Foyers principaux. — Nous avons établi la relation
Oi — a2 -h ^ •
elle montre que, comme celle du point X2, la position du point Fj est indépendante de celle du point I|, et que, par suite, les rayons qui viennent à la lentille parallèlement à l'axe et dans son voisinage ont, après leur passage dans la lentille, un point de concours unique.
Nous trouverions absolument de même que Fi est un point commun à tous les rayons incidents que la lentille rend parallèles à Taxe.
Les points ¥^ et Fa sont les foyers principaux Ac la lentille. Nous compterons leurs distances /i et /a à partir des plans principaux correspondants, toujours positivement du côté de la lumière incidente.
L'équation (4^*)) nous donne
de même
/( dt ; ■
- - ^2 -i- /^i H- e — a-i -i- (5. /.«) f,^- -^llH^..
CHAP. IX. — LENTILLES KPA19SES. tilS
Si nous comparons les valeurs de/i et de/2ï nous voyons que
et comme
ûTi n^ a^ n
bi n bt~~ rif
Nous pouvons exprimer /i et /o en fonction des rayons : / /?! R| n Rj
« H, w Kj
/ij Rj 71 Ri
Dans le cas particulier, qoi est pour nous le plus important, où la lentille est plongée dans Tair, les valeurs de/i et /a deviennent
^ . /« Ri R.
/i — 1 /^ ( Hi — R2 -h É?) — 6' ' et, de là, nous tirons
Ainsi, dans le cas où les les milieux extrêmes sont identiques, les deux distances focales, comptées comme nous Tavons dit, sont égales et de signes contraires.
117. Construction de l'image d'un point voisin de Taxe. — La connaissance des plans principaux et des foyers principaux nous donne dès maintenant le moyen de construire l'image d'un point situé hors de l'axe et dans son voisinage {^fig* 100).
SoitL, ce point : je mène d'abord un rayon L, I, parallèle à l'axe; le rayon émergent coupera le rayon incident en M2, dans le
2l4 SECONDE P\RTIE.
plan principal d'émergence, et sa direction passera par le foyer ^incipal Fj. Je puis donc construire ce rayon émergent et par suite la marche complète du rayon.
Je mène d'autre part le rayon L^ F^ : il donnera naissance à un rayon émergent parallèle à l'axe et coupant la portion incidente dans le premier plan principal, en M^.
Les deux rayons émergents se coupent en L2, qui est l'image cherchée.
118. Relation générale des foyers conjugués. — Projetons {fig^ 100) les points L, et Lj en ?« et P2 sur l'axe principal,
Fig. 160.
et convenons de désigner les distances P| X« et P2X2 par/?i et/?2, en les comptant positivement dans le sens que nous prenons toujours comme sens des quantités positives.
Les triangles semblables Mi Xi F| et Li Pi Y\ nous donnent
X^F, Pi F,'
d'où
L,Pi-M,Xi
PÎ
PiFi-XiFj- P,Xi Les triangles semblables M2X2F2 et L2P2F2 donnent de même M,X, X.F,
Pt
M,X, - L,P,- X,F,-P,F,~ P,X, Si nous retranchons membre à membre l'équation (54) de l'équa-
CIIAP. I\. — LENTILUKS ÉPAISSES. 2i5
lion (55),
M,X,— MtXi p^ px carL,P, == M2X2 et M|Xi --^ L2P2. Donc il reste
Pi Pt
Nous retrouvons donc absolument la même relation que dans le cas d'une lentille mince, à condition de compter les distances des foyers conjugués, ainsi que celles des foyers principaux, à partir des plans principaux.
Nous avons démontré dans le cas d'une surface unique, et par extension dans le cas d'une lentille mince, que cette relation des foyers conjugués était le plus générale possible quand on prenait comme origines deux points quelconques conjugués par rapport au système. Il en est absolument de même ici, et on le démontrerait de façon identique.
Il est, d'autre part, facile de voir que les origines que nous avons choisies, c'est-à-dire les points principaux, sont précisément deux points conjugués par rapport à la lentille épaisse.
Si, en effet, dans l'équation (56), par exemple, nous faisons p^ = o, elle nous donnera /?2 = o.
119. Autres formes de l'équation générale. — Dans le cas particulier auquel nous nous bornerons ici, et dans lequel, la lentille étant plongée dans l'air, les milieux extrêmes sont identiques, nous avons vu que
et si nous posons, comme nous l'avons fait pour les lentilles minces,
nous aurons pour la relation générale
(06 bis) =-7'
^ Pi Pt /
C'est la forme que nous utiliserons généralement.
Îil6 SECONDE PARTIE.
Nous pouvons encore rapporter la position des foyers conjugués à celle des foyers principaux, en rapportant toujours celle-ci aux plans principaux. Nous désignerons alors par gr| la distance de P| à F|, par q^ celle de P2 à Fa, toujours avec les mêmes conventions de signes.
Nous nous sommes servis, pour établir la relation (56), des
proportions
LtPt PtF,
L,P, P,F, iVl,X,~X.F,'
Multiplions-les membre à membre; si nous observons que L|P4 = MaXa etM|Xi=L2Pa, il vient {fig* 100)
{^6 ter) giÇi^/iA,
ou, dans le cas particulier,
giÇt- — r\ c'est l'équation de Newton.
120. Plans focaux. — L'équation (56) nous montre que les points situés à la même distance du plan principal d'incidence donnent leurs images à la même distance du plan principal d'émergence; donc un objet plan perpendiculaire à l'axe donnera une image plane perpendiculaire à l'axe ; en particulier, L| Pi (/ig. 100) aura pour image L2P2-
Nous avions déjà établi d'une manière générale qu'il en était ainsi pour les images successives données par une série de surfaces sphériques centrées.
Mais il ne faut pas oublier que, pour établir l'existence des plans principaux, nous avons fait la môme réserve que dans cette démonstration générale, à savoir que nous considérons uniquement des rayons et des points peu écartés de l'axe principal.
\insi nous aurons, dans les lentilles épaisses, des plans focaux conjugués, et de même nous aurons des plans focaux principaux, perpcndlculaircà à l'axe aux foyers principaux.
CHAI>. IX. — LENTILLES Êl»AlSSES. 217
121. Points nodanx. — Considérons de nouveau \^ fig* loo, et menons les rayons L^Xi et L2X2 {fig* ici).
De ce que les points X^ et Xj sont conjugués, il résulte qu'à tout rayon incident passant par X| correspondra un rayon émergent passant par X2; et de ce que L| et L2 sont également conjugués,
Fig. 101.
il résulte que le rayon L2X2 sera précisément le rayon émergent correspondant au rayon incident L^X^.
Or nous avons établi (§118) que
M,X, X^Fp
MjX,-L,P,-p7X2' d'où
^ ^^ MjXj" X2F2 P,Xi'
Si la lentille est supposée plongée dans l'air, X|F^ =X2F2, et comme d'autre part MiX| = L2P2 et M2X2= L^ P|, cette relation devient
LjPï P9X,
U^, ^ PAi'
ce qui montre que les triangles L^ P, Xi et L2P2X2 sont semblables et que, par conséquent, les rayons LjX, et L2X2 sont parallèles entre eux.
Ainsi le rayon émergent correspondant à un rayon incident passant parX, lui est parallèle et passe par X2, et cela quel que soit le point L,. Donc nous pourrons dire qu'à tout rayon incident passant par X, correspond un rayon émergent parallèle passant
2l8 SECONDE PARTIE.
par X^. Nous aurons ainsi des axes secondaires comme dans les lentilles minces; mais ils sont brisés.
Cette propriété n'appartient ici aux points principaux que parce que nous avons supposé que la lentille était par ses deux faces en contact avec le même milieu. Elle appartient, dans le cas général, à deux points Ni et Na distincts des points principaux, et qui sont séparés de ces points par une distance commune
Dans le cas auquel nous nous bornons, nous avons vu que
et par conséquent N| se confond avec X^, et N2 avec X2.
Les points N| et N2 ont été indiqués par Listing et appelés par lui points nodaux ou nœuds de réfraction.
Nous n'aurons pas à les distinguer des points principaux et nous appellerons indifféremment XiN| point principal ou point nodal d'incidence; XjNa point principal ou point nodal d'émergence.
