CHAPITRE PREMIER

Théorie des foyers et des directrices.

93. Avant de procéder directement à l'étude spéciale de chacune des trois courbes du second degré , il faut établir, sous nu aspect commun , la seule théorie nouvelle que nous n'ayons pas encore traitée, et qui , étant réellement particulière à ces lignes, ne devait point, en effet, figurer parmi les théories vraiment générales auxquelles était consacrée la seconde partie de cet ouvrage. Quand ce préambule immédiat sera convenablement construit, l'appréciation successive des principales propriétés de la parabole, de l'ellipse, et de l'hyperbole n'exigera plus qu'une simple application judicieuse d'un ensemble de méthodes pleinement élaboré.

On ignore essentiellement quelle fat , dans l'étode originale des sections coniques , la yéritable source des notions relatives aux foyers, qui durent constituer historiquement l'une des plus anciennes découvertes sur ce sujet et la base de la plupart des autres. La refonte analytique de cette étude a fait sentir aux géomètres modernes le besoin d'un point de vue commun propre à lier entre elles les idées , jusqu'alors trop diverses , que présentaient, à cet égard , la parabole d'une part, l'ellipse et l'hyperbole de l'autre. Telle est la principale destination de la définition , d'abord purement algébrique , qu'on applique maintenant au foyer d'une ligne du second degré , en appelant ainsi un point dont la distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle des coordonnées variables de celuici 0. Mais , quoique cet artifice puisse immédiatement suffire pour procéder uniformément à la détermination des foyers dans les trois courbes , il ne saurait remplir assez les condiliiMis essentielles d'une véritable définition , si , suivant un usage trop ordinaire, on ne s'attachait pas à faire convenablement ressortir l'interprétation géométrique de ce caractère analytique. Comme cette corelation générale constitue le nœud principal de toute la théorie des foyers , il importe ici de l'établir soigneusement.

Quand la formule l/(^— 6)*+(a:— a)" , exprimant la dislance du foyer cherché à on point quelconque du lieu , sera devenue une fonction rationnelle des coordonnées varkblea , eette fonction ne pourra être que du premier degré, mveri

(*) Cette xléfinition est souvent altérée par une restriction vicieuse, consls*

. tant à imposer cette obligation de rationalité envers l'une des coordonnées

seulement; ce qui ne convient, comme on le verra ci-dessous, qu'à certaines

é(iuati<Ris du second degré : la distance ne peut être généralement rationnelle

qu'en fonction des deux coordonnées à la fois«