Théorème de C!oulomb. — IJintenstité du cUarnp
électrique [ou force électrique, en un point infiniment i,ohtn (Vun corps charqé en équilibre ett éqale à la tUnnité électrique* en ce point multipliée r^ar iz.
Ëa cfTet, si Ton considère un élément de surface dS et le tube de force correspondant, le flux de force HdS doit être égal à la quantité d'électricité en ce point ffdS multipliée par i(:;, d'après le théorème de Gauss. On a donc
HdS=4-7dS d'où
108. Pression électrostatique. — L'intensité du champ électrique H a une valeur nulle à l'intérieur d'un corps chargé, et, d'après le théorème de Coulomb (107), elle est égale à 4^^^ à une distance très petite de la surface du corps chargé: H a' donc varié de o à 4^^ en traversant la couche électrique. On ne connaît pas la loi de variation, mais on peut néanmoins déterminer la pression à laquelle est soumise la charge en chaque point, ou pression électrostatique.
Considérons une surface S (fig. 27) d'épaisseur AC à la surface d'un corps chargé. Menons une section MN parallèle aux
bases (fig. 27); soit q la quantité d'électricité dans la partie CDMN.
Le flux de force électrique latéral est nul ; le flux à travers CD est nul puisque CD est dans l'intérieur du conducteur chargé où H est nul. Le .,. «. ' flux à travers MN est HS=4'î:<7 d a-
près le théorème de Gauss (106). Si nous découpons une tranche infiniment petite par une section voisine MN', elle renfermera une quantité élémentaire Aq, et la force qui s'exerce sur cette quantité élémentaire sera égale à
\\àq=;£'qàq,
La force totale F qui s'exerce sur tout le cylindre renfermant la quantité Q sera :
F= ^^^^dy=J^'|^yd7=^Q^
Mais la pression électrostatique /; est ^.
NOTIONS GÉNÉRALES D'ÉLECTROSTATIQUE. 73
^n'étant autre chose que la densité électrique (101) au point considéré, on a
Cette pression électrostatique tend à repousser la charge vers Tcxtérieur, mais la charge reste à la surface parce qu'elle ne peut pénétrer dans le milieu mauvais conducteur qui Ten-
Fig. 28. — Vent électrique.
V\g. 29. ~ Tourniquet électrique.
loure, excepté aux pointes ou aux arêtes où, la densité étant très grande, la charge s'échappe sous forme d'aigrettes et produit des phénomènes mécaniques tels que le vent électrique |fig. 28) et le tourniquet électrique (fig. 29). 109. Force exercée par un plan indéfini sur une
Fig. 30. — Force exercée par un plan indéfini sur une charge.
charge. — Considérons une charge q placée à une distance d d'un plan indéfini chargé (fig. 30) et cherchons la force exercée
par le plan sur la charge q. Appelons ? la densité de la charge sur le plan, et décomposons-le en petits anneaux élémentaires ayant pour centre commun le pied de la perpendiculaire abaissée de la charge <y. L'un de ces anneaux [x,x+àx) renferme une quantité d'électricité égale à
TTJ [ (a: -h dx) * — »r*] =. 9.T.(sx Ax
en négligeant ar^dx*, infiniment petit du second ordre. En appliquant la loi de Coulomb, on a pour valeur de la force normale exercée par ranncaux,x4-dx:
, ^ ojj^rJx {\,r l
Cette expression simplifiée et intégrée depuis x=o jusqu'à 0-=: 00 donne finalement
Expression remarquable montrant que la force exercée par le plan sur la charge q est indépendante de la distance. Nous appliquerons plus loin cette formule à la théorie des électromètres à attraction.
1 10. Potentiel. — Considérons une charge positive q isolée dans Tespace, et une charge q', également positive, placée à une grande dislance. 11 s'exerce entre q et r/ une force répulsive dont la grandeur est donnée par la loi de Coulomb (96). Si nous voulons rapprocher la charge q* de la charge q, il faudra dépenser un certain travail, travail d'autant plus grand que les charges q et q seront plus grandes. Supposons que la charge q soit à une distance infinie, et qu'on l'amène en un point A à une distance r de la charge q. Il faudra dépenser un travail W.
Définition, — Le potentiel au point A dii à la charge q est le rapport du travail dépensé pour amener la charge q* de Tinfini au point A à celle charge q\ On le désigne par la lettre V.
Si la charge q est négative, le travail dépensé est négatif, ainsi que le potentiel au point A dû à la charge q.
NOTIONS GÉNÉRALES D'ÉLECTROSTATIQUE. 75
Considérons la charge q à une dislance r, la force répulsive F exercée par la charge q sur la charge q' est égale à
Si elle s'approche d'une quantilé dr, le travail élémentaire dW dépensé pour produire ce déplacement est
dw='/^=d (-??:).
En faisant la somme des travaux depuis Tinfini jusqu'au point Â
Expression indépendante du chemin parcouru. En portant cette valeur dans l'équation ( i)
Si Ton a plusieurs charges <y, y', 7", placées à des distances r,/^,/^'... du point considéré, le potentiel en ce point est égal à la somme algébrique des potentiels dus aux difTérentes charges.
111. Potentiel, différence de potentiel. — ha potentiel en un point dû à une charge q est le rapport de la charge q à sa distance à ce point. Le potentiel en un point est donc le rapport d'uhe quantité d'électricité à une longueur.
Les dimensions du potentiel dans le système électrostatique
sont L»MâT~'.
Un point est à un potentiel égal à 1 unité électrostatique C.G.S. lorsqu'il est à une distance de i centimètre d'une charge égale à 1 unité électrostatique C.G.S. de quantité.
La différence de potentiel entre deux points est le rapport du travail qu'il faut dépenser pour amener une quantité q d'électricité (+) d'un point à l'autre à cette quantité q.
Il existe entre deux points une différence de potentiel égale à 1 unité électrostatique C.G.S. lorsqu'il faut dépenser un
travail égal à i erg pour amener une charge égale à i unité électrostatique C.G.S. de quantité d'un point à Tautre. L*unité de différence de potentiel n'a pas reçu de nom spécial.
112. Potentiel zéro. — A une distance infinie de tout corps chargé, il ne s'exerce aucune force électrique, le potentiel est nul. En pratique, on est convenu de considérer le potentiel de la terre au point où Ton se trouve comme étant égal à zéro.
113. Surfaces équipotentielles. — Lorsqu'une charge électrique se déplace dans un champ électrique (104) sans effectuer ni dépenser aucun travail, elle décrit une surface équipotentielle.
Pour une sphère chargée, les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques. Ces surfaces se compliquent dès qu'il y a plusieurs corps chargés dans le champ, mais elles ne se coupent jamais parce que le potentiel ne peut pas avoir deux valeurs différentes en un point donné.
Les lignes de force ou d'induction électrique sont toujours normales au plan tangent d'une surface équipotentielle aux points où elles traversent ces surfaces. Les intersections des lignes de force et des surfaces équipotentielles par un plan forment toujours des systèmes ortogonaux.
114. Capacité. — (Considérons un corps conducteur possédant une charge <y. Son potentiel est uniforme et égala V. Si nous doublons son potentiel, nous doublerons sa charge et par suite nous doublerons la densité électrique en chaque point. Il y a donc un rapport constant entre le potentiel et la charge d'un conducteur. Ce rapport constant s'appelle la c^ç)aciVe'<?/(?cirostfitiqiWy ou simplement la capacité du conducteur.
Les dimensions de la capacité électrostatique sont : L.
h' unité électrostatique CG.S. de capacité est la capacité d'un conducteur dont le potentiel augmente de i unité électrostatique C.fi.S. lorsqu'on augmente sa charge de i unité électrostatique C.G.S. de quantité.
Une sphère de i centimètre de rayon a une capacité égale à I unité électrostatique C.G.S. de capacité.
NOTIONS GÉNÉRALES D'ÉLECTROSTATIQUE.
Deux conducteurs ont la même capacité lorsque, chargés au même potentiel, ils prennent des charges égales.
Deux conducteurs chargés au même potentiel prennent des charges proportionnelles à leurs capacités. Deux conducteurs possédant des charges égales sont à des potentiels inversement proportionnels à leurs capacités.
116. Capacité d'une sphère isolée. — Lorsqu'on communique une charge q à une sphère de rayon r, son potentiel est
^ sa capacité est donc égale à /*.
La capacité dune sphère est égale à son rayon.
Une sphère de i centimètre de rayon a une capacité égale à I unité électrostatique C.G.S de capacité.
La capacité d'un ellipsoïde (*) est représentée par une fonction.assez complexe de ses trois axes.
La capacité d'un plateau circulaire de rayon ra pour expression (*)
or /•
116. Potentiel à la surfaoe d'un corps conducteur cbargé. — Le potentiel étant le même en tous les points d'un corps conducteur chargé, il suffit, pour en avoir la valeur, de déterminer ce potentiel en un point quelconque.
Cas dwie sphère, — Considérons une sphère de i centimètre de rayon et donnons-lui une charge égale à une unité C.G.S. Cette charge agit comme si elle était placée au centre. A i centimètre du centre, c'est-à-dire à la surface de la sphère, son potentiel est
Comme Q=:VC, il en résulte que la capacité de la sphère est égale à son rayon, et que les capacités électrostatiques des sphères en unités C.G.S. sont proportionnelles et numériquement égales à leurs rayons exprimés en centimètres.
{*) Mofcart et Jouberf, t. I, § 74, 75, 76. («)/6ic/. .
Densité à la surface d'une sphère. — Pour une sphère de rayon r, la surface est ^T:r'^.
Si on communique à cette sphère une charge Q, on aura pour la densité 9
Et comme la charge est uniformément répartie, 7 est constant
Q = ^TJ^Q.
Pour deux sphères r et r on a :
Q 1^ A densité égale: jy=z-y^,
A charge égale : --"=—•
INDUCTION ÉLECTROSTATIQUE OU INFLUENCE
Lorsqu'un corps conducteur isolé, non chargé, est placé dans un champ électrique, il manifeste des signes d'électrisation. Ce phénomène, découvert en 1733 par Canton^ s'appelle influence^ induction électrostatique^ ou simplement induction,
Ls corps chargé produisant le champ électrique est le corps influent ou inducteur, le corps conducteur isolé est le corps influencé ou induit,
