QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME

D'après la relation fondamentale tang X' tang Y'= -,,

tandis que l'un des diamètres conjugués se raccourcit en s'éloignant du grand axe, l'autre s'allonge en s'écartant du petit axe ; en sorte qu'il existe une situation intermédiaire où leurs longueurs sont égales : elle correspond évidemment au cas où les deux angles X' et Y' sont supplémentaires ; les deux diamètres s'j trouvent symétriquement placés , et dès lors dirigés suivant les diagonales du rectangle des axes ; c'est-à-dire qu'ils coïncident avec ceux où nous avons déjà reconnu le maximum d'obliquité. Ce système remarquable, le plus important de tous après celui des axes proprement dits , présente donc, envers celui-ci, 00 parfait contraste, soit quant à l'inclinaison, soit quant aa rapport des longueurs. Sa position dans l'ellipse représente exactement celle des asymptotes dans l'hyperbole , comme on le confirmera spécialement au chapitre suivant , quoiqu'il n'existe d'ailleurs aucune analogie géométrique entre les deux couples de droites. Le seul rapprochement analytique auquel ils puissent donner lieu, consiste en ce que l'équation de la courbe peut, à leur égard, être réduite, de part et d'autre, à ne plus contenir qu'une seule constante arbitraire : mais la diversité nécessaire des deux équations respectives, dont l'une a la forme x*-fj^''=/', et l'autre xy=^m^^ empêche une telle conformité d'avoir aucun effet géométrique de quelque importance. Néanmoins, il con* vient de noter ici que l'ellipse est susceptible d'une équation analogue à celle du cercle, mais envers un système unique d'axes qui ne peuvent jamais y devenir rectangulaires, et dont le degré d'obliquité caractérise naturellement l'espèce d'ellipse dont il s'agit ; eelle-^i différera d'autant plus du cercle que cette inctinaison s'écartera davantage dé l'angle droit, en exacte conformité avec les notions antérieures sur la condition de similitude ) puiscpie la tangente de la moitié d'un tel angle re)[Mfè8€n(6

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le rapport des deux axes de l'ellipse. On pcat d'ailleurs calculer aisément, par les formules précédentes, en y faisant tang X'= ~,

la valeur de Tunique constante r que contiendrait alors l'équation de l'ellipse, et que l'analogie conduirait à nommer spécialement le ta'^wi de cette courbe : on trouve ainsi j^= - {<û + h*) ;

ce qui lie directement ce rayon à la corde du quart d'ellipse, suivant la même loi que dans le cercle.

Les longueurs variables des diamètres conjugués de l'ellipse, comparées, soit entre elles, soit à l'obliquité correspondante, donnent lieu à deux importants théorèmes spéciaux , qui méritant de conserver le nom de leur immortel auteur Apollonius, le plus grand géomètre de l'antiquité après Archimède. Quant au premier, le point de vue moderne y conduirait très-naturellement s'il était encore ignoré. Car, les longueurs d et h\ subordonnées y suivant les formules précédentes, aux angles X' et Y' , ne sauraient être indépendantes l'une de l'autre qu'autant que ces deux angles le seraient aussi : mais la liaison nécessaire de ceux-ci indique évidemment, entre d et h\ une relation constante , qu'on découvrira aisément en substituant,

dans la condition angulaire tang X' tang ¥'= les expres-

sîons de tang X' et tang Y en d et V. L'exécution normale de ce calcul, sans aucun vain artifice, conduit finalement à

Ainsi, le premier théorème d'Apollonius consiste en ce que, dans l'ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante. Sous forme graphique , cet énoncé revient à dure que , si , à l'extrémité de chaque demidiamètre , on élève une perpendiculaire égale à son conjugué, le point correspondant appartiendra toujours au cercle déjà re-

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connu pour être le lieu des intersections des tangentes rectangolaires.

Qaant an second théorème d'Apollonius, il faut, ce me semble, avouer ayec franchise que la marche moderne n'y conduirait point spontanément, s'il n'était pas préalablement découvert : en sorte que la démonstration analytique doit ic{ consister en une pure yérification , qu'il convient alors de simpliGer le plus possible , en vue de la relation à constater , qui est dV sinY'X' = â2r. Il suflSt, pour cela, de multiplier entre elles les expressions précédentes de d"^ et V , afin d'y transformer ensuite le dénominateur d'après la condition fonda-

mentale tang X' tang Y' = ; , mise d'abord sous la forme

a' sin X' sin Y'+fc* cos X' cos Y' = 0 , et ensuite élevée au carré. Le théorème ainsi vérifié consiste donc géométriquement dans la constance remarqua))Ie de l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques , quoique ses angles et ses côtés varient sans cesse. *

Ces deux relations spéciales al^ + V* = d-^V , a'^ sin V = ab^ peuvent être utilisées , en sens inverse , pour déterminer commodément la longueur des axes de l'ellipse d'après un système arbitrairQde diamètres conjugués , donnés à la fois de grandeur et d'inclinaison. Il serait d'abord facile d'en déduire directe-* ment a et ^, en résolvant une équation bicarrée. Mais il convient mieux, par un artifice aisément inspiré , d'y prendre spécialement pour inconnues a — h et a^h , dont les valeurs y résulteront de combinaisons très-simples , suivant les formules

(a--fe)-= a'^ 4-6'^-f 2a'6'sin V, («+ftr = «"+6"— 2a'6'sin V,

dont la construction est surtout commode , si on les compare à la relation connue qui détermine un côté de triangle d'après les deux autres et l'angle compris. On trouve ainsi a — b comme

constiloant le troisième côté d un triangle facile à tracer» qù les deux côtés a^ et 6' comprennent un angle complémentaire de l'inclinaison donnée Y ; a-^-b s'obtient ensaite en remplaçant cet angle par son supplément , afin de changer le signe du cosinus correspondant.

Une telle construction dissipe d^avance la seule grave difficulté graphique que pût offrir le problème essentiel par lequel nous terminerons l'étude de Fellipse aussi bien que celle de la parabole , en tant que très-propre à y rappeler le souvenir des principales propriétés , dont il exige uniquement la judicieuse application collective. Qu'il s'agisse donc, comme pour la parabole, de reconstruire tous les éléments géométriques d^une ellipse d'après un arc quelconque. Deux couples distincts de cordes parallèles y détermineront d'abord le centre par Tintersection des diamètres correspondants , presqu'aussi commodément que dans le cercle. On pourra ainsi avoir deux diamètres conjugués, dont l'un sera: naturellement connu de longueur comme de position d'après sa rencontre spontanée avec l'arc donné; quant à l'autre b\ un seul point de cet arc le déterminera facilement, suivant l'équation correspondante de la courbe

a'y*-{^b"a:'* = a''b'\ d'où résulte la formule b' = ^^

facile à construire. Cela posé, la construction d'Apolfonius conduira, comme ci-dessus, à trouver les longueurs des axes a et b. Dès lors , la considération du lieu des projections des foyers sur les tangentes permettra d'achever aisément la solution , d'après la détermination des foyers ; puisque le cercle circonscrit, qui contient toutes ces projections , peut être maintenant décrit, et qu'il est d'ailleurs facile de tracer les deux tangentes indispensables , en menant de l'extrémité de chaque diamètre une parallèle à son conjugué.

110, Il ne nous reste plus à considérer dans l'ellipse que les