LENTILLES ÉPAISSES

H3. Lentilles épaisses. — La théorie de la lentille mince est très simple et ne se complique guère quand on arrive à l'étude des systèmes de lentilles accolées.

Mais, d'une part, on ne peut laisser ainsi de côté l'épaisseur des lentilles que pour des calculs approchés; d'autre part, quand on veut appliquer la théorie à des systèmes composés de lentilles séparées par des lames d'air, on est amené à des calculs extrêmement pénibles, à des formules extrêmement compliquées, dont on aura une idée en lisant V Astronomie de Biot.

Or Gauss a montré qu'en abordant plus franchement le problème de la lentille et en tenant immédiatement compte de l'épaisseur, on pouvait établir une théorie qui, pour le cas d'une lentille, n'était pas en somme beaucoup moins simple, et l'était beaucoup plus pour le cas d'un système de lentilles.

C'est cette théorie de Gauss, reprise et perfectionnée successivement par plusieurs physiciens, parmi lesquels nous citerons Listing, Bravais et M. A. Martin, que nous allons maintenant exposer.

114. Plans et points principaux. — Soit {ftg. 97) une lentille, constituée par une substance d'indice n et limitée par deux surfaces sphériques de sommets S| et S2, de rayons R^ et R2. Soit e l'épaisseur S| Sj de la lentille, mesurée suivant l'axe principal.

Nous supposerons la lentille en contact par sa face antérieure avec un milieu d'indice n^ et par sa face postérieure avec un milieu d indice n^.

Les deux faces, considérées isolément, et séparant des milieux d'indices différents, auraient chacune deux foyers principaux qui

208 SUCONDI': PARTIE.

seraient, par exemple, pour la première, les points A| etB< respectivement situés à des distances a^ et b^ du sommet S| et, pour la seconde, les points Aj et B2, à des distances ^2 et 62 de S2.

Les foyers Bf et A2 seront les points de concours, dans le milieu d'indice /i, des rayons se propageant dans les milieux extrêmes parallèlement à l'axe, et réfractés une seule fois; les points A, et

Pig- 97-

î-ii.— - -

B2 conviendront aux rayons se propageant parallèlement à l'axe dans le milieu d'indice n.

Nous garderons toujours la même convention de signes que par le passé, comptant positivement toutes les distances, à partir de la surface à laquelle elles se rapportent, du côté d'où vient la lumière (*).

En vertu de cette convention et des relations (28), établies dans l'étude de la réfraction par une seule surface sphérique, nous avons, d'une manière générale,

ru — n

et, par conséquent.

^ = — - et ^ — ^.

(') Nous avons pris ici, pour fixer les idées, un type donné de lentille, et nous avons choisi la lentille divergente parce que c'est la plus simple au point de vue de l'application de notre convention de signes, et par conséquent celle qui se prête le mieux à l'exposition de la théorie. Mais, comme nous avons démontré, pour une surface unique, que, sous le bénéfice de cette convention, toutes nos formules étaient générales, il en résulte que toutes celles que nous en déduirons le seront aussi et s'appliqueront également bien à tous les cas réalisables.

CUAP. IX.

LLNTILLKS EPAISSES.

Soit uu rayon tombant en I, sur la première face de la lentille, après avoir marché parallèlement à l'axe au voisinage de cet axe {fi g, 98).

Il se réfracte suivant une direction liL, passant par le foyer principal B|; puis, en lo il se réfracte une seconde fois et prend une direction passant par un point Fa de l'axe principal.

Soit M2 le point d'intersection du rayon incident et du rayon

Fig. 98.

émergent: soit X2 sa projection sur l'axe principal; et désignons par x^ la distance X2 Sa-

T,St B,S, I2S2 BiSj

Les triangles I2F2S2 et M2F2X2 nous donnent

M,Xo FoXg I2S, - F,b,'

ou, en remarquant que 512X2 = I| S|,

, ,^. FoXo B,S,

ou bien, comme F2X2 = F2S2 — ^2? que BiS<=:6< et que B| S2 = 6< + e,

F, S, -07, hy

F, S, a;,rzzF,S,

Mais B^ et Fa sont foyers conjugués par rapport à la seconde face, puisque le rayon I^ la, passant par B| , prend, après réfraction par cette face, la direction F2I2; et par conséquent, en vertu de l'équation générale (27 bis)

nous avons ici

d'oii

Pi Pt

df b«

bi-]-e F, Si

bi — aj 4- e ou enfin, portant cette valeur dans l'équation (46)?

valeur indépendante de la position du point I|.

Donc, sous la réserve que nous avons faite, que nous nous bornions à des rayons très voisins de l'axe, le lieu des points d'intersection des rayons incidents parallèles à Taxe avec les rayons émergents correspondants est un plan M2X2, perpendiculaire à l'axe, et dont la distance à la face de sortie est donnée par Inéquation (i7).

Nous l'appellerons /?/a/i/?rmc«/?a/ d'émergence.

Considérons de même {^g* 99) un rayon incident de direction telle qu'il donne naissance à un rayon émergent parallèle à l'axe.

Soient F| le point où la direction du rayon incident rencontre l'axe principal, M^ le point de rencontre de la portion incidente avec la portion émergente, X| sa projection sur l'axe, et Xi la distance 5^X4.

Supposons que nous changions pour un instant le sens de propagation de la lumière; nous aurions, comme dans le premier cas.

^1 — ai