APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

10 Développement des fonctions en séries. (2 leçons»)

Aptitude spontanée des considérations différentielles à perfectionner les transformations analytiques.

Démonstration de la série fondamentale dite de Taylor.

Série générale de Mac! au ri n ou Stirling, obtenue, soit d'après la précédente, soit directement. Possibilité d'en déduire convenablement l'autre série. Appréciation de la destination essentielle de chacune d'elles.

Série géDcral« de Jean BcmoailH. Indioalkm de loa origine propre , et de lâ principale deatinalion.

Utages de cet dÎTenet séries générales, et niiioatde celle de Maclanrin , ponr obtenir nniformément les principanz dérdoppemeota antérienrt , de (i -f''^) "^t ^ *« ^ ( > + ')» un Jr, cos », et arc (tang i» jr). Remarqne lor ce dernier cas.

Inconvénient fondamental d'nn tel mode de déreloppement : exemple caraetérisiiqne ponr arc (sin *» x).

Conception de Lagrange ponr perfectionner l>emploi général des dérivées dans les transformations en séries. Application de cette méthode supérienre à tontes les fonctions déjà considérées, et surtout aux deux fonctions circulaires.

Extension capitale d*nne telle méthode aux fonctions implicites. Série générale de Lagrange ponr leqnatîon z*=X'\'jrf{z),

Nécessité d'agrandir, en certains cas , le champ des transfcMrmalions en séries, par Tinlrodoction de nouveaux éléments. Exemples relatifs |i jr ', et surtout à log (tang x). Indication des théorèmes de discontinuité émanés de cette dernière transformation.

Extension générale des séries de Taylor et de Bfaclaupin aux fonctions de plnsienrs variables. Reproduction naturelle du théorème de Nicolas Bernouilli sur Tinversioades difierentiations successives.

3* Théorie générale des maxlma et mfnfma. (SiefoiM.)

Position générale de la question : définition exacte du maximum et du minimum. Appréciation préalable de Tensemble des ressources trop bornées que présente , à cet égard , l'analyse ordinaire.

Aptitude spontanée de l'analyse transcendante à de telles déterminations. Caractère fondamental de l'état maximum ou minimum.

Exposition complète de cette théorie pour les fonctions d'une seule variable : examen des cas exceptionnels. Appréciation finale de l'ensemble deia méthode. Divers exemples de sou application.

Extension spontanée du caractère fondamental aux fonctions de plusieurs variables indépendantes.

Artifice analytique pour la réduction générale de ce cas au précédent. Exposition complète de la méthode qui en résulte'. Examen des caractères accessoires du second ordre qui compliquent alors la condition principale. Applications diverses.

'■ Appréciation générale du cas oii les différentes variables deviennent subordonnées entre elles. Règle analytique très-remarquable pour ramener toujours ces maxima conditionnels à des maxima inconditionnels. Diverses applications,

3« Évaluation générale des symboles indéterminés. (1 /epon. )

Position généri^ie de la question. Enumératîon essentielle, et équivalence nécessaire des divers symboles d'indéterniination. ' Appréciation préalable des ressources insuffisantes de l'analyse ordi- «laire pour de telles évaluations.

'' Aptitude naturelle de l'analyse transcendante à de pareilles déter-

ininaiions. Double démomtralion , analytique et géométrique ^ de la règle fondamentale enren le symbole principal |.

Extension de cette méthode à tous les autres symboles d*indétermi: nation.

. Indication des cas où la méthode échoue nécessairement. Évaluation de quelques formules semblables.