TROISIÈME PARTIB, CHAPITRE TROISIÈME

deux tangentes distinctes , dirigées suivant les bissectrices f oonune le confirmerait d'ailleurs la considération spéciale du

rapport -. Cette nouvelle propriété a fait donner le nom de

nœud à ce point exceptionnel , déjà doublement remarquable ici , à titre de centre et de point d'inflexion. L'ensemble d'une telle discussion ne peut laisser aucun doute sur la figure générale de cette courbe , que sa forme a fait appeler letnniscate. Sa courbure est évidemment beaucoup moins prononcée , en général, du nceud 0 au maximum B que de là au sonunet  ; pm'sque le premier intervalle , quoique supérieur au second , produit une variation totale moitié moindre dans la direction de la tangente.

En substituant y à cette équation , l'équation inverse y=:x* — :r% il faudrait surtout remarquer, outre le changement accoutumé d'un lieu fermé et continu en un autre illimité et interrompu , le nouveau caractère qu'y prendrait le centre, toujours placé à l'origine. On voit que ce point , loin de réunir plusieurs branches distinctes , se trouverait isolé de tout le reste de la courbe , dont il continuerait cepen4ant à faire partie, conmie le point conjugué de la conchoïde. Si Ton généralise davantage un tel contraste géométrique , il est aisé de sentir que , en toute équation de la forme

tes abscisses proinres à confondre les deux valeurs de y^ non par l'annulation de la fonction placée sous le radical , mais par celle du facteur qui le précède , indiqueront des nœuds ou des points isolés selon qu'elles rendront positive ou négative la première fonction/ (x) , puisque les ordonnées voisines seront dès lors tantôt réelles «t ta^itôt imaginaires, Ainsi , quelque

opposées qne soient géométriquement ces deux sortes de points, le même caractère analytique pourra leur convenir, ayec une simple nuance relative seulement an sens d'mte certaine inég«lité. Leur différence , quant à la tangente , consistera en ce que son coefficient angulaire , toujours double en Tun et l'autre cas , restera réel pour le premier et deviendra imaginaire pour le second ; comme le confirme aisément l'exemple précédent. Quoique le type analytique que je viens de formuler soit loin d'ofrir, à cet égard , toute la généralité convenable , il est pourtant propre à étendre déjà les idées du lecteur sur l'opposition de ces deux points singuliers , autant que le comporte 6t l'exige ici notre initiation géométrique.

Quatrième exemple. Pour signaler les cas où , l'exposant de l'ordonnée restant pair, l'un de ceux de Fabscisse devient impair, considérons enfin la seule équation y^^x^ — :c*. La courbe , tout entière à droite , ne s'y étend que de l'origine jusqu'à ar=l, symétriquement autour de l'axe, au-dessus duquel sa plus grande hauteur correspond , suivant la règle des

dérivées , à ^s= ; , d'où ^=— V^Sj ce quila renferme dans

le rectanrie OBAF(^sf.60). On a ki tanga= . en aorte

que les trois côtés BC , B^C, et GC\ touchent la courbe : mais, quant au quatrième, en O la direction de la tangente semble d'abord indéterminée. En la cherchant , soit par la substitution de

l'erdonnée , qui donne tang «= -II — t/ ^ , soit d'à-

près la considération spéciale du rapport *^, il est aisé de recon-

nattre que la tangente initiale coïncide avec l'axe des abscisses. Si donc, des deux points où cet axe coupe la courbe, l'un A est un sommet proprement dit , l'autre 0 constitue un point de re-

TROISIËUE PARTIE, CHAPITRE TR0I8IËUE. 263

hronssement. Ainsi , entre 0 et B ou B', il doit exister an double point d'inflexion , dont l'abscisse nnique correspondra

su maximam de tang « , ou à cdoi de la foHction ' ■ .

soîTant l'esprit des transformations propres à la théorie deg maxima , où l'on a toujours le droit de modifier, pour plus de simplicité , les fonctions proposées , pourvu que les maxima ou ttinima ne cessent point de correspondre aux mêmes yaledrs de la variable indépendante.

83. En introduisant , dans les équations trinômes , un terme oà les deux variables soient mâée& , on y forme une troisième catégorie générale , qui , pouvant comporter jusqn^à quatre exposants simultanés , doit nécessairement oBrir encore plus de diversité que la précédente. J'en examinerai seulement deux exemples très-simples , l'un de degré impair, l'autre de degré pair.

Premier exemple. Soit d'abord la courbe x^ — jy^'=i.

D'tprès la formule ^ =±: \/ x' , elle s'étend indéfiniment à droite , depuis cr = 1 , en s'éloignant sans cesse de son axe : à gauche , l'ordonnée , infinie pour j? = 0, ce qui indique Tasymptotisme de Taxe desj^, doit premièrement décroître; mais elle ne tarde pas à augmenter, puisque les accroissements du terme or' l'emporteront bientôt sur les diminutions du terme

*-, ti eàstAiB elle erolt juisqti'à Tinâtti. £n ecmsidérant é6 pM

près la marche générale de cette fonction , on aperçoit aisément^ suivanl la méthode subsidiaire des asymptotes , que les

deux bissectrices j^=: ±\^x'' constituent deux autres asymptotes , placées au-dessous de la partie droite de la courbe et au-dessus de sa partie gauche. L'ensend)Ie de ces documents ne laisse ici, vu le degré, aucune incertitude sur Tabsence

364> «ÉOHÉTRIE PLANE.

totale de sinuosités et de rebroussements , sans qu'il soit réellement nécessaire de consulter la tangente, sauf pour le

maximum d>-, ainsi déterminé par Téquation 3^=» r'=0, qui

le place sous un angle de 120» autour de l'origine , au pomt

^= V 2 î y= V |- Si Ton cherche les pointsles plus rapprochés de l'origine, où concourent les trois asymptotes , a est aisé de constater, d'après le principe des normales, et en écartantla solution ^=0 correspondante au sommet A , qu'ils se trouvent sur les rayons dont le coefficient angulaire est \/5, un peu au-dessus des minima B et F de l'ordonnée. Ainsi , la figure 61 caractérise exactement la forme générale de la courbe.

Dmx%èm% exemple. Considérons , en second lieu , la courbe y — xy=rj:% oixy=±:-—~^, Évidemment comprise entre

les asymptotes j:=1, et x=-v, efle est inimitée dans le sens vertical, d'aiflems continue, et symétrique autour des deux

axes. Au centre, cette formule indique, d'après le rapport^ ,

l'existence d'un nœud , où la courbe touche les deux bissectrices ; en sorte qu'il serait encore superflu ici d'examiner la marche des tangentes pour constater la justesse de la figure 62. Quant à la courbure, d'abord croissante, puis décroissante, de chaque quart de tourbe, elle doit être , en général , peu prononcée , d'après la faible variation totale qu'y éprouve la direction des taqgentes.

84. La dernière catégorie des courbes trinômes, celle dont la discussion complète exigerait la plus grande diversité de cas, comprend les équations les plus compliquées, ou les variables sont mêlées dans deux termes , le troisième étant dès lors constant. Je m'y bornerai , comme envers la précédente,

TROISIÈME PAKTIB, GUAPITEE TROISIÈME. 265

à deux exemples choisis, Faii de degré impair, l'antre de degré pair.

Premier exemple. Soit Féqaation j:y-|-.r-^*=i» où la symétrie des deux variables indique déjà nne conrbe symétrique autour de la première bissectrice. La discussion de l'ordonnée

=-y-Vy+ï.

offre ici une nouvelle circonstance préliminaire qu'il importe de remarquer, en ce que la partie rationnelle — ^«a:, qui précède le double radical, appartient à une droite qui, à raison d'une telle relation algébrique , doit couper en leur milieu toutes les cordes verticales du lieu ; puisque^ pour obtenir les deux points correspondants à chaque abscisse , il faudra égal^ ment porter, de part et d'autre de cette droite , la valeur du radical commun* Ainsi , outre sa symétrie suivant BOB' qui la

Vï

eoape en G où a:= y ^, la courbe aura pour diamètre la

droite 0 A , qu'elle rencontre en A où j: =•> — \/4 , et dont la considération permettra de réduire la discussion essentielle de rordonnéeà celle du seul radical. Or, ce radical , infini d'abord, de manière à indiquer l'asymptotisme de l'axe vertical , ne tarde pas à devenir croissant , et dès lors sans limites^ puisque

l'augmentation du terme -• x* doit bientôt y surpasser le décrois-

sèment du terme — , qui influe de moins en moins sur la valeur

totale. En négligeant ce dernier terme , suivant l'esprit de la méthode subsidiaû*e des asymptotes, on trouve, autour de

1 1 Torigine, deux nouvelles asymptotes j^=— -xdz -x, dont Tune

266 GÉOBIÉTEIE PL/LNE.

coïncide avec l'axe des abscisses , et l'autre avec la seconde bissectrice. A gaache, le radical devieût y/ -x^ ^ et la courbe

se trouve interrompue entre l'asymptote OY et la verticale en A, au delà de laquelle elle s'étend indéflniment et sans discontinuité : mais les deux valeurii de l'ordonnée sont alors également positives , en sorte que le lieu ne pénètre pas dans la troisième région du plan , et se trouve d'ailleurs au-dessonsde l'asymptote oblique, dont ^ordonnée y surpasse la sienne, qui, à droite , l'emportait. Quoique cet exemple soit l'un des plâS diJDSciles que puisse offrir la discussion géométrique des équations peu compliquées , le lecteur judicieux ne tardera pas i sentir que la figure 63 indique la seule forme générale propre à satisfaire à l'ensemble de ces renseignements divers. L'examen de la tangente» suivant l«i formule tang wa:^^^ \ \ ' \

n'est indispensable ici qu'envers quelques points remarquables. En G , sur l'axe du lieu , on a tang a :^— 1, ce qui confirme que ce point est un sommet; en A, sur l'autre diamètre rectîligne, la tangente est verticale. Pour trouver le minimum de^ dans la partie droite et inférieure , il faut poser ^-4-2«r=0) d'oà résulte aussitôt la direction du rayon correspondant ^ et ensuite

, en sorte que ce point 1) est sur la même verticale

que le sommet G de l'autre branche. Quant au point le plus rapproché de l'origine, le princij^e des normales fournit aisément l'équation

relativement au coei&dent angulaire de son rayon. Qtiotqae dti troisième degré , cette équation est facile à résoudre , en utilisant la connaissance antérieure de l'une des trois normales ch^chées , la bissectrice OG, qui y indique la racine m^if

TBOISIÈUE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈIHE. 267

dont la yérification algébrique est d'ailleurs éyidente , en écrivant {m^—i) +2w(/»— 1)=0. Après l'avoir ôtée, il reste réquation m'+3w+l=0, qui détermine sans diflBculté les deux autres directions , OE et OF.

Deuxième exemple. Considérons enfin , coniine dernière coarbe trinôme , celle qui résulte de Téquation jcy*'--xy=^l^

oiiy=± Adroite, le lieu commence à l'asymptote

l/^c-Cor— 1) x=zi , au delà de laquelle il s'étend indéfiniment , en se rappro chant toujours de l'axe des abscisses , qui lui constitue une seconde asymptote, auâsi bien qu'un axe. Vers la gauche , il n'y a aucune interruption , et! les deux axes sont asymptotes. L'ensemble de la courbe est donc nécessairement conforme à la fi^re 64 , puisque lé degré empédie d'ailleurs toute sinuosité entre les asymptotes*

Une telle discussion conduit naturellement à sbnpçonnelr

l'entière identité des quatre parties de la cotu'be. Pour s'en as*-

sorer^ il suiBt évidemment d'examiner si le point G, situé au

milieu de rintervalle où l'axe coupe les deux autres asymptotes^

est réellement le centre du lieu ; ce qui se réduit à y trattS-*

porter Torigine , afin de" voir s'il en résulte la disparition

spontanée du terme de degré impair ; ce qui arrive effectivement. L'éqœtioa devient ainsi

de manière à rentrer dans la catégorie précédente. Cette nou- Telle équation serait donc préférable pour l'étude ultérieure de la courbe. En l'appliquant à la rediertfae du point le plus rapproché du centre , le principe des normales y donne la cou-