AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR

L'ensemble de ce traité n'exige strictement d'autres connaissances préalables que celles qu'on peut aisément acquérir en une première année d'études mathématiques convenablement dirigées, comprenant successivement : l"" quinze leçons environ sur l'arithmétiqtie proprement dite; '2° trente leçons suf là partie vraiment usuelle de ra|gèbre , composée de l'examen complet deà deux pretniers degrés , de la formule du binôme , du calcul deà fadicaux , de la théorie des deux progressions les plus simples, et de la théorie des logarithmes, complétée par la résolution des équations exponentielles correspondantes ; S^" trente leçons sur la géométrie élémentaire , judicieuse* nient assistée du calcul algébrique dans les cas qui le réclament naturellement^, h^ quinze leçons sur la trigonométrie complète , sans excepter la résolution des triangles sphériques; 5"^ dix leçons sur les éléments de la géométrie descriptive; 6^ enfin , vingt leçons sur la statique élémentaire. Ces deux dernières parties ne sont même ici qu'accessoirement supposées : l'une, soit pour certaines formules de langage qui m'ont paru propres à éclaircir le discours , soit, surtout, par Taptitûde qu'elle développe à spéculer nettement dans l'espace; l'autre , envers quelques notions accessoires, encore moins indispensable^. Une très-active pratique journalière de l'ensemble de l'enseignement mathématique, individuel ou collectif, continuée sans interruption depuis l'année 1816, m'autorise à prononcer qu'un tel préambule suffit pleinement à une élude satisfaisante de la géométrie analytique, quand on s'y borne aux théories vraiment accessibles à lanalyse ordinaire. Chaque nouvelle année d'expérience me confirme davantage dans la conviction qu'il y a beaucoup plus d'utilité didactique à retirer d'une lumineuse application de cette étude géomé-

VI AVERTISSEMENT DE L'ArtEtE.

trique à celle de l'algèbre supérieure , que de la réaction secondaire de celle-ci sur certaines parties de la première, réaction qui doit d'ailleurs finalement résulter d'une judidense révision générale , dont aucun mode d'enseignement ne saurait dispenser. Non -seulement , les intelligences ordinaires n'ont pas , à mes yeux , besoin d'une prépara* tion plus étendue quenelle ci*dessus définie , afin de suivre avec fruit les leçons des professeurs qui me feraient l'honneur de prendre ce traité pour guide ; mais j'ose même assurer que cette initiation suffirait aussi aux esprits heureusement organisés qui voudraient isolément étudier ici la géométrie analytique , sans aucun secours étranger. Ce petit ouvrage résulte d'une sorte de loisir très-passager dû à l'intermittence philosophique qui devait naturellement avoir lieu chez moi entre la récente terminaison de mon système fondamental de philosophie positive et te prochain début des grands travaux dont j'y ai posé les bases. Tous ceux qui savent combien je me suis activement occupé , pendant un quart de siècle , à régénérer l'ensemble de l'enseignement mathématique » en connexité spontanée avec l'élaboration générale à laquelle j'ai consacré ma vie, m'avaient depuis longtemps sollicité de publier au moins la partie de mes leçons qui se rapporte aux éléments de la géométrie analytique , comme relative au degré le plus important , le plus difficile, et le plus imparfait de l'initiation mathématique , où l'on peut dire , en eflet , sans aucune exagération , que , après deux siècles entiers, l'admirable conception de Descartes n'a pasencore suffisamment pénétré , puisqu'il semble toujours destiné essentiellement à l'étude spéciale des sections coniques. Mais, quelque honorable que dût me sembler un tel vœu , les exigences supérieures de ma grande entreprise philosophique m'avaient constamment interdit jusqu'ici la possibilité d'y satisfaire. Je viens de profiter , à cet effet, d'un premier intervalle disponible, qui peut-être ne se reproduira jamais, pour écrire ce traité élémentaire pendant les trois mois que dure annuellement mon cours oral de géométrie analytique dans l'un des principaux établissements destinés

AVERTISSEMENT BE L'aUTRUR. VII

à la préparation polytechnique, i'institation spéciale fondée à Paris par M. Laville.

Outre d'inévitables communications partielles, spon* tanées ou provoquées , qui , depuis plusieurs années , ont fait indirectement pénétrer , dans renseignement ordinaire de la géométrie analytique , quelques-unes de mes innovations, et indépendamment des indications formelles que contient , à ce sujet', le tome premier de ma Philosophie positive , publié en 18â0 , le plan et même Tesprit de mon système didactique ont été directement caractérisés, en 1836, par un programme spécial de l'ensemble de mes leçons annuelles, alors lithographie pour l'usage journalier de mes élèves , et dont j'ai toujours facilité la propagation extérieure. La première moitié de ce programme est naturellement devenue , avec quelques améliorations secondaires , la table raisonnée des matières de ce traité , où elle peut utilement diriger une rapide révision générale , puisque la filiation de toutes les idées s'y trouve suffisamment indiquée , ainsi que l'objet propre de chacun des 168 paragraphes dont ce volume est composé. J'ai pensé qu'il ne serait point inutile , même pour ceux qui ne connaissent pas mon enseignement oral , de joindre à cette table la seconde moitié d'un tel programme , relative à des leçons que je n'aurai peut-être jamais la faculté de publier. Cette indication caractéristique peut surtout acquérir une véritable importance envers l'enseignement du calcul difl&rentiel, qui constitue certainement , après la géométrie analytique, la partie la plus décisive et jusqu'ici la plus imparfaite de l'initiation mathématique : le plan et l'esprit dés leçons que je fis, sur ce sujet , à lÉcole polytechnique, en 1836 , se trouvent ainsi suffisamment appréciables. Qn peut , en un mot , regarder Tensemble de ce programme comme donnant une juste idée générale de la destination propre à chacune des cent vingt leçons que je fais annuellement, du 1^^ novembre au l^'^ mai, dans l'établissement ci-dessus désigné.

La publication actuelle comportera , j'espère , une certaine efficacité individuelle , soit pour offrir une direction