CHAP. X. — SYSTÈMES DB LENTILLES ÉPAISSES

système,

cp -t- 9'

De même, dans le second système,

Oj Ui (p'

(80 bis) u^'—(b' î '— — ■— £ î- ,

et nous pouvons remarquer que nous avons

Uy 9

Mj" 9'' comme nous avions

ce qui montre que le rapport des distances des points nodaux Jb< et DXs2 aux points nodaux extrêmes Y, et Y^ des deux systèmes élémentaires est le même que celui des distances du centre optique aux points nodaux moyens Y^ et \\,

Connaissant u^ et «2? nous en tirei'ons z^ et z^-

Yi ct^2?JK'i et^j étant calculés pour chacun des deux systèmes, formés de lentilles accolées, soit par le procédé direct que nous avons exposé, soit comme nous le verrons tout à l'heure.

SECOND K PARTIi:.

loO. Plans principaux. — Ainsi que nous l'avons fait voir pour un système quelconque, de ce fait seul que la combinaison est en contact avec l'air par ses faces extrêmes, il résulte que les plans principaux sont les plans perpendiculaires à Taxe aux points nodaux.

151. Distance des points nodaux. — La distance X|Db2 s'obtiendra en remplaçant Zt et Z2 par leurs valeurs dans la relation

où 6, e', e^ sont respectivement les épaisseurs, mesurées suivant l'axe, des deux combinaisons et de la lame d'air interposée.

152. Disposition particulière. — Dans le cas particulier où les plans de Bravais des deux groupes sont en coïncidence, il sera possible d'amener à se confondre, au point où le plan de Bravais commun coupe l'axe principal, les points nodaux X< D^a et le centre

Fig. lîîi.

optique O du système. Alors le centre optique sera en même temps centre de similitude, car tout rayon passant par le centre optique n'éprouvera ni déviation ni déplacement, ses deux portions incidente et émergente étant parallèles et passant par un même point.

Le centre optique d'une pareille combinaison jouira donc absolument des mêmes propriétés que celui d'une lentille mince, il est d'ailleurs facile d'établir quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que cette disposition soit réalisable.

Soient(yi'^. 121), les deux systèmes qui composent la combinaison, Y^Ya, Y'j Y', leurs points nodaux, dont c/^ Y, Y2 etûf' = Y'j Y, mesurent les écartements; nous supposons qu'on ait amené, ce qui est toujours possible, leurs plans de Bravais intérieurs à coïncider enn.

CHAP. X. — SYSTÈMES DK LENTILLES ÉPAISSES. iSy

Un rayon dirigé vers II et rencontrant le premier système en I4 donnera naissance à une portion émergente se dirigeant aussi vers n, puisque ce point est sa propre image; soit 1211; cette portion de rayon rencontrera le second système en l\ et, pour la même raison, y donnera naissance à une portion émergente 111', passant par n.

Ainsi, tout rayon incident passant par ce point, sortira de la combinaison suivant une direction qui y passera également, en sorte que ce point, qui est déjà sa propre image par rapport à chacun des systèmes, le sera aussi par rapport à la combinaison tout entière; et cela sera toujours possible.

Mais pour que II jouisse des propriétés qui appartiennent au centre optique, il faut aussi que les portions extrêmes du rayon, I« II et IH'j soient en ligne droite, ce qui exige que les angles Ii II I2 et Ijj Iir, soient égaux : or pour cela il faut que les triangles IiIUa et IjIHj soient semblables, ou, comme ils ont un angle égal en I2 et I'^, que

hU ni, i;i;-iii;'

ou, à cause de la similitude des triangles IIIïYj, 111, Y',,

Ijjj II Y. r.i; - IlT. '

I, Ij et r, Ij sont respectivement d eid' ; IIYa et IIY'j, en vertu des équations qui déCnissent la position des plans de Bravais, sont respectivement

^d^\/d^ï^^dW

Nous devons donc avoir

d'où d'où enfin

Si cette relation entre les rayons des surfaces, les épaisseurs et les indices des lentilles est satisfaite, le point H réunira le centre optique, les points nodaux ^^ etXj, qui sont ses images dans les deux systèmes et enfin le centre de similitude.

Elle le sera évidemment en particulier, si les deux systèmes sont semblables.

Si les deux systèmes sont simplement formés chacun d'une lentille épaisse unique, la condition pourra s'écrire, eu égard aux valeurs trouvées pour rf(6o) et pour (53)

n — \ n i^i^j — i\^^e) — e n' — i n' (R', — R'j -ht') — e' (83) .- ^--- - -.e -— ^^^

1S3. Foyers principaux. — Considérons un faisceau de ra^ons parallèles tombant sur la première lentille ; nous savons qu'au sortir de la combinaison ce faisceau aura un point de concours unique, et que ce point sera sur la parallèle menée par le point nodaldbo à la direction des rayons incidents {fig* 122) : il nous suffit de connaître la marche complète d'un des rayons du faisceau.

Tout d'abord nous savons que tous, au sortir du premier système, iront se réunir au point E2, où la parallèle menée par ¥3 à la direction des rayons incidents coupe le plan focal principal <I>2 relatif à ce premier système.

ISous choisirons le rayon dont la portion comprise dans la lame d'air intermédiaire passe par \\\ cette portion du rayon se dirigeant d'autre part vers E2, nous pouvons la construire, et, par suite aussi, sa portion incidente.

CIIAI». X. — SYSTÈMES DE LENTILLES EPAISSES. 'x5g

Le rayon, pénétrant dans le second système par le point nodal Yj en sortira parallèlement à lui-même par Y g : nous mènerons donc par Y', une parallèle à Y'j Ea ; ce sera la portion émergente du rayon : elle coupe en C2 Taxe du faisceau émergent : C2 sera

Fig. 122.

donc le point de concours cherché, le plan C2^2 le plan focal principal de la combinaison, et ^2 le foyer principal.

Calculons ^3-^2? distance focale principale : les triangles semblables 2fZ>2C2^2 et YaEa^a nous donnent

d'où, par suite de la similitude des triangles YjEa Y', et 3ï>2CaY'j,

Xt,f, x,y; Ut Y,*,- y,y;'-T'

et, en introduisant la valeur de Wo (80 bis).

et de même

d'où

iGo SECONDE PARTIE.

faisons 6= o, il vient

C'est la relation que nous avons établie entre les distances focales de deux lentilles minces combinées et celle de leur combinaison. On voit qu'elle s'appliquera encore au cas de deux lentilles épaisses accolées, mais seulement dans le cas particulier où les points nodaux moyens des deux lentilles seront en coïncidence, car e est la distance de ces points nodaux et non celle des deux lentilles. Dans le cas général, la relation ne sera vraie que d'une manière approchée.

154. Relation des foyers conjugués. Grossissement. — Il est inutile de démontrer ici, puisque nous l'avons fait pour un système quelconque, que la relation des foyers conjugués, sous ses diverses formes, et la loi du grossissement subsistent telles que nous les avons établies et sont générales, pourvu que nous comptions les distances des objets à partir de X|, celles des images à partir de X^, et que nous conservions la même convention de signes.

Il en sera de même des procédés de construction géométrique des images.

135. Plans de Bravais. — Enfin, la position des plans de Bravais sera toujours définie par

— rhv/V-H 4of'

leurs distances étant comptées à partir du point %<, et le procédé de construction géométrique s'appliquera encore. Il faudra, pour qu'ils soient réels, que l'on ait

5=-+-4or>o.

156. Application aux lentilles accolées. — Les diverses formules que nous venons d'établir peuvent évidemment s'appliquer

ClIAP. X. — SVSTKAIKS DE LENTII.LKS KP.VIS8ES. 261

à des lentilles accolées en faisant e< = o : elles nous fourniront ainsi un procédé de calcul des éléments de pareils systèmes, qui sera d*un emploi beaucoup plus commode que le procédé direct. Dans le cas de deux lentilles accolées, les formules générales deviennent

y\ = .37i {JC^ — J7j )

(85) { yt — Jc\-\- {x^— x\)

r ff

157. Cas de combinaisons plus complexes. — Les combinaisons les plus complexes qui se présentent dans les objectifs ne comprennent que trois lentilles, simples ou composées, séparées par des lames d*air. On en groupera d'abord deux, dont on calculera les éléments comme nous venons de le dire; puis, ce premier groupe une fois étudié, et pouvant être considéré comme une lentille complexe, on le combinera avec la dernière lentille. Le procédé s'appliquerait d'ailleurs de proche en proche à un système quelconque.

Nous avons donc les moyens de calculer tous les éléments d'un objectif de Photographie quelconque en fonction des rayons des surfaces, des indices de réfraction et des épaisseurs, tant des lentilles que des lames d'air.