CHAPITRE I,V

Goarbes polynômes

85. Dans l'état d'enfance où se trouve aujourd'hui la géométrie comparée , le principe proyisoire qui nous a précédemment servi à classer les courbes algébriques , et qui ne pouvait être pleinement satisfaisant qu'envers les seules équations binômes , cesse d'offrir aucune véritable importance géométrique, quand les équations contiennent plus de trois termes. Aussi , pour ces équations plus compliquées , faut-il nous borner ici à quelques exemples choisis indépendanmient de tout classement, et uniquement destinés à faire sentir comment le mode de discussion géométrique caractérisé par les chapitres précédents peut s'étendre à toutes les autres équations algébriques.

Premier exemple. Gonsidéronsd'abordla courbe^ =x*r r^^

D'après la formule ^=±j:\/ j-i — , le lieu, symétrique

autour de l'axe des abscisses, est limité à droite par l'asymptote x=zi, et ne dépasse pas à gauche son intersection avec

TBOISIËME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 26d

Taxe, à la distance 1 de rorigpine. Il se compose donc de deux parties qni se réunissent à Torîgine , l'une à gauche , fermée de toute» parts , l'autre à droite illimitée , verticalement. Le coefficient angulaire de la tangente y est finalement

tangoes: ; il dévient infini pour x = ±:i , et

prend, à l'origine , la double valeur ±: 1 , d'ailleurs indiquée

d'ayance par le rapport— : ainsi, des deux points A et O (Jig. 65),

où la courbe rencontre son axe , le premier est un sommet, le second un norad , où elle touche les deux bissectrices , audessus desquelles s'élève ensuite de plus en plus son cours indéfini. Quant au point culminant de la partie gauche , il

correspond à l'équation 1-f j:=x% qui donne x= — ^^(V/5— 1)>

après avoir écarté la racine positive, comme excédant les limites horizontales du lieu. On ne peut donc plus conserver aucun *doute sur la forme générale de la courbe. Sa courbure , très-prononcée dans la portion BAB', l'est beaucoup moins dans le reste de la partie fermée, et diminue encore davantage dans la partie indéfinie. Gomme le centre devrait être sur la courbe, en vertu du degré impair, et en même temps sur l'axe des abscisses , à cause de la symétrie , il est clair que cette courbe n'en comporte pas , puisqu'il devrait être placé en O ou en A, contrairement à l'ensemble de la discussion.

Deuxième exemple. Soit maintenant l'équation ^•= — — r-,

% / ^ (2 jc)

d'où y=i± \/ ^^ 7-7- ; cette décomposition en fac-

^ {x — 1) (jf-j-*)

tenrs est ici destinée à mieux caractériser la marche générale de l'ordonnée. A droite , chaque terme delà fraction renferme on facteur positif, en sorte que ^ ne sera réel qu'autant que

on

les autres facteurs 2 — x et j: — 1 auront le même signe, ce qui restreint x entre i et 2 , puisque ces facteurs ne sauraient d'ailleurs devenir simultanément négatifs. Cette partie de la courbe ne commence donc qu'à l'asymptote CC {f.g. 66) , et se termine à son intersection B avec son axe. Vers la gauche ,

aurait ^= \/ Tr-; — -7: -, et, par eonséquent, la

courbe ne s'étendrait qne de l'origine jusqu'à l'asymptote x = — 1. D'après le coefficient angulaire de la tangente,

tang a = . — , il est aisé de constater

2(1— j;') V(2x—x') {x'-^i) que les points B et O sont des sommets : ainsi , depuis chacun d'eux jusqu'à l'asymptote correspondante, chaque partie de la courbe doit ofirir une inflexion , dont le calcul serait ici tréslaborieux. La courbe ne saurait d'ailleurs avoir de centre, puisqu'il ne pourrait être qu'en A, milieu entre ces deux sommets, ce qui est évidemment contraire à la discussion. Toutefois les deux parties , droite et gauche , du lieu semblent jusqu'à présent fort analogues. Pour en mieux saisir la vraie relation, il faut y comparer deux ordonnées placées, sur chaque portion, à la même distance du sommet correspondant, en faisant successivement j;=2 — t^ x= — t; d'où il résulte d'à-

2-J-f traction Faite des facteurs communs , la seconde fraction r~p

surpasse évidemment la première, comme ayant à la fois, poor

/<1, un plus grand numérateur et un moindre dénominateur:

donc la partie gauche s'élève davantage que la partie droite.

Troisième exemple. Considérons encore la courbe jr = xdz

\/5x*—6x—x^. Le terme rationnel, placé devant le radical carré, y indique, comme au n"* précédent, pour les cordes ver-

TROISIÈME PAETIE, CHAPITRE QUATRIËIIIE. 271

ticales, un diamètre rectiligoe, coïncidant ici avec la première bissectrice , qui coupe le lieu aux trois points jt = 0 , jt = 2 , x=3. Eu décomposant la fonction irrationnelle, afin d'en

mienx juger la marche , on a^=j:±V/jc(j:— 2)(3 — x). Dès lors 9 la courbe ne peut s'étendre à droite que de la seconde à la troisième intersection avec son diamètre, de A en B (fig» 67). Mais à gaucbe, les deux premiers facteurs étant toujours négatifs , et le dernier toujours positif, la valeur du radical sera constamment réelle et croîtra sans limites. Ainsi la courbe se compose de deux parties, l'une à droite fei:mée, l'autre à gaache indéfinie, séparées par un interyalle vide, de O à A. Le maximum d'écartement de la première envers son diamètre se déterminera aisément en annulant la dérivée de 5x* — 6x — x^j

ce qui donnera x=!^ • .■' , l'autre racine se rapportant à

nne ordonnée imaginaire : en construisant la valeur corres* pondante du radical, on renfermera cette portion du lieu entre

deux parallèles au diamètre. Quant à la tangente, on trouve

IOjc— 6 — ^x" finalement, d'après nos règles, tang «= 1 -| ;

l/Sx^—6x—x^ œqui confirme la position de ces deux tangentes, et la verticalité de celles en O, A et B* Cette fonction devenant infinie pour a: = 00 , comme le montre la division des deux termes par X*, on reconnaît ainsi tout à la fois l'absence d'asymptote et l'existence d'une double inflexion à gauche, dont la position précise exigerait un trop long calcul , aussi bien que celle du maximum ou minimum de l'ordonnée à droite. Pour que cm sinuosités soient conciliables avecltidegré, qui interdit ici plus de trois points en ligne droite , il suffit que la tangente s'y trouve dirigée de manière à ne pas couper la partie fermée du lieu.

Quatrième exemple. Sdt, en dernier liea, Téquatioii

ina GÉOMÉTEIB PUkNE.

j'*— 2^y— ir^4-l=0, dont la forme indiqae aussitôt nue courbe symétrique autour des deux axes , avec l'origine pour

centre. D'après la formule ^=d= Kj:'dzV/âr»— 1, il faudra d'abord s'assurer de la réalité du radical partiel , ce qui exige