisine de la leur, on en devra conclure soit qu'on a fait erreur dans le premier calcul, soit que la mesure des angles a été défectueuse et que par conséquent l'opération est à recommencer.

NOTEI

Interprétation physique de la loi de rationalité

Directions de clivage. — Les fondateurs de la cristallographie, et en particulier Bergman et Haiiy, avaient découvert qu'il existe en générai dans les cristaux certaines directions suivant lesquelles la rupture est plus facile.

Ces directions, appelées plans de clivage (de l'anglais T6 cleave, fendre), et que chacun a pu remarquer dans le mica, sont celles suivant lesquelles la cohésion est maxima tandis qu'elle est minima suivantleur normale.

Si Ton clive un cristal scalénoédrique de spath dislande (carbonate calcique), on parvient toujours à la forme rhomboédrique qui subsiste d'ailleurs à quelque degré que Ton pousse la fragmentation.

C'est la généralisation de cette remarque qui amena Haûy à formuler sa théorie sur la dérivation des formes appartenant à un même système.

Molécules intégrantes. — Il admit, pour toutes les molécules d'une même substance susceptible de cristallisation, une forme polyédrique identique.

tu TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DE CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE

On peut toujours imaginer qu'un groupement convenable de ces cristaux élémentaires, ou molécules intégrantes, engendre un noyau ou massif fondamental, géométriquement semblable &la molécule intégrante elle-même.

Eq supposant à celle-ci une forme prismatique de dimennODS a, b, c, le noyau, prismatique aussi, prendra les dimensions na, nb, ne, c'est-à-dire que les cristaux élémentaires s'y trouveront rangés par couches parallèles h ses trois systèmes de faces, et en nombre égal suivant les directions des trois arêtes.

DèriTation des formes. — Toutes les formes possibles du système peuvent maintenant s'obtenir très facilement, soit par des additions de couches moléculaires modifiées suivant une certaine loi, soit par des soustractions opérées en sens inverse.

Pour fixer les idées, supposons que l'on ait alTaire h un massif cubique, et soit xbi/ la section droite de l'un de ses angles

En superposant & chaque face des couches successives en retrait d'une molécule, de l'une à la suivante, il est évident que tous les som- Fig. lis, mets m, n, b. A, q, r...

sont sur un même plan également incliné sur les deux faces du cube et que la forme résultante est le dodécaèdre rhomboïdal à' (l'expo*

iiperposttions de couches

NOTE I 135

sant 1 exprime le rapport entre le nombre des molécules en retrait, d'une couche à la suivante, et celui des molécules constituant l'épaisseur de chaque couche).

S'il y a retrait de n molécules, chaque couche conservant la même épaisseur, la facette résultante est inégalement inclinée snr les deux faces et appartient é. l'hexatétraèdre è" = b".

Ciiaque assise peut d'ailleurs renrermer un nombre de molécules quelconque m, de sorte que le symbole le plus

général du cube pyramide est h"*.

Si maintenant nous faisons des d'une molécule d'épaisseur dans lesquelles nous supprimons à chaque angle, pour la première, la molécule 1, pour la seconde les molécules 2, 3, pour la troisième les molécules 4, 5, 6, etc., la facette résultante sera égale- -' ' '■'

ment inclinée sur les trois arêtes '''^- **'■

du cube et appartiendra à l'octaèdre régulier a* .

Si, les assises conservant la même épaisseur, nous supprimons chaque fois, non plus une seule rangée, mais en général n rangées diagonales de molécules, la modification angulaire sera plus inclinée sur les arêtes horizontales que sur l'arête verticale et dépendra de l'icositétraèdre a".

Lorsqu'au contraire on attribue à chaque assise une épaisseur de n molécules et qu'on ne supprime qu'une seule rangée diagonale de même épaisseur, en passant d'une assise h. la suivante, on obtient le trioctaêdre a".

En général, les couOhes ayant une épaisseur de n molécules

et le reirait s'opérani sur m rangées diagonales, le polyèdre

résultant a pour symbole, a" et est un icositétraèdre, un Irîoctaèdre ou un octaèdre régulier, suivant qu'on a:

Enfin, si l'on considère un prisme élémentaire ayant m

molécules d'épaisseur, n de largeur et /> de profondeur, et que

l'on modifie l'angle par des superpositions de couches

composées de ces prismes et dans lesquelles on supprime

successivement une, deux, trois, etc., rangées diagonales de

priâmes, la facette résultante sera inégalement inclinée sur

les trois arêtes du centre et appartiendra à Thexoctaèdre

En résumé Ton voit donc qu'en partant de l'hypothèse d'Hauy, deux faces quelconques doivent intercepter, soit sur les trois arêtes du prisme fondamental, soit sur Taréte verticale et les diagonales des bases (directions intimement liées aux premières), des paramètres forcément rationnels entre eux, puisqu'ils ont respectivement pour commune mesure les trois dimensions de la molécule intégrante, c'està-dire des longueurs proportionnelles aux axes cristallographiques.

NOTE II

Transformation des axes et des caractéristiques

Les axes de Lévy n'étant pas les mêmes que ceux de Weiss et de Miller, on se trouve à chaque instant obligé de résoudre le problème suivant.

Connaissant les trois axes a, h, c de Miller (oo?, oy, oz) et les angles a, p, y qu'ils font entre eux, ainsi que les caractéristiques [h^k^l^), (A^Â^y (^3^3^ des trois faces du prisme fondamental, constituant les trois plans coordonnés de Lévy, calculer les trois axes a\ h\ c' de Lévy et les caractéristiques correspondantes [h'k't) d'une certaine face, sachant que ses caractéristiques par rapport au premier système d'axes sont [hkî).

Si nous appelons a', p', y' les angles que forment entre eux les axes de Lévy, on trouve très facilement d'abord:

, h^ — a' -, ôcosa — acosB

oosa=-7 = cosB = . ^ =

b cosB + a cosv

COSy = *-— ' ^

\Ja^ + ^^ — 2a^ cos a

puis, par la considération des triangles OAC,OCB:

c = (i' a'* = a« -f- ô2 2^^ cos ^ yi = «» -f. ja + 2aô cosa

* Observons maintenant que les plans coordonnés de Lévy

Fig. 131.

étant les trois faces p, m, et ^ du prisme fondamental, leurs caractéristiques par rapport aux axes de Miller sont : pour

m \f^sKh) = (AÏO)

t (Ma^a) = (^^0)

Or, en ramenant les deux systèmes de plans coordonnés & avoir une origine commune o, et en considérant les équations

NOTE II

des faces p, m, t passant par cette origine :

a^ + ll'y+c^ = °

on arrive sans grande difficulté, même dans le cas le plus général, aux relations suivantes :

h^ — hd^ —

qui donnent les nouvelles caractéristiques des plan»

Pf m et t.

et :

AiA+ h<Ji-\-l'JL

qui donnent les nouvelles caractéristiques de la facette modifiante.

Dans le cas qui nous occupe, les relations (i) deviennent donc :

kl

ki =

iiO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DE CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE

de sorte qu'en portant ces valeurs dans les équations (2), on trouve finalement pour les caractéristiques nouvelles [hKl') de la facette, dont les anciennes étaient [hkî) :

NOTE III

Notions sur la théorie des arrangements rétionlaires

Cette théorie, créée par Bravais, supplée à Tinsuffisance de celle d*Hauy en donnant une explication rationnelle des lois d'observation qui font la base de la cristallographie, ainsi que des apparentes anomalies présentées par les différentes formes hémièdres et les formes hémimorphiques.

Elle a pour point de départ l'existence de plans de clivage plus ou moins apparents dans la plupart des cristaux.

La cohésion étant maxima suivant la direction du clivage et minima dans une direction perpendiculaire, doit varier entre ces deux limites pour les directions intermédiaires et suivant la même loi autour de points convenablement choisis dans le cristal, ce qui revient à dire qu'elle doit avoir une valeur identique suivant les directions parallèles passant par deux do ces points.

Pointshoxnologues.— *0n appelle points homologues tous les point» régulièrement répartis dans la substance cristallisée, pour lesquels la précédente condition se trouve réalisée.

<;e'st-à-dire autour desquels il existe une répartition identique de la matière.

En supposant le cristal formé par un groupement rationnel de molécules polyédriques semblables et semblablement placées, il s'ensuit naturellement que les centres, les sommets homologues, et en général tous les points semblablement situés dans les molécules intégrantes sont des points homologues.

Il existe donc, pour un cristal donné, un nombre infini de

systèmes de points homologues, mais il est évident que, pour

tous ces systèmes, les distances respectives des différents points

resten t parallèles et égales à celles des centres des molécules intégrantes.

Arrangement réticulaire plan des points homologues. — Supposons que

^7' " f' 7* T* y ^ ^0 représente un point

PiA -f— f ---f-"^ homologue quelconque:

p// — i'—^ — *---f une ligne P^^ tracée par

pj — r---f- — t"'î ^^ point homologue im-

^/- — ^..-i.-- ji-.y médiatement voisin P.,

' ! I -py ^—-4— -4— 4 situé à la distance b du

premier, contiendra toute

la série des points homo-

Fig. 132. ^^^^^ ^2' ^3» ^A-' éga-

lement espacés.

Considérons maintenant le point homologue P^, satisfaisant à la condition d*étre à la fois le plus voisin du point P^ et de la direction P^,y, et traçons la ligne P^o?. Cette ligne passera par toute la série des points homologues P^, P^, P^'... analogues à P^' et comprenant entre eux le même intervalle a.

NOTE II 143

Si donc nous menons pour chacun des points P,, P„ P,.... Pf, Pj, PI des parallèles h l'autre direction, nous partageons le plan œP^y en parallflograinnieB élémentaires égaux et de c6téG a et b, dont les sommets sont précisément tous les pointa homologues de Pg situés dans ce plan.

On appelle ce plan plan réticulaire, l'ensemble des parallélogrammes réseau, et leurs sommets nœuds du réseau.

Deux rangées voisines de nœuds telles que Pga; et P^cc' ou Poï ^t Pi' V ^ nomment rangées limitrophes.

Arrangement rétioulaire prismatique des pointB homologues. —Si nous considérons maintenant le point homo-

Fig. 133.

logue P| satisfaisant étla condition d'être à la fois le plus 'voisin du point Pg et du plan t^Pg^, la lignePgT joignant ces deux points contiendra encore toute la série des points homologues

PJ» Pa» P3 semblablement situés à des distances respectives e, toutes égales entre elles.

Les trois lignes PqOo, P^y, P^^ forment un trièdre, de sorte qu*en menant par chacun des points homologues situés sur ses arêtes des plans parallèles à la face opposée, nous partageons Tespaceen prismes égaux de dimensions a^beic et dont les sommets contiennent tous les points homologues du point P^.

On les appelle nœuds du réseau prismatique, et deux plans voisins tels que ^Po^, z'P^œ' prennent le nom de plans limitrophes.

On suppose d'habitude que le réseau se rapporte aux centres des molécules, bien que la chose n'ait aucune importance par elle-même, puisqu*en vertu de la remarque déjà faite, les différents réseaux de points homologues ne se distinguent, dans une même substance, que par un transport parallèle à une certaine direction.

Ce qu'il importe de noter maintenant, c'est que le partage de la matière cristalline en prismes élémentaires que nous appellerons désormais mailles du réseau, peut se faire de plusieurs façons par rapport à un système de points homologues donnés.

Cela veut dire que les trois directions P^o?, Po2/, Po^, qui déterminent les mailles, restent arbitraires, sous la condition toutefois que leurs sommets renferment tous les points homologues, autrement dit qu'un prisme élémentaire n'est véritablement une maille d'un réseau que s'il ne contient dans son intérieur aucun point homologue .

Il est facile de se rendre compte que cette condition sera toujours réalisée, pour un système de points homologues, en adoptant pour première direction ?^x une ligne joignant