QUATRIÈME PAETIE, CHAPITRE PREMIER

une courbe du second , sous la forine/?a:-{- 2^ + '*• Or, une telle expression peut toujours être envisagée géométriquement comme représentant un multiple déterminé de la dislance du point variable à une certaine droite Gxe ^=hx'\'k. Car, cette distance serait exprimée , d'après la règle du n*" 29^ par la

fonction — — j qui, multipliée par une constantes,

deviendr^t ex;aetenieiit identique à la précédoite , en prenant

en sorte que l'équation de la droite ainsi introduite , étant dès lors px-\-qy'\'r=-{^, se formerait en annulant Texpression rationnelle de la distance au foyer. D'après l'indispensable introduction d'une telle droite , ordinairement nommée directrice^ la définition primitive du foyer devient vraiment géométrique, et consiste à concevoir toute courbe du second degré coname le lieu d'un point dont les distances variables à un point fixe et à une droite fixe demeurent constamment proportionnelles. Rédproquanent , cette notion géométrique reproduit aussitôt le caractère analytique primcHrdial , puisque cette proportionnalité indique évidemment que la première de ces deux distances est aussi rationnellement exprimable que la seconde.

Une telle explication fondamentale réduit la détermination générale des foyers et des directrices dans les courbes du second degré à mettre l'équation du lieu sous la forme

qui résulte immédiatement de cette définition , désormais à la fois analytique et géométrique. Or, cette transformation n'offre aucune difficulté en la concevant en sens inverse , c'està-dire , en ramenant ce nouvel état de l'équation au mode ordinaire

moyennant les cinq conditions de coïncidence

?!=i=a —M^—b jtZ-^^-^r ^i^ + qr) 2(«4-/>r)

qui détermineront suffisamment les cinq constantes inconnues «> ^5 /^î Çj ^y relatives au foyer et à la directrice , ainsi qu'an

rapport yf^+q\ qui spécifie la courbe proposée. La distinction primordiale entre les trois courbes du second degré offre des symptômes équivalents dans les deux formes de Léquation ; car, le coefficient composé &* — 4â;c équivaut ici à 4(/?^-f-y'— 1); en sorte que le lieu sera parabolique , elliptique , ou hyperbolique , selon que le rapport spécifique V/p' -f-y* sera égal , inférieur, ou supérieur à Tunité , conformément à la discussion directe et spéciale du n^ 23.

94. Outre ce mode naturel delà double théorie des foyers et des directrices, il importe d'en concevoir un second, qui, quoique moins propre ordinairement à Fusage effectif, offrira ici le grand avantage logique de familiariser déjà le lecteur avec Fun des plus puissants artifices généraux de l'analyse mathématique, communément réservé jusqu'à présent aux plus hautes spéculations géométriques et surtout mécaniques, sous le nom de méthode des multiplicateurs, essentiellement due à Lagrange.

En considérant analyiiquement la question proposée comme consistant à rendre un carré parfait la fonction

d'après la relation que l'équation primitive

ay^ bxy + cx'-^'dy+ex —1=0

établit entre les deux variables , la principale difficulté provient de ce qu'on ne jaurait avoir ordinairement égard à cette liaison

QUATRIÈME PARtlB, GHAPITRB PREMIER. «SOS

parla simple sabstitution deyeaximx eny \ puisque la condition proposée ne peut être remplie, en général, qu'autant que la formule de distance continue à renfermer simultanément les deux yariables , ainsi que j'aurai lieu d'ailleurs de l'expliquer spécialement ci^près. Cependant , une telle substitution sanble d'abord le seul moyen de prendre en suffisante considération la subordination fondamentale de ces yariables. Dans cette perplexité , il devient indispensable de généraliser, à cet égard , les conceptions habituelles, en s'élevant à la notion du mode analytique le plus étendu que puisse comporter l'appréciation d'une semblable dépendance. Il consiste ici à ajouter à la fonction (x — a)'+(^ — 6)% qui doit devenir un carré parfait , en prenant convenablemçnt a et 6, un multiple indéterminé de celle qui doit être nulle en yertu de la liaison des deux yariables, et à traiter ensuite celles-ci comme si elles étaient pleinement indépendantes , de manière à convertir la question proposée en ce simple problème d'algèbre : rendre un carré parfait le polynôme à deux indéterminées

d'après certaines valeurs des constantes «, 6 et k. Cette redierche algébrique pourrait s'opérer de plusieurs manières , comme dans le cas analogue très-connu envers un polynôme en X seul. Mais, au lieu de procéder par l'extraction de la racine, il est préférable d'employer, surtout ici, la méthode des indéterminées de Descartes , en assimilant le polynôme proposé à un carré artificiel (px+qy-^ry.Or^tàYon développe les six conditions ordinaires d'une telle coïncidence , on sentira aisément que, en y éliminant d'abord le multiple auxiliaire A, géométriquement superflu, on retombe nécessairement Sttr les cinq relations directement établies au n^" précédent pour h détermination des consta^tes a , 6, et /?, y, r. Ainsi , ce se-

Gond mode équlvant ânaleitietit an premier , sàHf tm nonretiti drcalt ànalyticiae) étranger à h recherche géomëtHqtie.

Qaoiqae , par ce motif, cette marche ne doire pas être id employée habituellement, j'attache beaaoonp de prix à rocca^ alpn qu'elle m'offre de caractériser, en un cas élémentaire suffi- Samment important , le grand artifice d'analyse qui lui sert de base. Cet artifice , qui n'a Jamais été conçu directement jnsqn'id dans son entière généralité , consiste à ramener , en tout problème analytique , le cas de la dépendance des variables à celai de leur indépendance, en ajoutant, à la fonction qui constittie te sujet de la condition proposée» un multiple indéterminé de celle qui doit s'annuler d'après la liaison dès tariâbles considérées. D'abord introduite par Euler dans la plus haute théorie des maximaei minima, cette conception générale est ensuite derenaé, pour Lagrange, l'un des plas précieux moyens de la mécanique analytique. Son légitime usage reposera partout, comme ci-des^ sus, sur ce qu'une telle adjonction, qni alors n'altère pas l'état de la fonction proposée, confond en un seul mode toutes les manières possibles d'avoir égard à la relation donnée , et permet^ en conséquence , de traiter désormais les variables comme indépendantes.

95. Après avoir établi^ sons l'une ou Fautre forme générale, la théorie fondamentale des foyers et des directrices, il faat la concevoir, en sens inverse , comme propre à formuler toute condition géométrique relative soit au foyer, soit à la directrice , soit à leur relation mutuelle : ce qui lèvera d'avance, envers les courbes du second degré , les difficultés essentielles que peuvent offrir les problèmes quelconques où l'on introdait de telles conditions.

Si la courbe doit avoir un foyer donné , on supposera coiinues les constantes a et 6 dans les cinq équations déterminantes du n* 93» où l'élimination de/?, y, r conduira dès lors an* denx

OUATRIÈMB PARTIE, CHAPltRE PRRBUER. 307

relations cherchées entre les coefficients a^ &, c, d, e, communes à tontes les courbes de même foyer, et propres à déterminer diacnne déciles conjointement avec d'autres prescriptions quelconques. Mais, au lieu de formuler distinctement ces conditions , on n'aura souvent besoin que du type analytique qui leur correspond pour l'équation du lieu, ainsi réduite à ne contenir qae trois constantes arbitraires. Or, ce type pourrait être directement formé , sans ce long calcul , d'après l'équation fondamentale

rdatire à la propriété focale des courbes du second degré , et où il suffirait alors d'attribuer les valeurs convenables aux coordonnées a et 6 du foyer , en concevant indéterminées les antres constantes p^q^r^ propres à la directrice et au rapport spécifique.

Quand la courbe aura une directrice donnée y^hx-^-k^

on joindra, aux cinq formules dun« 93, les conditions — - = A,

— =r A:, et l'élimination des cinq constantes a , 6 , j? , ç , r,

fera découvrir les deux relations correspondantes entre les coefficients de Téquation proposée. Si on veut directement constituer celle-ci d'après cette obligation géométrique, elle sera naturellement

en supposant indéterminées les trois constantes a, 6^ m, relatives au foyer et au rapport spécifique.

Lorsque, au lieu d'être entièrement donnée le foyer devra seulement appartenir à une ligne connue f(x , ^) = 0 , il suffira de joindre aux cinq égalités fondamentales la condition correspondante /(a, 6) = 0 , pour que l'élimination des cinq con-

SOB GÉOMÉnUB PLANB.

stantes «> €, p 9 ? 9 r, permette d'obtenir la relalion convenable entre a, b ^ c^ d^ e. Dans le second nnode de solution, on emploierait la liaison proposée entre « et € à rapporter l'nne de ces constantes à Fantre; ce qoi permettrait de restreindre suffisamment l'équation focale , de manière à n'embrasser que les courbes susceptibles d'un tel accident.

Pareillement, si la directrice ^j:+î.^+''=^i sans être totalement donnée, devait toucher une certaine courbe, ou remplir (die autre condition équivalente , aboutissant à une relation spéciale entre/;, ^, r, cette nouvelle égalité rendrait possible l'élimination des cinq constantes ordinaires, de manière à manifester la liaison correspondante des coefficients primitifs. Sous la seconde forme , une telle égalité permettrait de rapporter l'une des constantes />, q , r, aux deux autres, de manière à restreindre convenablement l'équation fondamentale.

On procéderait de même envers des conditions qui , au lieu de se rapporter isolément au foyer ou à la directrice , concer* neraient leur disposition mutuelle^ Quelle que fut la prescription géométrique, aussitôt qu'elle serait directement formulée entre les constantes relatives au foyer et à la directrice, elle pourrait être ainsi convertie, soit en une liaison équivalente des coefficients primitifs, soit en une restriction correspondante du type focal. Il est superflu d'avertir que , si les axes sont disponibles, leur choix judicieux pourra faciliter beaucoup l'accomplissement de ces diverses opérations analytiques.

Au sujet de ces questions composées, qui comportent une grande variété, je crois devoir seulement m'airéter ici à une mention spéciale envers celles qui concernent les conditions de similitude ou d'égalité des courbes du second degré. Suivant nos principes généraux, la définition focale indique évidemment que deux courbes de ce genre ne seront semblables qu'autant que le rapport constant V/p'-f"?' y ^^^^ ^^ même valeur;

QUATEIÉME PARTIE, CBAPITRB PREMIER. â09

et c'est pourquoi je le qualifie habitaellement de spécifique. Uégalité des deux courbes exigera, en outre, la coïncidence des distances respectives du foyer à la directrice, représentées par

hfarmole^ ' ^ ' . D'après cela, si on voulait formuler la similitude des deux courbes

ay^ + èx^+cx* -^dy -f- ea:=l.

ay • + Vxy + dx" + dy + éx = 1 ,

il faudrait identifier les deux expressions correspondantes de ?'+?*' préalablement déduites des cinq relations du n"" 93 , et on devrait ainsi reproduire la condition que nous avons' déjà obteDue, au dernier chapitre de la troisième partie , par une voie beaucoup plus simple. Quant à Tégalité des deux courbes, 3 faudrait d'aflleurs exprimer aussi l'identité des deux valeurs

correspondantes de la formule ^^ — -^ — —i et on retrouverait,

mais plus péniblement, les deux relations que fournirait directement la méthode générale pour la superposition analytique des courbes quelconques , d'après la coïncidence de leurs équations par une transposition d'axes convenable. En l'un ou Fantrecas, cette méthode spéciale conviendrait mieux sous sa seconde forme , par une juste restriction immédiate de Téqua-

tion focale. Car , en posant Vp^-Y j" = » , et -=s/?i ,

on formerait aussitôt Téquation

relative aux courbes semblables; ou, envers les courbes égales, réqoation plus particulière

^. Pour compléter suffisamment la théorie des foyers et des

810 GâOUBTaiE PtAUB.

directrices , il reste à y apprécier une méthode subsidiaire^ qui résulte spontanément d'one jadiciense modiGcatioo de la méttiode fondamentale envers certaines éqqations da second degré , d'autant plus importantes à considérer ici séparément qu'elles comprennent les cas usuels auxquels nous devrons spécialement appliquer une telle tliéorie dans les chapitre^ suivants.

En considérant l'équation focale

on voit que le terme en xy s'y trouvera oomulunémeiit tant qne petq ne seront pas nuls , c'est-à^lire , géométriquement , quand la directrice ne sera parallèle à aucnn des axes coordonnés. C'est pourquoi la distance au foyer ne peut être généralement rationnelle qu'envers les deux variables à la fois , comme je l'ai ci*dessus annoncé afin de prévenir une vicieuse routine. Mais , pour toute équation du second degré où les variables sont séparées, on voit ainsi que la directrice est toujours perpendiculaire à l'un des axes géométriques de la courbe , conformément à la discussion directe du n» 23 , et la distance de* vient rationnelle en fonction d'une seule coordonnée. D'après cela , on pourra procéder alors plus simplement à la détermi* nation du foyer, et ensuite de la directrice , en ayant égard à l'équation de la oonrj^e par la sutystit^tion naturelle de j^ en ^ ou a: en j^ dans la formule

qu'il s'agira Qnalemept de rendre un carré parfait, quand on l'aura convenablement développée par rapport à Tunique variable conseryée. Or, cette question algébrique ne saurait oflrir aucune difficulté essentielle, ni exiger aucun calcul pénible. La fonction ainsi (oitmée $en d'tfbord jrratioradle (^dînair^P^t :

QUATRIÈME PÀETIX, CIU9ITEB DEUXIÈME. 31i

il ffqdra (kmc y détroire préalablemeat on tel obstacle analy-* (iqil0, oe qui teadra à détermiaer l'une .de$ deux coostantel 8, g i V^utipe m datca*wipera eosoite d'^rè» la coii4itiQn é)é« utilitaire pour les carrés trinômes.

Cette méthode subsidiaire , dont nous ferons naturellement m gnfld usage * n'a d'antre inconvéoiont propre que rinoarli^^ Me prîii)itiT0 sur le mi sans de la directrice , que l'on sait Mslaiiiant devoir fitye alors paraître à l'un des deux axes eoor« dannss* Il en résulta algébriqueme&t l'iAlifation d'exécuter allaroativemeut les imx substitution! de >- en ^ et de ^ en jr^ qi|j durant d'abord semblar iodifféreut», et dont une leuli jofUPtant oooTieot à la solution actuelle, laquelle pourrait dono ééapper à l'adoptioii arbitrair» d'une substitution unique. Mais, malgré eette dwble opération alg^riqua , une telle né^ thode n'en coni^ituera pas moina baUtuèllement , envers lea «a qoî s'y rapportent , une utile simplificaatioa de la naardie géoérale.