Nous devons maintenant considérer les propriétés de

Tellipse relativement aux diamètres. En apidiquant ici Tune ou

Fautre de nos deux méthodes générales à ce sujet j on trouve

aisément Téquation ^= 5— x , envers un diamètre quel-

conque, correspondant à des cordes dont le eo^ci^it angu-*

laire est m. Cette équation montre aussitôt , conformément à

nos indications antérieures , que tous les diamètres d'une ellipse

sont des lignes droites qui convergent au centre. Mais sa

spéciale appréciation géométrique fait , en outre , déoouvrif

une propriété remarquable, résultée de la liaison mm'= ^^

ainsi établie entre les coe£Gicients angulaires simultanés d'un diamètre quelconque et de ses cordes. La symétrie analytique d'une telle relation indique géométriquement que les diamètres de rdlipse sont réciproques lea uns des aatres , ou , suivant Texpression usitée, d'ailleurs un peu vague , conjufftêéB 4 ear , al Ton mène du centre deux drcntes dont les coeiBcients angnlâires soient ainsi liés, chacune d'elles passera aux milieux des cordei panaiotes à l'autre Cette ùnistanteréctproeMè «onrtttaei qmA

360 GÉOUÉTEIE PLAKE*

mx diamètres , la principale différence entre Tellipse ou l'hyperbole et la parabole : elle est évidemment en harmonie nécessaire avec l'existence ou l'absence d'un centre.

Pins spécialement envisagée , cette liaison fondamentale des diamètres conjugués de l'ellipse reproduit de nouveau la relation d'abord observée quant aux cordes supplémentaires , et étendue ensuite à la subordination de chaque tangente à son rayon ; en sorte que, d'après ce rapprochement, ces trois couples de droites peuvent toujours devenir parallèles, et comportent les mêmes diversités d'inclinaison , déjà appréciées envers le premier. Il en résulte surtout une construction fort simple pour déterminer , à l'aide de l'ellipse, deux diamètres conjugués formant un angle donné, en cherchant des cordes supplémentaires qui leur soient parallèles, au moyen d'un cercle capable de cet angle et décrit sur un diamètre qudconque. Son intersection avec l'ellipse donnée, ailleurs qu'aux extrémités de cette base, marquera le point de départ des cordes cherchées, de manière à indiquer aisément ?les diamètres demandés. Cette rencontre ne sera possible qu'autant que l'inclinaison proposée tombera entre les limites convenables, qui, suivant la loi précédente, correspondent aux diamètres parallèles aux cordes des quatre sommets, et dès Iws dirigés selon les diagonales du rectangle des axes : l'angle donné ne pourra donc s'écarter de 90<» que jusqu'à l'angle aigu ou

obtus dont la moitié aurait - pour tangente ou pour cotangente.

Dans cetintervaUe, la construction indiquera toujours deux systèmes symétriquement placés, qui ne coïnciderait que lors des deux cas extrêmes, dont l'un se rapporte aux axes de I^Uipae, et l'autre à ce dernier couple de diamètres, ofrant le maximum d'<ri)liqttité.

.,^ correspcwdaBce géniale des diaiaètreg conjugués aux

QUATBIËME PARTIE , GUAPITBE TROISIÈME. 361

c<»^es supplémentaires , quoiqu'elle ne soit communément enyisagée que comme le simple résultat d'un rapprochement algébrique, n'ofire pourtant rien d'accidentel, et comporte directement une explication géométrique qu'il importe d'apprécier, parce qu'on y peut voir la vraie source spéciale de l'ensemble des notions relatives aux diamètres de l'ellipse, indépendanmient de toute théorie générale. Il suflGit de remarquer , d'après la définition des cordes supplémentaires , que la parallèle menée du centre à une corde quelconque passe nécessairement au milieu de sa conjuguée ; or, le théorème primitif des cordes supplémentaires nous apprend que , si des cordes sont parallèles , leurs supplémentaires doivent l'être aussi ; donc la droite menée du centre parallèlement à une corde arbitraire passe toujours aux milieux de toutes celles qui sont parallèles è sa supplémentaire; d'où résulte aussitôt la démonstration simultanée de la nature rectiligne des diamètres de l'ellipse, de leur convergence an centre, et de leur réciprocité nécessaire. Ainsi , le théorème des cordes supplémentaires, qui, sous un aspect, nous avait déjà fourni la base essentielle de la théorie spéciale des tangentes à l'ellipse, est également propre , d'un autre point de vue , à y fonder entièrement la théorie des diamètres. Ce double rapprochement , inaperçu jusqu'ici , tend à représenter une telle notion conmie étant peut-être la jAus fondamentale de toutes celles qui concernent particulièrement l'ellipse : son office réel, dans l'ensemble de l'étude de cette courbe , est au moins aussi important que celui de la propriété focale.

En rapportant l'équation de l'ellipse à un couple quelconque de diamètres conjugués, il est aisé de prévoir qu'elle conservera nécessairement la même forme qu'envers les axes primitifs, qui ne se distinguent , à cet égard , que par leur rectangularité caractéristique; car, l'équation ne pourra dès lors contenir la première puissance d'aucune des deux coordonnées, afin que

963 GÉOMÉTAIE PLANB.

chacune d'elles puisse admettre deux valetirs égales et contraires pour une même valeur de l'autre , conformément à letur commun attribut géométrique. On vérifie efiectivement cette prévision , par la snbstilution des formules ordinaires de trans* position ,

x=Qd oos X'+y C08 Y' , ^ = a:' sin X'+y sin Y',

pourvu qu'on y ait égard à la relation nécessaire

tangX'tangY=: -„

sans laquelle les deux diamètres ne seraient pas conjugués , et qui annulera spontanément le coeflSctent total du seul ternie contenant à la fois la première puissance de Tune et de l'autre variable. Quant aux coefficients des termes restants, ils peuvent toujours devenir analogues à ceux de Téquation primitive

en introduisant aussi les distances du centre aux Intersections de la courbe avec les nouveaux axes , sous les noms semblables de a! et V , de manière à former , envers un système quelconque de diamètres conjugués, Téquation finale a'y'-f-Â'Va£A"é". L'exécution du calcul de transposition déterminerait spontané^ ment les expressions de ces constantes linéaires d et V en fonction des constantes angulaires correspondantes,

■" a'sin'X'+ô'cos^X" ^'*'~" a^ sin» Y'+6' cos'Y'*

Mais ces formules , nécessairement similaires , peuvent d*aiK leurs être directement obtenues, comme devant coïncider, par leur nature, avec l'équation polaire de l'ellipse relative au centre.