Définitions. — Nous n avons donné jusqu*ici que
les notions générales de magnétisme et d'électromagnétisme nécessaires et suffisantes pour l'établissement du système des grandeurs et unités électromagnétiques C.G.S. Nous allons compléter les notions générales qui font Fobjetdes chapitres I et III en établissant les relations les plus importantes entre les champs magnétiques et galvaniques, les aimants et les courants d*après les idées les plus modernes et les résultats expérimentaux de ces dernières années.
Nous ne reviendrons pas sur les définitions déjà données dans le chapitre I, et auxquelles nous prions le lecteur de se reporter.
En assimilant les pôles magnétiques à de petites sphères chargées électroslaliquement, les champs magnétiques aux champs électriques et le potentiel magnétique en un point au potentiel c^lectrique en un point, on arrive facilement à établir une série de relations entre les différentes grandeurs magnétiques, relations semblables à celles obtenues en électrostatique, et qu'il nous suffit d'énoncer pour en faire comprendre le sens ctTulililé.
376. Potentiel magnétique (î). — Le potentiel magnétique £ produit par un pôle d'intensité m en un point donné
est le rapport de Tintensité du pdle m à la distance r de ce point au pôle (*)
En appelant W Ténergie dépensée pour amener un pôle (nord) d'intensité vn! depuis Tinfini jusqu'au point considéré, le potentiel magnétique en ce point est aussi le rapport du tra- A'ail dépensé pour amener le pôle m' au point considéré à Tintensité de ce pôle.
Lorsqu'on a plusieurs pôles magnétiques m, m\ m\ à des distances r, /•', /" du point considéré, le potentiel magnétique en ce point est alors :
Les dimensions du potentiel magnétique £ dans le système
électromagnétique sont L^M^T
La différence de potentiel entre deux points est le rapport du travail qu'il faut dépenser pour amener un pôle m d'un point à l'autre à l'intensité de ce pôle m'.
Si le champ magnétique est uniforme, la force exercée sur le pôle w! est égale à m'H, et si la projection de la distance de deux points sur la direction des lignes de force est /, la différence de potentiel magnétique a alors pour expression
ni
Le potentiel magnétique est donc le produit d'une intensité de champ par une longueur. Si le champ n'est pas uniforme, la différence de potenti^^l magnétique entre deux points est l'intégrale/H d/ des différences de potentiel élémentaires.
Tous les points au même potentiel forment une surface équipotentielle. Dans un champ magnétique uniforme, les sur-
\}) Certains auteurs parlent du potentiel du pôle en un point. Cette expression nous parait incorrecte et inexacte.
ta -•* ^ ^* . A 4 ^% •# ^
faces équipotenticllcs sont des plans parallèles, équidistauts el perpendiculaires à la direction des lignes de force.
377. Densité magnétique (cj. — En considérant un pôle d'intensild m d'un aimant uniforme de sections, la densité magnétique 7^, par analogie avec la densité électrostatique (101), est le rapport de l'intensité du pôle m à la section de Taimant s
ÎH
Mais on a (61)
„9Il ml m
d'où
La densité superficielle dun barreau uniformément aimanté est égale à son intensité d'aimantation.
378. Flux de force (4>^). — Si sur une surface équipoten- | tielle ou trace un contour fermé, Tensemble des lignes de force passant par chacun des points de ce contour délimite un volume ou tube de force,
La somme fllds des produits des intensités du champ magnétique en chaque point par la surface élémentaire qui Tentoure s'appelle le flux de force magnétique ou flux de force traversant ia surface S et contenu dans le tube de force. Les tubes de force et les surfaces équi potentielles sont orthogonaux.
Lorsque le champ magnétique est 'uniforme, les tubes de force sont des cylindres droits ayant pour directrice le contour fermé considéré, et comme génératrice une droite parallèle à la direction générale des lignes de force.
Pour un pôle d'intensité w, les tubes de force sont des cônes ayant le pôle pour sommet et les surfaces équipotentielles des sphères concentriques dont le pôle est. le centre commun. Le llux de force total est égal à 4^m (65).
Ces délinilions vont nous être utiles pour Tétude des propriétés des aimants. Nous examinerons seulement les cas accessibles au calcul, c'est-à-dire ceux pour lesquels la distribution magnétique est uniforme et le barreau aimanté peut se
décomposer en soléîioïdes magnétiques ou en feuillets magriftiques.
379. Solénolde magnétique. — Un aimant de section infiniment petite et constante dont l'intensité d'aimantation 3 est constante et tangente à la direction du filet magnétique est un solénoYde magnétique simple; Taimantation est dite solénoïdale.
Un aimant solénoïdal est celui qui peut être décomposé en solénoïdes simples.
Le produit de Tintensité d'aimantation 3 d'un solénoïde magnétique par sa section s'appelle la puissance magnétique du sclénoïde.
gj„ S. m/
Ot)= — r=— = 771.
La puissance magnétique d'un solénoïde magnétique n'est donc pas autre chose que son intensité de pôle 77t. Le potentiel magnétique en un point dû à un solénoïde a pour expression,en appelant r et 7*^ les distances de ses pôles au point considéré
Ce potentiel ne dépend que de la distance des pôles au point considéré et non pas de la forme du solénoïde. Si le solénoïde magnétique forme une courbe fermée,, le potentiel magnétique extérieur est nul.
Ceci explique pourquoi un aimant fermé sur lui-même ne peut pas attirer un autre aimant ou un morceau de fer doux, puisqu'il ne produit pas de champ magnétique extérieur.
880. Feuillet magnétique. — Un aimant très court, en forme de lame infmiment mince et dont Tintensilé d'aimantation est normale à la surface et inversement proportionnelle à Fépaisseur, constitue un feuillet magnétique simple.
Le produit de l'intensité d'aimantation du feuillet 3 par son épaisseur / s'appelle \dL puissance magnétique du feuillpt (*).
(*) La puissance magnétique d'un feuillet et la puissance magnétique d*un solénoïde ne sont pas des quantités physiques de mAme nature, car la première est homogène à un pMe magnétique et la seconde à un potentiel magné-
Gaiiss a démontré que le potentiel magnétique dû à qd feuillet magnétique en un point donné est le produit de sa puissance magnétique £^ par Tangle solide xs (*) sous lequel oa voit le contour du feuillet.
L'aimantation d'un feuillet magnétique est dite lamellaire par opposition à celle d'un solénoïde qui prend le nom de solénoïdale (379). Un aimant lamellaire est celui qui peut êto décomposé en feuillets magnétiques simples.
Le potentiel en un point dû à un feuillet magnétique simple est indopendant de sa forme; il ne dépend que de sa puissance et de son contour.
La considération des solénoïdes et des feuillets magnétiques a pour but de simplifier le calcul dans tous les cas où un aimant donné peut être décomposé en solénoïdes ou en feuillets magnétiques simples. Nous signalerons, à titre d'exemple, le cas du calcul du flux d'induction magnétique dans un aimant solénoïdal.
Flux dinductiou mafjiiétiqtie dans un aimant solénoïdal. — Si on décompose un aimant en solénoïdes élémentaires, l'induction magnétique dans chacun de ces solénoïdes a pour valeur (66)
et le flux élémentaire d*induction qui traverse un solénoïde élémentaire de section dS est
tique. Il est rogrottaltlc, pour rintolligeiice de^^ phénomèucs, qu'elles portfDtle mùuie nom. Nous éviterous toute confusion d'homogénéité et de notaUon fD les désignant respectivement par m et *£.
(ij A nij le solide. — Lorsqu'une droite fixée en un point décrit uu contour fenn^ elle découpe dans l'espace un angle solide. Si l'on conçoit une sphère ajant le point considéré comme centre et un rayon r, le cAnc limitant rangle solide découpera sur la sphère une certaine surface S. L'angle «olidc est défini ft niesur»' par le rapport
de 1.1 surfac*' déruupée sur la sphère au carré du rayon de cette sphère. C*e*t donc un simple facteur numérique.
d$=:(BdS=(4::3 + H)dS.
Si tous les solénoïdes sont fermés, H devient nul et il reste
d* = 4^3dS.
Pour un aimant fermé de section uniforme S et de longueur /, le flux d'induction est
*=4-/3dS=4<3/) /^
si l'on admet que, pour chaque filet solénoïdal, (3/) est une constante.
Anneau de révolution. — Si jc est le rayon d'un solénoïde élémentaire
lo-
Fig. 178.
Tore. — Si a est le rayon de la section du tore (fig. i 78) et A le rayon de la circonférence décrite par le centre de la section, on a
d'où
Puisque les aimants et les champs magnétiques exercent entre eux des attractions et des répulsions et peuvent, par suite, produire des quantités de travail essentiellement positives, c'est qu'ils possèdent, soit par eux-mêmes, soit par lo fait de leurs positions relatives, une certaine quantité d'énergie fournie par une cause extérieure pour les amener dans les positions ou l'état considérés, énergie potentielle qui tend toujours vers an minimum lorsque le déplacement se produit sous la seule influence des actions magnétiques.
•ii^Ai ;#iîi
L'énergie potentielle d'un aimant isolé est intrinsèque^ c'està-dire propre à Taimant lui-même, et résulte du fait de son aimantation. L'énergie potentielle d'un aimant placé dans un champ magnétique comprend en outre une autre énergie dite relative, qui ne dépend que de la position de Taimant dans le champ. Elle représente le travail dépensé pour amener TaimaDt dans la position considérée et, par suite, celui qui est restitué lorsque Taimant est éloigné à l'infini. L'énergie relative est positive ou négative, suivant que le travail dépensé dans la première opération et restitué dans la seconde est positif ou négatif.
Nous traiterons quelques cas particuliers dans l'hypothèse d'une aimantation uniforme, lamellaire ou solénoïdale, les autres cas ne se prêtant pas facilement au calcul.
382. Énergie potentielle d'un aimant dans un cbamp magnétique. — Si Ton appelle ?n l'intensité d'un pôle placé en un point où le potentiel magnétique produit par un système invariable est î, l'énergie potentielle du pôle dans le champ ou énergie de position a pour expression générale
et représente lo travail qu'il faudrait dépenser pour amener le pôle considéré depuis l'infini jusqu'à la position qu'il occupe. Dans un champ uniforme d'intensité II, un aimant de mom(»nt 9îl=:/w/a pour énergie potentielle totale
W=--H3îlcosa-^-H3Vcosa
en négligeant lo supplément d'aimantation due au champ H, a étant l'angle de l'axe magnétique de l'aimant avec la direction du champ et V son volume.
Lorsque la direction d'aimantation du barreau est la même que colle du champ, la valeur de l'énergie potentielle totale du barreau dans le champ a pour valeur
w- -iijïïi--iinv
L'équilibre est stable et le Ihix de force maximum. Si la direction de Taimant est opposée à celle du champ, l'énergie .potentielle est maxima et égale à 115 Y; Téquilibre est instable.
ÉNKRG1E POTENTIELLE ET INTRINSEQUE DES AIMANTS. 385
L'énergie potentielle est nulle lorsque les deux directions sont rectangulaires.
383. tiinergie relative dHin morceau de fer doux dans un champ magnétique. — Un barreau de fer doux étant attiré dans un champ magnétique et produisant du travail pendant ce déplacement, Ténergie relative est forcément négative.
Si Taimantation initiale était nulle au début et que le moment de Taimant produit par induction devienne 911, le travail produit par le champ pendant l'opération n'a été que la moitié de ce qu'il aurait été si les actions magnétiques s'étaient exercées sur un aimant. L'énergie potentielle est dans ce cas
EIn éloignant le barreau à l'infini, et en supposant qu'il ne conserve aucune aimantation permanente, on devra produire
mie quantité de travail précisément égale à - JC9TI pour resti-
tuer au champ l'énergie qu'il a dépensée lui-même pour attirer le barreau. Si le barreau est en acier et conserve une certaine limantation permanente, il faudra dépenser une plus grande quantité de travail. La différence entre ces deux travaux représente l'énergie intrinsèque d'aimantation.
384. Énergie Intrinsèque d'un aimant solénoldal. — Nous avons établi (38S) que le travail dépensé pour enlever un aimant 911 d'un champ JC et l'amener à Tinfini a pour valeur (essentiellement positive)
^dis que si le barreau n'avait et ne conservait aucune aimantation, nous ne devrions dépenser que
Si
La différence représente Ténergie potentielle intrinsèque d aimantation, énergie dépensée pour communiquer l'aimantation au barreau d'acier.
Hospitalier. — Énergie électrique. l. — 25
On peut établir cette valeur de Ténergie intrinsèque en fonction des constantes d'aimantation de plusieurs manières. La plus simple consiste à supposer que les deux pôles m étant infiniment voisins ont été séparés et portés à la distance /. Le travail dépensé pour effectuer ce déplacement a évidemment pour valeur
W=-mî (i)
£ représentant la différence de potentiel magnétique des deux pôles, ou le produit XI du champ dû à Taimant par la distance.
En remplaçant dans (i), on a
Lorsqu'un aimant attire une armature, Tinduction (R augmente, mais le moment 9TI diminue ainsi que Ténergie intrinsèque qui tend alors vers zéro.
L'énergie potentielle d'un aimant fermé sur lui-même est nulle, car on a alors 9Tl=:o et, par suite, W = o.
Si les pôles subissent un écart élémentaire d/ assez petit pour que Taimantation 3 n'ait pas varié, le travail élémentaire dW effectué pendant le déplacement sera égal à la diminution d'énergie intrinsèque
La force exercée sur l'armature pendant ce déplacement élémentaire a pour valeur
„ dW „.. (B»S
car l'aimant étant fermé sur lui-même, on a, à la limite :
Cette formule, démontrée par Clerk-Maœweil en partant
d'autres considérations, sera utilisée pour le calcul des électro-aimants (404).
n faut donc dépenser de l'énergie pour aimanter un morceau d'acier primitivement non magnétique. Dans le cas où on Taimante avec un autre aimant, l'énergie est dépensée par l'opérateur; si on emploie un courant, c'est le courant qui fournit cette énergie, conmie nous le montrerons en traitant de la self-induction.
Considérons le premier cas. Lorsque nous amenons un morceau d'acier non aimanté A à cheval sur les pôles d'un aimant B, ce déplacement mécanique se fait aux dépens de Ténergie intrinsèque de l'aimant B, et nous n'avons à fournir aucun travail. Lorsque nous éloignons le morceau d'acier A devenu un aimant permanent en vertu de sa force coercitive, nous devons dépenser un travail jo/î/s grand que celui produit par l'aimant dans le déplacement précédent. Une partie du travail ainsi dépensé restitue à l'aimant B son énergie intrinsèque initiale, l'autre partie représente l'énergie intrinsèque du morceau d'acier A devenu un aimant.
Exemple numérique. — Un barreau droit de 20 cm de longueur et de I cm' de section dont l'intensité d'aimantation est de DOC unités C.G.S., a une énergie intrinsèque de
W = 27:3W=:6,28.25o 000.20 — 3i 400000 ergs
\V==3,i4 joules.
385. Énergie relative d'un feuillet dans un champ magnétique. — Si on appelle 4> le flux de force traversant le feuillet par sa face négative, et par 2^ la puissance magnétique du feuillet (380), l'énergie potentielle a pour expression
Elle est minima et correspond à un état d'équilibre stable lorsque le feuillet et le champ magnétique produisent des flux de même sens. Elle est nulle lorsque le feuillet magnétique est parallèle à la direction des lignes de force; elle est maxima et correspond à un état d'équilibre instable lorsque le feuillet et le champ ont leurs lignes de force en sens inverses.
