QUATRIÈME PARTIE» CHABITHB TROISIÈME

lires le point de contact, soit d'après sa direction, soit eofia d'après un point extérieur. Quant au premier cas , il suffit , eomoie on Ta vu plus haut , de mener du point donné M une p^rpradiculaiire sur la ligne FN, précédemment définie. Oq peut aisément constater, à la manière des anciens^ que tous les autres pointa de cette droite seront extérieurs à l'ellipse, cq tant qu'équidistanta de F et N ; puisque la somme de leurs distances aux deux foyers , ainsi équivalente , pour chacun d'eu^ Vfk K'F*^KN, surpassera évidemment le grand axe, que cette construction représente par FN. Cette conséquence est tsUement spontanée que, dans Fellipse comme dans la parafe, ta découverte d'une pareille propriété des tangentes a dû être facile aux anciens, une fois qu'ils ont connu le théorème fondamental sur les foyers.

S'il faut mener une tangente parallèle à une droite donnée, le renversement de cette construction fera retrouver sans di£Gk;oIté k point N , d'où tout découle , comme situé sur une perpendieulaire menée à cette droite de l'un des foyers et sur le cercle 4écrit de l'autre avec le rayon 2a. De même, quand on donnera m point extérieur R', ce cercle servira pareillement i dét^ miner ce point N, par l'intersection d'un autre cercle décrit de K'avec le rayon K'F. En ces deux cas, la construction pourra s'achever, y compris même ta détermination des pointa de contact , sans aucune participation de la courbe.

La solution analytique de ces deux problèmes ne mérite pas

de nous arrêter. J'y indiquerai seulement, quant au dernier, nae transformation analogue à celle déjà remarquée envers la parabole , et tendant aussi à déterminer la corde qui joint les deux pointa de contact cherchés. Si, dans Téquation

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qui , combinée avec «y* + 6V* = a'é», doit alors foarnir les coordonnées inconnues x et y d'après les cordonnées connues a et S, on considérait les premières comme variables, le lien correspondant serait naturellement elliptique , et dès lorsraphiqucment inadmissible. Mais , en ayant égard à la seconde condition, la première peut s'abaisser au premier degré, et devient , sous la forme d^y -|- Vàiod = ^ »ft% Futile équation de la corde de contact , dont la construction conduirait aisément à la solution graphique du problème , si on y admettait la participation de Tellipse. La direction de cette corde et ses rea* contres avec les axes peuvent suggérer diverses propositions secondaires y analogues à celles déjà signalées envers la parabole , et que le lecteur développera aisément.

108. Parmi les nombreux problèmes relatifs aux tangentes de Tcllipse , il convient spécialement de remarquer ici celai qui concerne le lieu du sommet d'un angle invariaMedont les côtés toachent constamment la courbe, surtout quand cet angle est droit. L'équation ^= ma? +1/^'/?^'+ 6' est très-propre à cette recherche , en y considérant les deux valeurs de m qui correspondraient à des valeurs données de xtXy^ ce qui lui fait prendre la forme

Si , d'après ses racines , on formule l'inclinaison des deux tan-

gentes, suivant la loi ■^^^,, =tangV, on en déduira aisément l'équation du quatrième degré qui convient au lieu demandé. Dans le cas, seul uUle à spécifier, où les tangentes sont rectangulaires , le dernier terme de réquaUon précédente conduit aussitôt à y+^>=a»+ 6% qui indique un cercle, dont le rayon est d'ailleurs superflu à retenir, puisque les tangentes aux sommets l'annoncent spontanément.