QUATRIÈME PARTIE» GUAPITRR TROISIÈME

La considération de ce lien circulaire rendrait trës«facUe la détermination spéciale des rectangles maximum et minimum circonscriptiUés à Tellipse , et dès lors inscriptibles à un tel cercle. Car, sons ce dernier aspect , le maximum correspondrait évidemment au carré, si toutefois celui-ci peut être circonscrit à FcUipse : pour s'en assurer, il suffit de remarquer que, d'après une symétrie nécessaire, ses côtés doivent être inclinés de iS^ sur les axes ; or, en faisant m=±i dans l'équation de la tangente , son coefficient linéaire coïncide , en effet , avec le rayon du cercle précédent , ce qui décide la convenance de cette solution. Quant au minimum , il faut discerner, entre tous les rectangles circonscrits à l'ellipse et inscrits au cercle, celui dont les côtés diffèrent le plus, ce qui revient à combiner les tangentes les plus éloignées du centre avec les plus rapprochées ; d'où résulte aussitôt le rectangle construit sur les deux axes.

Pour résoudre ce double problème d'une manière vraiment analytique , susceptible d'imitation envers toute autre courbe ,

il faudrait, à l'équation ^=iwx-|-\/^'''i'+^" d'une tangente quelconque , joindre les trois autres

= /7iJ7— \/âW+y, y=: x-j- \/ —^-^

qui représentent celle qui lui est parallèle et les deux qui lui sont perpendiculaires. Dès lors , par un calcul facile , quoiqu'un peu long , on formul^ait , d'abord les intersections mutuelles des quatre côtés du rectangle correq[M>ndant , ensuite leurs longueurs , et enfin Faire de cette %ure , relativement i la seule ccmstante indéterminée m. Cette formule une fois obtenue, rappficalkm , sous telle forme qu'on jugera convenaUe , de la thémrie des ma^ima et ndnina y conduira aîafr-

$5S «tfOMÉniB HARB.

Bieiit à la solution demandée. La fonction se trontant être ici du quatrième degré , mais bicarrée , on y pourra même ap*pliqoer la méthode algébrique primordiale , en résolvant d'abord la question plus étendue qui consiste à circonscrire , à une dlipse donnée » un rectangle équivalent à un carré donné.

Quelques autres lieux intéressants peuvent être déduits de la oonsid^^tion des tangentes à l'ellipse , en y projetant , soit sur les tangentes , soit aussi sur les normales , les divers points singuliers , teb que le centre , les foyera , les sommets t etc. Je m'arrêterai seulement au cas de la projection du centre sur lea normales. On y formerait aisément l'équation dil lieu , d'après

l'équation ordinaire de la normale^— ^'= tt-i {pc—x) , com-

b^x' fcînée avec celle du rayon perpendiculaire y=z —. x, en

éliminant les variables auxiliaires x' et y par la relation à^y^ -}-6V=a'&\ Mais il convient mieux d'y employer une nouvelle forme générale de l'équation de la normale, analogue i celle qui vient de nous servir pour la tangente , c'est-à-dire relative à son seul coefficient angulaire. En procédant par assimilation , oomme je Tâi indiqué déjà envers la parabole ^ on trouvera aisément que l'équation

y =fc mx -\ — ■'

représente ynsi une normale quelconque à l'ellipse. Si Ton y

élimine m^ d'après l'équation j^ = a: du rayon perpendicu-

laire ^ on obtient aussitôt, pour le lieu cherobé , l'éqmtion du Sixième degré

{aY+b*x') {^'{^xy^c'xy,

dont la dlsonssion directe sel^it embarrassante, fnais qtii devient faeilement appréciaUa par l'bitrodMioa dea ooor^