Grossissement. — Nous avons montré que l'image d'un
objet plan perpendiculaire à l'axe est aussi plane et perpendiculaire
à l'axe, et qu'en particulier, dans \^ fig. 100, Lg P2 est l'image
L P de L^Pj. Nous appellerons grossissement le rapport G=3 r-*-Tr ^®
deux dimensions linéaires homologues de l'image et de l'objet, dimensions que nous désignerons encore par h^ et /t|, toujours avec les mêmes conventions de signes {voir § 93\ Nous avons d'autre part établi la relation (57)
M^X, X,F, P^X, MjXj'^XsF, PiX/
qui peut s'écrire
( DO ) -j- ^^ ^ — — '
et si nous nous bornons au cas d'une lentille plongée dans l'air, comme alors n^ =: n^ ~-- i ,
ClIAP. IX. — LENTILLES EPAISSES. 219
Nous retrouvons la même expression du grossissement que dans la lentille mince.
Si nous tirons — de l'équation (56 bis)^ {ogbis) G=z^' ^
123. Propriété des plans principaux. — Si dans les équations des foyers conjugués et du grossissement nous faisons pt =o, il vient d'une part
Pt = Oy
et d'autre part
Gr-rl.
Donc un objet situé dans un des plans principaux donne dans l'autre une image qui lui est égale, et qui est droite.
124. Propriété particulière du point nodal d'émergence. — Le point N2 jouit d'une propriété spéciale, signalée dès le début de l'étude des lentilles épaisses, et que M. le Commandant Moëssard a utilisée de façon extrêmement ingénieuse, d'abord pour la
rig. J02.
construction d'un appareil panoramique, puis pour l'étude des objectifs.
Soit (7?^. 102) une lentille épaisse, dont les points nodau?c soient Ni etN^, et par conséquent l'axe principal JNiNa.
Soit un point lumineux L| situé à une distance assez grande de la lentille : l'image de L| se forme en L2 sur l'axe secondaire LiN^NaL,.
Supposons maintenant que l'on fasse tourner la lentille autour
•2'iO SECONDE PARTIE.
du point Dodal d'émergence N2; le point nodal N| vient en N', en décrivant un arc de cercle; joignons L|NJ : cette ligne sera parallèle à L,N| si L^ est assez éloigné pour que, par rapport à sa distance à la lentille, la distance N^NJ soit négligeable : la nouvelle image se fera sur une parallèle menée par N2 à L^Nj, c'està-dire sur N2L2; et comme de plus la distance du point lumineux à la lentille n'a pas changé, elle se fera à la même distance de N2 que dans le premier cas, c'est-à-dire précisément en L2.
Ainsi, pendant que la lentille tourne autour du pointNa, l'image d'un point donné formée par la lentille ne subit aucun déplacement, ni aucune modification.
Il est facile de voir {^fig- io3 et io3 6w) que si, au contraire, la
Fig. io3.
Fig. io3 bis.
hr
rotation s'était produite autour d'un point autre que N2, 11 y au ralt eu déplacement latéral de l'image, dans le sens de la rotation ou en sens inverse suivant que le pivot aurait été en avant ou en arrière du point N2.
125. Constructions géométriques de la marche d'un rayon quelconque et de l'image d'un point. — Nous avons déjà indiqué un procédé permettant de construire géométriquement l'image d'un point lumineux voisin de l'axe; nous allons indiquer maintenant d'autres modes de construction fondés sur la considération soit des plans focaux, soit des points nodaux.
1° Nous pouvons d'abord construire la marche d'un rayon quelconque dans une section principale, au moyen de la méthode qui nous a servi pour une seule surface, et qui utilise les plans focaux |)rinci[)aux.
Soient S< et So {/fg- lo/j ) ^v<> deux faces de la lentille, qui sera convergente par exemple, et CiCo leurs centres.
CIIAP. IX.
LKNTILLES EPAISSES.
Soient A^ et B^, A2 et Bj, les foyers respectifs de ces surfaces.
Soit un rayon P| Ij ; il coupe en Ei le plan focal antérieur A^ de la première surface : il peut être considéré comme issu de ce point, et par suite nous savons qu'il se propagera, entre les deux surfaces, parallèlement au rayon E|Ci, lequel, issu du même point du plan focal mais passant par le cenlre Ct de la première surface, la tra-
Fig. 104.
verse sans déviation. Je mènerai donc E^Ci, et, par I^, une parallèle I|l2 à cette droite.
Le rayon I^ I2 peut être de même considéré comme issu du point E2 où il rencontre le plan focal antérieur A2 de la seconde surface, et par suite j'aurai le rayon émergent I2P2 en menant par I2 une parallèle à E2C2. /
2** Nous pouvons construire en même temps l'image d'un point quelconque Q^ de V^l^ i^fig» io5) : la première image sera au
Fig. io5.
point Q, où le rayon 1, I2 rencontre le rayon Qi Ci de la première surface; l'image délinitive sera sur le rayon C2Q de la seconde surface, à son point de rencontre Q2 avec lerayon émergent LPa-
3® Soient toujours S^ etS2 les sommets des deux faces, F, etF2 les deux foyers principaux; N| et N2 les points nodaux, confondus avec les points principaux {^fig* 106).
SECONDE PA.RTIE.
Nous savons que tout objet situé dans un des plans principaux donne dans I^autre une image égale et de même sens.
Soit donc un raj'on quelconque émané d'un point Pi ; soit M, le point où il rencontre le premier plan principal : N| Mt donnera dans le second plan principal une image égale N2M0, et si je mène MiMo parallèle à l'axe, je sais que M2 sera sur le rayon réfracté.
D'autre part, le rayon P^ I, peut être supposé issu du point E| où il rencontre le plan focal principal antérieur F| : il sortira parallèlement à la portion émergente de tout rayon issu de ce point,
Fig. 106.
et en particulier du rayon E^ M^ parallèle à l'axe et qui, pour cette raison, sortira en passant par le foyer Fa.
Je mènerai donc EiM^ parallèle à Taxe principal; je joindrai M^Fa et je mènerai par M2 une parallèle M2P2 à M^Fo : ce sera la direction du rayon émergent : j'aurai la portion transverse du •rayon en joignant les points [| et I2 où les portions incidente et émergente coupent les deux faces de la lentille.
Le procédé que nous avons vu tout à l'heure nous permettait de construire la marche d'un rayon quelconque en connaissant les deux faces et leurs centres : celui-ci nous fournit le moyen de construire les portions extérieures, seules nécessaires, au moyen des plans principaux, sans qu'il soit besoin de s'occuper des surfaces autrement que pour tracer la portion transverse, qui s'obtient en joignant les points où les portions extérieures rencontrent les faces.
4" Nous savons d'autre part qu'à tout rayon incident passant par le point nodal antérieur N| correspond un rayon émergent passant par le point nodal N2, ce qui nous donne des axes secondaires brisés dont nous pouvons nous servir.
CIIM». I\. — I.KNTILLES ÉPAISSES. 223
Soil {^fig* 107) un point L^ voisin de Taxe : joignons L| N, et menons par No une parallèle à cette droite; elle contiendra l'image L2. Nous n'aurons alors qu'à construire un autre rayon, et en particulier le rayon L1M2, parallèle à l'axe et dont la portion émer-
gente doit passer par F2 : l'intersection de cette portion avec N2L2 nous donnera le point lu^.
Ce dernier mode de construction, qui est de beaucoup le plus simple, est tout à fait semblable à celui que nous avons employé pour les lentilles minces.
126. Position des points nodaux. — Pour déterminer la position des points nodaux dans une lentille quelconque, il suffit d'examiner le signe et la valeur que prennent pour cette lentille x^ et 4^2 •
La discussion générale des expressions
__ -R ig ^^ -R.^
devient très simple si l'on remarque que, dans toutes les lentilles dont nous pouvons avoir à faire usage, l'épaisseur e, et a fortiori
le produit e sont toujours notablement plus petits que les
rayons de courbure et que la somme R| — R2 et que, par suite, la valeur de (/i — i)e ne peut influer sur le signe de
de sorte que la discussion se réduit à celle du produit
pour le point nodal d'incidence, et du produit
pour le point nodal d'émergence; il suffira d'ailleurs de la faire pour l'un des points, grâce à la relation
Cette discussion ne présente aucune difficulté; elle ne présente pas non plus grand intérêt, et nous ne ferons qu'en indiquer les résultats.
On trouve que, dans les lentilles biconvexes et biconcaves, les points nodaux sont toujours tous deux à l'intérieur, et que, dans les ménisques, l'un des deux points est toujours en dehors, l'autre pouvant être ou extérieur ou intérieur.
Enfin, dans les lentilles plan-courbes, où l'un des deux rayons de courbure est infini, suivant que c'est Rj ou R2, il vient
ou
c'est-à-dire qu'un des points nodaux est au sommet de la face courbe, et l'autre à l'intérieur, à une distance - de la face plane.
Il est cependant intéressant de faire la discussion complète pour l'un des cas, celui de la lentille biconvexe, par exemple, en supposant les rayons donnés et en faisant varier l'épaisseur. Nous voyons, Rj étant positif, que ^2 reste positif et plus petit que e tant que
/^(RJ-RO-(/^-I)e>R„
/^(R,— Ri) — R2>(/i — Dc, /2(R,— R,) — R5
xr
ClIAI». I\. - LENTILLES EPAISSES. 22Ô
il devient = e, et par conséquent le point nodal d'émergence se trouve sur la face antérieure quand
e continuant à augmenter, x^ irait croissant pour devenir infini quand
puis, passant de + oo à — oo, deviendrait négatif et diminuerait en valeur absolue jusqu'à
n — I pour e infini.
427. Distance des points nodauz. — Cherchons la distance des points nodaux : nous la désignerons par d et conviendrons de la
Fig. io8.
B S S| NX TJîTX V\
compter positivement quand le point nodal d'incidence JN, sera, par rapport à l'autre, du côté de la lumière incidente.
Nous avons {/ig- io8), et en tenant compte des conventions de signes,
d = e -h Xi — jTj,
Remarque. — Cette relation peut s'écrire
e "" /iR, nH. '
-- hé?
SBGONDË PARTIE.
dans le second membre, le numérateur représente la distance des centres des deux sphères dont font partie les faces de la lentille; le dénominateur, la distance des foyers principaux B| et A^; et cela d'une manière générale, si l'on convient de compter ces distances positivement si le centre de la première face est en avant du centre de la seconde, et de même le foyer B| en avant du foyer Ao.
Ainsi le rapport entre la distance des points principaux et l'épaisseur de la lentille est le même qu'entre la distance des centres et celle des foyers intérieurs.
L'expression de la distance d peut encore s'écrire
1 R, - Rj-*-^
dzzze
et, sous cette forme, on voit immédiatement que, tant que e n'est pas de grandeur comparable à Ri .— R2, d non seulement ne change pas de signe, mais encore conserve sensiblement la valeur constante
soit ^ e pour un verre d indice —
Donc, pour des lentilles de toute forme, et d'épaisseur égale.
l''ig. 109.
λÎIW
pourvu que cette épaisseur soit petite, les points nodaux se présentent dans le même ordre, le point N, étant en avant du
CUAP. IX. — LKNTILLKS Kl'AISSES. 227
point N2, et à la même distance l'un de l'autre; en rapprochant ce résultat de ceux qui précèdent, nous voyons que dans une lentille biconvexe ou biconcave, tous deux sont à l'intérieur, plus près de la face la plus courbe que de l'autre, puisque
que dans une lentille plan-courbe ou dans un ménisque, ils sont rejetés du côté de la plus forte courbure, l'un des points étant à l'intérieur et l'autre sur la surface dans le cas d'une lentille plancourbe, l'un au moins des points >étant à l'extérieur dans le cas d'un ménisque (/î^. 109).
Si maintenant nous examinons le cas général, sur une lentille biconvexe par exemple, nous voyons que e croissant, la distance d devient nulle quand e = R2 — Ri, comme on le voit en mettant d sous la forme
Ri - Rj + e
puis devient négative, le point No passant en avant du point M,; devient égale à — e quand
passe par l'infini quand
puis change de nouveau de signe.
128. Lentilles convergentes et divergentes. — Nous dirons qu'une lentille épaisse est convergente quand le point de concours des rayons tombant sur sa face antérieure, parallèlement à Taxe, se trouve derrière la lentille, en dehors de la masae réfringente.
Pour cela, il faut, si le point nodal d'émergence est en avant de la face postérieure de la lentille, c'est-à-dire si x^ est positif, que
/2 soit négatif et plus grand que X2 \ si le point nodal est en arrière, c'est-à-dire si X2 est négatif, il faut que/j soit négatif ou que, positif, il soit plus petit que — x^ : ces diverses conditions sont réunies dans la condition générale
ou, en nous reportant aux valeurs de/2 (53), et de x^ (49)j, n R, R, Rje
n—i /e (H, — R, -h ej — e /^ (R, — Rj -t- e) — e /iR, Rj-+-(/i — i)R,e
/i(/i--i)(Rj — R,)-h(/i--i)2e ou, divisant par le terme positif /i — 1,
Or, ainsi que nous l'avons dit, sauf dans des lentilles dont nous n'aurons jamais à nous servir, les rayons de courbure des faces et la somme R| — Ilj sont notablement plus grands que l'épaisseur cl, a fortiori, que
la présence de ce terme n'aura donc pas d'influence sur les signes du numérateur et du dénominateur, et par conséquent la fraction aura le même signe que
Ri - R/
qui, nous l'avons vu à propos des lentilles minces, est toujours positif pour les lentilles plus épaisses au centre qu'au bord et toujours négatif pour les autres.
11 résulte de là qu'en écartant les cas extraordinaires dont nous avons parlé : d'une part, la classification des lentilles épaisses sera la même que celle des lentilles minces ; d'autre part, dans la discussion et les applications numériques, nous devrons considérer/
ClIVP. 1\. — LKNTILLKS ÉPAISSES. 229
comme positif pour les lentilles convergentes, et comme négatif pour les divergentes, le signe de
entraînant celui de /, puisque
n R^ Rj
n — i Al ( Rj — R, ) -h ( /A — I ) t' 1 R,R,
R, — Rs H e
Mais il ne faut pas oublier la réserve faite et généraliser complètement; c'est ainsi qu'on peut, par exemple, réaliser un ménisque plus épais au centre qu'au bord et qui soit divergent.
129. Discussion de la relation générale des foyers conjugués. — La discussion que nous avons faite, dans le cas d'une lentille mince, de la relation des foyers conjugués et de celle du grossissement s'applique complètement ici, et il est inutile de la reproduire.
Il faut seulement rappeler que les distances /7| et/?2, /< et /a se comptaient alors du sommet commun des deux faces et qu'elles se comptent ici des points nodaux : du point N| pour /?i et /i, du point Na pour/?2 et/a-
Nous aurons cependant quelques points particuliers à signaler. D'abord nous avons déjà noté ce fait que l'image d'un objet situé dans l'un des plans principaux donne son image dans l'autre, et que cette image est égale à l'objet et de même sens, si les milieux extrêmes sont identiques; les plans principaux remplacent donc, ici encore, le plan auquel nous supposions réduite la lentille mince ; leur propriété est aussi analogue à celle dont jouit le centre pour une surface unique.
Dans le cas général, les plans principaux sont encore conjugués, mais l'image n'est plus égale à l'objet : leur rapport de grandeur est celui des indices extrêmes.
Les points nodaux, dans le cas général, sont eux-mêmes conju-
23o si:co>'i)e partie.
gués, bien que distincts des plans principaux, puisque Téquation
P\ Pi
est satisfaite pour p^=z p^^^ f\-\- f^-
La discussion nous montrera que, comme dans la lentille mince, poar ^1 r= 2/, il vient /?2= — 2/. L'image d'un objet situé à une distance du point nodal d'incidence égale au double de la distance focale principale, se fera de l'autre côté de la lentille, à la même distance du point nodal d'émergence : elle sera encore égale à l'objet, et sera renversée, puisque alors G = — 1 .
130. Points et plans de Bravais. — Mais elle met en évidence l'existence d'autres points remarquables, signalés par Bravais dans un cas particulier, par M. Martin dans le cas général et que ce physicien a appelés points de Bravais,
Ce sont des points de l'axe qui, non plus comme le centre, mais comme le sommet d'une surface unique, contiennent à la fois le point lumineux et son image : les plans de Bravais sont les plans menés par ces points perpendiculairement à l'axe et jouissent de cette propriété que tout point contenu dans un de ces plans y a aussi son image.
Il faut et il suffit, pour qu'un point de Taxe coïncide avec son image, que la différence des longueurs /?, et/?2 soit exactement égale à l'écartemenl d des points nodaux. Appelons t:^ et xa les distances d'un de ces points aux points nodaux :
TTj - - TTi = <i ;
et Ton devra avoir en outre
il vient donc
71, TTj "~ /' I 1 I
— d±.\Ut--^-'^fd
