APPLIGATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

i* Théorie des tangentes aiix courbes planes. (2 leçons. )

Formule fondamentale pour la théorie rectiligue des tangentes. Double liaison générale de cette théorie avec celle des maxima.

Application à la coiirbe algébrique dont la somme (ou toute autre fonction ) des distances de chaque point à divers points fixes demeure constante : construction très-remarquable que Leibnitz en a tirée.

Applications spéciales à la logarithmique et à la cycloïde. .

Formule générale pour la théorie polaire des tangentes , obtenue « soit directement y soit d'après la formule rectiligne. i

Applications spéciales adx spirales d^Archimède et de Jacques Ëernouilli.

Théorie des asymptotes , d'abord en coordonnées rectilignes , puis en coordonnées polaires. Diverses applications.

Théorie générale des points d'inflexion , d'après ht considération des tangentes : principal caractère analytique de ces points.

Théorie des points multiples , et par suite, des points conjugués , des points saillants , et des points d'arrêt.

2o Théorie de la courbure des courbes planes. ( 5 leçonâ»)

Appréciation générale de l'objet propre , de la haute importance, et de la difficulté supérieure d'une telle recherché.

Première notion fondamentale, propre à constituer la théorie mathématique de la courbure , d'après 1 idée Aq flexion.

Seconde notion fondamentale, susceptible de la même destination, d'après la conception du cercle osculaieur.

Identité nécessaire de ces deux méthodes géométriques. Introduction spontanée de l'analyse différentielle dans leur formulation.

Formules générales au rayon , et par suite du centre , de courbure , d'après la première méthode.

Formules générales du centre, et par suite du rayon , de coorbure^ d'après la seconde méthode.

Notion générale de la développée , envisagée comme complétant et perfectionnant la théorie mathématique de la courbure. Propriétés fondamentales de cette courbe auxiliaire. Formation de son équation d'après celle de la courbe primitive.

Application à la développée de la parabole ordinaire. Indication et appréciation , à cette occasion , du mode suivant lequel la théorie des

déreUippécf deviendrait , en cerUiiM cm , aeceinble k Vuu\jwt ordinaire.

Application de la théorie de la ooarbare i l'ellipfle et à Thypertiole. Indication de fon mage poor la mesare de l'aplatisfement de la terre.

Coarbore de la çycloîde ordinaire. Natore remarqoaMe de ga développée. Réaction d'une telle conoaifianee sor la rectification de la cjcl<tfde. Aperçu spontané de sa principale propriété djnamiqne, d'après le principe spécial d*Hny^ens.

Formule générale pour la théorie polaire de la courbure, obtenue, soit directement , soit d'après la fonnule rectiligne.

Applications spéciales aux spirales d'AreUniMie et de BemonilK. Notion remarquable qui en résulte pour la développée de la spirale logarithmique , et d'où suit la rectification de cette courbe.

Considérations générales sur la recherche inverse des développantes par les développées. Exemple exceptionnel relatif mi cercle , et caractérisant les cas où cette question , quoique naturellement du ressort du calcul intégral, devient quelquefois accessible au seul calcul diflerentiel.

Théorie des caustiques. Son analogie fondamentale avec celle des développées. Formules pour la recherche des caustiques par réflexion, dans le seul cas du parallélisme des rayons incidents. Indication des caustiques par réfraction.

Théorie générale de Leibnitzsur les courbes envelcppes. Application à divers exemples.

Méthode générale de Lagrange pour former un système de courbes insceptible d'une enveloppe doonée. Appréciation, analytique et géométrique , de 1^ vraie subordination des enveloppées à l'enveloppe.

Théorie fondamentale de Lagrange sur les divers degrés de contact des courbes planes. Caractères , d*abord analytiques, puis géométriques, des différents contacts. Fixation du genre d^osculation propre à chaque espèce de courbes.

Application générale de la théorie précédente à l'étude mathématique de la courbure. Limitation naturelle d'une telle comparaison à la notion du cercle osculateur. Reproduction spontanée des formules antérieures, et vérification analytique des propriétés générales de la développée.

Indication d'une nouvelle classe de points singuliers où le cercle oscnlateur a un contact du troisième ordre avec la courbe proposée. Comparaison générale de ces points à ceux de moindre ou plus grande courbure.

Caractères analytiques, rectilignes on polaires, des points de rebroussement. Reproduction analogue des caractères pro^Nres aux infierions.

Application de l'ensemble de la géométrie différentielle à la discussion perfectionnée des courbes planes , surtout transcendantes. Exem-

, , . - siujp plea relatifs aux courbes^ = jr/x, vssso* , ^*=cosar,r5= ,

tangx

X "= -• 9 ;^ a= « COS Jr.

30 Théorie des courbes à double courbure. ( 3 leçons, }

Théorie des tangentes à ces courbes , soit d'après les courbes planes, soit directement. Applications à rhélice, et à I epicycloïde sphérique.

Théorie fondamentale du plan otculaUur, Diverses formes de son équation générale. Application k Théltce.

Théorie générale de la courbnre ordinaire, ou dejlexion. Recherche analytique du cercle! osculateur.

Etablissement direct des formules générales pour la grandeur et la direction du premier rayon de courbure. Diverses formes dont elles sont susceptibles. Application à l'héKce.

Théorie générale de la seconde courbure^ ou de torsion. Sa source naturelle dans la notion du plan osculateur. Formule du raj'on correspondant. Application à Thélice.

Nouvelle conception sur la théorie de la seconde courbure d'après la notion de la sphère osculatrice : comparaison des deux méthodes ; identité nécessaire de leurs résultats. Condensation possible de toute la théorie des deux courbures autour des seules notions du plan osculateur et de la sphère osculatrice. Recherche analytique de celle-ci.

Extension générale de la théorie fondamentale des contacts curvilignes aux courbes a double courbure.

Comparaison d'une courbe quelconque à l'hélice osculatrice. Nouvel aspect correspondant pour l'ensemble de la théorie dé la courbure des lignes non planes. Recherche analytique de cette hélice. Appréciation finale de cette conception.

Il" Théorie des plans tangents , et classement rationnel des surfaces. ( 3 leçons,)

Équation générale du plan tangent, d'après sa définition infinitésimale. Deuxième mode de formation, d'après le lieu des tangentes menées à une surface en chacun de ses points. Troisième mode, d'à* près la propriété de minimum de la normale.

Plan tangent parallèle à un plan donné, ou contenant une droite donnée. Plan tangent commun à trois surfaces données.

Conception fondamentale de Monge sur l'application naturelle de la théorie des plans tangents au perfectionnement général de la gécH métrie comparée par l'établissement direct de types différentiels , indépendants de toute fonction arbitraire, pour caractériser chaque famille de surfaces. Correspondance analytique de ces nouvelle» équations collectives aux types finis antérieurement introduits.

Application de ces principes aux familles géométriques déjà étudiées par l'analyse ordinaire.

Equation difierentielle propre à caractériser toutes les surfaces développables.

Théorie fondamentale de Monge sur les surfaces enveloppes. Différences nécessaires , analytinues et géométriques, de cette notion avec celle relative aux courbes.

Considérations générales sur la formation des familles géométriques d'après cette nouvelle idée mère, qui condense à un degré supérieur toutes les comparaisons antérieures.

Développement analytique de cette théorie dans le seul cas de deux

Iparattètres Tariables. Mode de formation de lëquation diflercnitMilIe | |>iopre a ehaqne famille.

Application spéciale anx direrses famillei antérieures et à la. théorie ^•s tdyaai dont Taxe est plan.

50 Théorie de la courbure des surfoccs. ( 8 lep<Mt*)

^éorie générale des divers contacts des surfuces. Sa difiereace essentielle avec cel le des con^cts curvilignes. ^

Application de cette théorie à l'étude de la courbure dm surfaces , \

réduite à leur comparaison avec la sphère. Défaut radical d'équiva* lence entre loffice géométrique de la sphère osculatrice et e^iii du cercle émulateur. Nécessité correspondante d'étudier, en chaquepoint d'une surface quelconque , une infinité de rayons de courbnre«

Formule générale du rayon de courbure de toute section aormalé. Déterùiination des deux rayons principaux.

Réproduction spontanée du caractère différentiel des surfaces développables.

Théorie 'd*Euler sur la marche générale des rayons de courbure normaux , résumée par une constructioi^ remarquable. Discussion des cas où la courbe correspondante est elliptique, hyperbolique, ou parabolique. Appréciation d'une prétendue indicatrice.

Théorème complémentaire de Meunier sur la courbure des sections obliques.

Application de ces diverses notions à quelques exempleis , et surtout à lar surface » «s x/*.

Définition générale des lignct de courbure. Exposition analytique de la théorie de Monge a ce sujet. Impoi^tance dé cette détermination pour perfectionner l'ensemble de l'étude de la courbure de chaque surface.

Indication directe et spéciale des lignes de courbure propres anx familles les plus usuelles.

Recherche de la surface qui contient les centres de courbure de toutes les sections principales.

Théorie générale des lignes déplus grande pente. Leur relation nécessaire aux lignes de niveau. Détermination spéciale des lignes de faîte. Application de cette théorie a la surface z sa xjr>

Pages.

Table du Traité de Géométrie analytique (64 leçons) S65

Programme du Cours d'Algèbre supérieure (35 /tffORx) 58S

Programme du Cours de Calcul différentiel (3 1 /tff on/) S90