R:+LV

Lia)»

Rî

Lorsque R^ est infini^ les équations se réduisent à celles déjà établies pour le cas d'un générateur périodique agissant sur un circuit ne présentant que de la self-induction (310).

Les puissances à Tinstant t sont :

a. Puissance totale fournie au transformateur e,^ Z,^.

b. Puissance dépensée dans le circuit primaire R, i^,^.

c. Puissance dans le circuit secondaire R^ iV^.

cl. La différence entre a et (i-Hc) représente la puissance nécessaire à chaque instant pour faire varier le flux d'induction. Cette puissance est positive lorsque ce flux augmente et négative lorsqu'il diminue, et restitue Ténergie emmagasinée pendant la période d'accroissement du flux.

Les puissances moyennes sont au nombre de quatre :

a. Puissance moyenne totale fournie au transformateur.

/>. — — dépensée dans le circuit primaire.

r. — — dépensée dans le circuit secondaire.

d. — — emmagasinée dans le flux, toujours nulle pour un nombre entier de périodes.

Toutes ces quantités ont des expressions complexes qui ne se

prêtent pas facilement à la discussion : la méthode graphique permet de se rendre assez facilement compte des variations le ces différents facteurs en fonction de la résistance extéérieure. Les courbes que nous reproduisons ci-dessous ont iié tracées par M. Ch, Jacqtiin (*), en prenant pour exemple lumérique un transformateur théoriquement parfait dont les !onsiantes de construction sont indiquées ci-après. Bien qu'il soit impossible de réaliser un transformateur sans fer dont les :!oefficients d'induction soient aussi élevés, les chiffres ont été choisis dans le but de se rapprocher des conditions ordinaires d'un transformateur employé en pratique, transformateur par- Fait dans lequel la perméabilité magnétique du noyau serait élevée et constante, et qui ne serait le siège d'aucun phénomène d'hystérésis ni de courants de Foucault.

Résistance du circuit primaire R,— i ohm.

Coefficient de self-induction du circuit

primaire L, - 4 quadrants.

Résistance intérieure du circuit secondaire r^ — o,oi ohm.

Coefficient de self-indiiction du circuit

secondaire L^ — o,o4 quadrant.

Coefficient d'induction mutuelle des deux

circuits L^j=:o,4 —

Coefficient de transformation lo

Force électromotrice efficace du circuit

primaire E^j^— looo volts.

Durée de la période ï — OjOigSseconde.

(T est choisi de tel façon que a)^=[ | = looooo.)

La figure 234 montre comment varient les valeurs moyennes des intensités, des puissances moyennes et des décalages en fonction de la résistance totale du circuit secondaire Rg.

Les intensités, qui sont énormes lorsque le circuit secondaire est presque fermé, vont constamment en diminuant : de plus l'intensité I^, qui, en court-circuit, est juste lo fois l'intensité

(«) Étude thénr'ufue dex transformateurs. Électricien, 1888.

:i2r> Eneboie ëlectrioue,

[)n[naire 1„ ne cesse dé s'écarter de ce rapport à mesure que B, croit. En circuit ouvert, soit R, = oc ;

li.»ir=o,79ampfere; I,.,ir=o.

Los puissances P, et P^ dépensées dans les circuits prinuin et secondaire décroissent également à mesure que la résistinct Rj du circuit secondaire croit.

Lii puissance utile dans le circuit secondaire n'a pas été rcprésonlée jiarce qu'elle se confonilrait dans toutes les partie» tracées avec la puissance totale P^ dépensée dans le circuit secondaire, (le n'est que dans le voisinage du court-circuit que les deux courbes dillereut.

Nous n'avons de même représenté que le rendement brut t. Il' rendement réel î se confondant aussi, dans toute l'étendue des courbes trncées, avec î ; ils dilFërent pourtant un pou au di}but. Le rendement brut t, qui est de 5o p. luo en courtriri'uit, croU rapidement, puis lentement, atteint son maximum dt> ()t).8 |i. I on pour It^ ' I u,(>.i olim et décroît ensuite très len-

œURANTS ALTEHNATIFS. :;27

lemeni. Le rendement réel t se comporte comme lautre, mais il est nul pour R^ — /j — o,oi ohm, et son maximum de 99,7 pour 100 n'a lieu que pour R^ - 17,89011ms. Mais ces deux rendements ne varient pas de i pour 100 et ne diffèrent pas de I pour 100 entre i ohm et 3o ohms, tout en ayant toujours une valeur supérieure à 99 pour 100.

La différence de potentiel utile (Ri — Zi) \,^^^ aux bornes du circuit secondaire qui est nulle pour R^ — /'j^^soi ohm, croît très rapidement et à partir de '.>. ohms reste constante et égale à 99,8 volts, nombre différant très peu de E^^j^ — 100 volts. Ce fait explique pourquoi les transformateurs sont des appareils éminemment propres à la distribution, puisqu'il suffit d*alimenter le circuit primaire par une différence de potentiel efficace constante pour que la différence de potentiel au^^ bornes du circuit secondaire reste constante, quel que soit le débit de ce circuit secondaire,

La courbe du flux de force efficace v (^I*^) nous montre un fait curieux, savoir, que le flux, nul pour R^j —r.^, reste constant à partir de R^-- 0,1 ohm, bien que la formule le représente comme la somme de deux grandeurs constamment décroissantes ; ce résultat s'explique facilement si l'on remarque que le décalage entre I, et I3 diminue lorsque R^ croît. Le flux de force restant constant, il s'ensuit que les coefficients d'induction resteront eux-mêmes constants, comme nous l'avons supposé.

Les intensités primaire et secondaire de la f. é. m. secondaire et le flux de force sont toutes représentées par des sinusoïdes décalées d'un certain angle par rapport à la sinusoïde qui exprime la force éleclromotrice primaire. Voyons comment varient ces angles de décalage avec la résistance R^ du circuit secondaire:

Le décalage ç, entre l'intensité primaire I, et la f. é. m. primaire Ej est presque nul pour IL -/., -0,01 ohm. A mesure que le circuit secondaire augmente de résistance, ^, augmente et en circuit ouvert, il atteint presque un quart de période.

Le décalage de E., sur E, est sensiblement égal à la demipériode; il est d'ailleurs indépendant de la résistance R^. Quoique dépendant de R^, on trouve que le décalage 93 entre

riniensité secondaire I^ et la f. é.m. primaire Ë^ reste sensiblement égal à une demi-période, quelle que soit la résistance R. (lu circuit secondaire. Par conséquent, il n'existe jamais de décalage appréciable entre l'intensité I^ et la force électromotrice Ej du circuit secondaire ; ce fait résulte de ce que le coefficient de self-induction du circuit secondaire L, a été pris très faible (o,o4 quadrant).

Enfin le flux de force ^ est toujours décalé de un quart de période, quelle que soit la résistante R^ du circuit secondaire.

Les courbes de la figure 233 représentent les variations des éléments de fonctionnement en fonction du temps. Elles se rapportent au même transformateur, dont la résistance du circuit secondaire

hi= 12,64 ohms.

Ce cas considéré correspond aux valeurs suivantes : Rendement £ maximum = 99,8 pour 100;

Décalage Çi^tî

I,^^,j-- 1,11 ampères ou Ai = i, 544 ampères; 12^^—7,89 ampères ou Aj^ 11,17 ampères.

Puissance moyenne dépensée dans le circuit primaire Pj=z 1,0. watts.

Puissance moyenne secondaire P^ -789,3 watts.

Puissance moyenne totale P^ — 790,5 watts.

Rendement réel t;'~99,6 pour 100.

Potentiel utile (R3 — /'j)I^j^ -99,92 volts.

L'intensité primaire I, présente un retard de un huitième de période sur la force électromotrice primaire E|; c'est-à-dire que cette intensité possède encore à o une valeur négative et ne s'annule que un huitième de période après E^. La force ('»loclromotrice E2 et l'intensité L du circuit secondaire présentent le même décalage de une demi-période sur E,. Enfm le flux d<î force 4> s(» trouve décalé de un quart de période sur E,.

La force clectromotrice E2 et Tintensité I^ du circuit secondaire ne présentant pas de décalage entre elles, les deux courbes de la puissance produite E2I2 à chaque instant et celle de la puis-

COl'RXNTS ALTERNATIFS.

sance dépensée RM à chaque inslanl coïncidewl complolomouL

L'intensité et la f. é. m. dans le circuil primaire pn^soutnul

au contraire un décalage de un huilième do piViodo, la puis^

sance dépensée P, = R,Iî, dans le circuil primairo so liouvo

WatU

K;/ ?ifV

aussi décalée de un Umù^ju^, d/? j^ivJ^ K*$f K, W* ' '>^/^ puissance éUnl tr-r* UiU.^. thotUK /J*- v »*'^» t^ *-<* ;;*^ï^> d'en tenir coaifAe.

A cause da Ah:fù^H 4-r ^f, K#;»>^r/^ -»> ^^-'/^ -^'^^^ '' *^

Ë^ la puissance totale produite E|I| à chaque instant nest généralement pas égale à la puissance dépensée Ejli = Rslî à chaque instant dans le circuit secondaire.

Le flux est nul en j parce que Temmagasinement est nul,

et en - il est maximum parce qu'à ce moment Temmagasi-

nement est maximum. Depuis -jusqu^à — , la puissance dé-

pensée est plus grande que la puissance produite, qui à an

T 5 moment donné, de - à rr T, devient même négative, c'est-à-dire

que la machine fonctionne comme moteur. L'énergie ainsi restituée est représentée par Taire comprise à gauche entre les deux courbes et l'ordonnée considérée ; cette énergie restituée

T 3 entre- et - ï est précisément égale à celle emmagasinée entre

- et -, c'est-à-dire que l'aire totale comprise à gauche entre

les deux courbes est égale à l'aire totale comprise k droite.

Il n'existe que deux instants pour lesquels la puissance dépensée est égale à la puissance produite, lorsque le Oui est nul ou maximum; or le décalage du flux étant toujours d'un quart de période, l'égalité se produira toujours pour

-7 et — .

492. Transformateur à noyau de fer. — Lorsque la perméabilité du milieu est variable, les formules établies cidessus, et qui se rapportent à un transformateur théorique parfait, ne sont plus vérifiées par Texpérience.

En 1886, M. G. Ferraris (*) a exécuté un certain nombre Je recherches au Laboratoire électrotechnique du musée de Turin dans le but de mesurer la différence de phase ou décalay^ existant entre les deux courants alternatifs, primaire et secondaire, d'un transformateur d'induction, et de voir comment variait le décalage avec les conditions de fonctionnement du

^».. Memorie délia He nie Arcade mie délie Se ienze di Torino^ 1887. ÉUctricifn <in 28 janvier 1888, n' 2:»0.

COURANTS ALTERNATIFS. ;i31

transformateur, et plus spécialement avec les variations de résistance du circuit secondaire.

La comparaison des premiers résultats de Texpérience et ceux plus simples qu'on déduirait de la théorie élémentaire des transformateurs par induction ont mis subitement en évidence de notables différences entre la théorie et la pratique. Comme les différences constantes entre les relations montrées par Texpéricnce et celles déduites de la théorie élémentaire s'expliquent facilement en admettant que Taimantation et la désaimantation du noyau s'effectuent avec un certain retard, et que ce retard doit dépendre essentiellement de la structure du noyau, M. G. Ferraris a été conduit à répéter plusieurs fois les mesures, en changeant chaque fois le noyau du transformateur.

Les expériences ont montré que les relations théoriques qu'on peut établir en tenant compte du retard aux variations d'aimantation du noyau, et du retard produit par les courants de Foucault, se trouvent en fait suffisamment vérifiées et résument bien, du moins à titre de première approximation, les propriétés principales des transformateurs. Ces relations sont utiles pour déterminer approximativement les conditions dont dépendent la production de chaleur dans le noyau et dans les parties métalliques de l'appareil, et offrent ainsi un critérium utile pour la détermination du rapport de l'énergie utilisable à celle inutilement dissipée dans te transformateur.

Les méthodes employées par M. Ferraris, pour étudier le retard d'aimantation, sont indiquées ci-après. Les conséquences de ce retard d'aimantation dans les transformateurs ù noyau de fer seront étudiées dans le volume consacré aux applications industrielles.

493. Mesure de la différence de phases. — Si dans les deux circuits, fixe et mobile, d'un électrodynamomètre, on fait passer deux courants périodiques i^ et i^ dont la périodi* T est très courte relativement à la durée d'oscillation de la spirale mobile, celle-ci tendra à tourner sous l'action d'un couple proportionnel à la valeur moyenne :

Tj. ''''''''

COSO,

Si les condilioDS de construction de rélectrodynamomèlre sont telles que les lectures soient proportionnelles aux couples, on aura en appelant S la lecture et k une constante dépendant de l'appareil :

Supposons les deux courants sinusoïdaux et posons

i, = I, sin (i>^, 1*2 — Ij sin [tùt — ©) ;

on aura alors :

et, en représentant par k une nouvelle constante

$ — AIjIjCOScp. (i)

Relation qu'on peut utiliser pour déterminer expérimentalement la différence de phase des deux courants, soit par trois lectures successives sur un seul et même électrodynamomètre, soit par trois lectures simultanées sur trois électrodynamomètres différents.

Pretnière méthode. Les deux courants à déterminer sont représentés par les équations :

i^ — A sin lût, i^ — B sin (wf — ©) .

On fait une première lecture a en faisant passer le courant /, dans les deux circuits de Télectrodynamomètre :

I,— la -A, 9 — 0.

On fait une deuxième lecture ^ en faisant passer le courant I3 dans les deux circuits :

On fait une troisième lecture v en faisant passer le courant i dans le circuit fixe et le courant i- dans le circuit mobile :

La formule (i) appliquée aux trois expériences successives donne

arrrirA*, g=AB', y:"- AtAB COS Ç.

d'où

Comme Tintroduction de rélectrodynamomètre dans les divers circuits modifie Fintensité moyenne et les phases du courant, il faut :

V Substituer à chaque circuit de l'électrodynamomètre une bobine ayant même résistance et même coefficient de selfinduction;

2" Se rappeler que le décalage ç, mesuré lorsque rélectrodynamomètre est en circuit, est un peu différent de celui qu'on obtiendrait si cet instrument en était retiré. Cette seconde observation n'a pour but que de permettre de juger s'il est possible d'employer la méthode et de faire choix d'appareils mieux appropriés.

Detixième méthode. Cette méthode exige l'emploi de trois électrodynamomètres. Le courant i, traverse les deux circuits du premier appareil et le circuit fixe du deuxième; le courant i^ traverse le circuit mobile du deuxième et les deux circuits du troisième électrodynamomètre (*).

La nécessité d'effectuer ces expériences préliminaires, et surtout celle de les répéter et de les contrôler pendant les essais constitue un inconvénient sérieux de cette méthode. Mais, par contre, elle a sur la méthode précédente, le double avantage d'assurer la constance des coefficients d'induction introduits dans les circuits et de permettre de faire les lectures simultanément, éliminant ainsi les erreurs dues aux variations d'intensité et de fréquence des courants résultant des variations de vitesse angulaire du générateur.

494. Résistance efficace des conducteurs de grosse section aux courants alternatifs. — Nous avons admis jusqu'ici que les conducteurs traversés par des courants périodiques obéissaient à chaque instant à la loi d'Ohm, et que le courant s'y répartissait d'une manière uniforme, c'est-à-dire

(>) Voir YÈleclHcien du 58 janvier 1888 ou le mémoire de M. G. Feiraris pour le développement de ceUe méthode.

que la densité du courant (161) était la même en tous les points de la section. Sir W. Thomson (1888) (M a établi qu'il n en était pas ainsi pour des courants périodiques de grande fréquence : le courant se localise dans les couches extérieures où la densité devient plus grande que la densité moyenne et devient plus faible au centre. Pour des conducteurs suffisamment gros, et une fréquence élevée, la densité au centre devient

Diamètre du conducteur en centimètres.

Fig. 33G. — Variations de la résistance efficace d'un conducteur aux oouranU

périodiques en fonction du diamètre.

même sensiblement nulle et un conducteur plein présente une résistance aussi grande qu'un conducteur creux de même diamètre extérieur. Cet effet correspond à un accroissement tM de résistance, et non plus seulement à une résistance apparente analogue à colle que présente un conducteur dont le coefficient de self-induction n'est pas nul (490). C'est cette valeur nouvelle de la résistance qu'il faut multiplier par le carré de l'intensité. Nous avons construit d'après les chiffres donnés par sir W. Thomson, les courbes (fig. 236) relatives à deux courant^ périodiques dont les fréquences sont respectivement 4o et 8o en

1) histitulion ofelrctrical Engineers. Séance du 10 janvier 1889, vol. XVIIi, 11" 77, p. 35.

portant en abscisses les diamèlres des roudacleursen cm« ot t^i ordonnées le facteur par leqoel il faïut multiplier sa resistauct^ ohmique, mesurée au pont de Wheatstone. pour avoir sa nSsistance aux courants alternatifs de fréquence 4^^ ^1 ^^-

C'est ainsi, par exemple, qu'un conducteur de 5 ivnlimMn^s de diamètre a sa résistance doublée pour un courant périotlU que de fréquence 8o. Un conducteur creux donnerait une résistance moins grande avec un moindre poids de cuivre. U y a donc une limite à la grosseur des conducteurs massifs servant à la transmission des courants alternatifs.

495. Application des courants altematite à la mesure des coefficients de self-induction. — M. Joiibert (*) a fait connaître une méthode simple et élégante dont voici le principe. On monte en circuit sur une machine à courants alternatifs de période T une résistance sans solf-iutluction Rf et la bobine de résistance R dont le coeflicient de selfinduction est L. On établit successivement un même électrtimètre idiostatique entre les deux extrémités R, et H et on lil les déviations l^ et 8. L'intensité efficace est, pour chaqut« partie du circuit, égale au quotient de la résistance r/ieUe ou apparente par la différence de potentiel efficace, on a donr, («n appelant e^ et e les différences de potentiel eflicac(»s

«<f R, y/H' + LV

£n élevant un carré ot en rcmplii(,*anl /•' ni tt* par Ic*n InctiUTN Z^ et S sur l'électromètre idiostatique

2,(H»4-LVj ?H| d'où

Il suffit donc de faire deux expériences, pour avoir ^| («I 'z ; R, et R se mesurent au pont de WheatMtone, et îh m* d/«dii)f di< la fréquence du générateur â cotirantM aMeninlif^i On pr^iil substituer un voltmètre de (jirdew a iVderdoriH'l ri< idioMlMll«

{}) Annal'» df! CÈ^ft^mn'MoU >$épén0Off t % \%%\.

que, mais dans ce cas, il faut prendre pour 3, et 3 les carres des lectures en volts, c'est-à-dire les carrés des différences de potentiel efficaces.

496. Bobines de sûreté ou de réaction. — ÉUni donné une difTérence de potentiel alternative entre deux points et un courant d'intensité efficace sur une résistance totale R, od peut établir dans ce circuit une résistance induciive telle que si la résistance devient R^, l'intensité ne dépasse pas une certaine valeur fixée à Tavance et égale à k fois Tintensité efficace de régime. Il est facile de calculer le coefficient de self-induction à donner à cette bobine pour une machine de période T.

C'est M. y. E. H, Gordon qui a le premier appliqué cette disposition aux distributions par courants alternatifs, et leur a donné le nom de cho/àng-coils (bobines d'étouffement).

L'intensité dans le premier cas a pour valeur

et dans le second cas