I. - ABERRATION DE SPHÉRICITÉ
163. Aberration d'une surface sphérique. — En établissant la relation des foyers conjugués pour une surface sphérique (§83), nous avons trouvé que les distances au point I, où un rayon lumineux rencontre la surface, des points V^ et Pj, où il coupe l'axe principal avant et après sa réfraction, sont respectivement
P,1 = V/'^(a>«-H4-vK'-70 > Pi et/>2 étant les distances au sommet des points P< et Pt, R le
Fig. 127.
rayon de la surface, et^ la distance IM du point là l'axe (^^. 127) Nous avions d'autre part établi la relation
PJ ^ /Il ( />i-R) P,l /i,(/p,~R)'
CHAP. XII. — AUERRATIONS. -iGg
et, dans une première approximalion, nous avons supposé que l'on pouvait confondre P|I avec p^, Pjl avec pt, négligeant ainsi y^ par rapport aux autres quantités.
Nous allons pousser plus loin l'approximation, en ne négligeant plus que^* et les puissances supérieures dey.
Calculons ce que devient alors Pj I par exemple.
Nous pouvons l'écrire
Développons d'abord (R' — ^*)' suivant les puissances croissantes de y, d'après la loi du développement du binôme,
(Rï vni = R i yî ± iy* — -4-
d'où
\ni
De même
et l'équation des foyers conjugués devient
d'où Ton tirera une valeur de/?2 un peu différente de celle que nous avions trouvée.
SECOND li PARTIli.
164. Aberration d'une lentille mince. — S'il s^agit d'une lentille, on établira une équation semblable pour la première surface.
Px—
^R. pJ
p, — til
puis une autre pour la seconde surface,
jk 7j l\
>,-R; n ^' 2 \l\, pJ
^ 2 vu, /.;
On résoudra la première équation par rapport à jj^ dont on portera la valeur dans la seconde, et l'on aura ainsi une relation entre /?2 et />|.
165. Aberration principale longitudinale d'une lentille mince.
— Examinons le cas d'une lenlillc plongée dans l'air et recevant un faisceau de rayons parallèles à Taxe.
Nous avons trouvé, pour définir la distance focale principale, en nous bornant aux rayons centraux, l'équation
y-^-in-^){i;~-^J-
Cherchons la distance à la lentille du point de concours des rayons formant autour de l'axe un cylindre de rayon j>'.
Nous devons alors faire /?, = 00 et rii = n2^= i dans les équations (90) et (91}. Nous nous servirons, pour la commodité des calculs, d'un changement de variables indiqué par Herschel.
Nous poserons
\ ~[. — ~> ■~^— '^lï "~ — î^si rr- — Pli 77- — Pt> — — 'W,
ClIAP. XII. — ABERRATIONS.
Les équations (90) et (91 ) deviennent
et
rr 0,
ï/«(pi— TT,)
-^2 Pî
Considérons d'abord la première : multiplions haut et bas, dans le premier membre, par 7:^^ cj ,
w-(p, — tu)
O1 -JT TT, /?, TT '
M-(p,-— ir, )
TT
puis, multiplions les deux membres par — »
En faisant /i| = i et zi == o, c'est-à-dire /?, = oc,
pi — TT — pi m [l — TU w»(p, — z)].
Dans le terme en w-, qui est petit, remplaçons x par la valeur approchée que l'on obtiendrait en négligeant dans l'équation même le terme en w-, c'est-à-dire
On obtient ainsi
•jTznp, — p,m[i — w2pi(i — m)[pt — p,(i — m)], {96) r. = ^i[i — m)(i-^m'ii^p]).
L'équation (94) nous donne d'abord, en multipliant haut et bas le premier membre par 'ïr;:ap2, puis multipliant les deux membres
par — et faisant /la-- i,
TZ
ËflcctuoDS la division, daas le second membre, en négligeant les termes où ii entre à une puissance supérieure à 2.
Dans le terme en w-, remplaçons 1:2 par la valeur approchée obtenue en faisant dans Féquation même u^=o, c'est-à-dire
^2=p2— - (?2— Tt).
L'équation devient alors successivement
(07) 7r,=:pj(l ) 1 7:
Introduisons dans celte équation la valeur de 7: en prenant, pour le second terme, la valeur complète, donnée par l'équation (96),
CHAP. XII. — ABEURATIONS. ^73
et, pour le terme en w-, la valeur approchée tirée de cette équation en y faisant u^==z o. Il vient
zz: (^^ — I j (pi — c,) -h m(i — m) w«pî
"^ m(^ ~ ^ j"'[(p«— Pi)'-+- 2(p,— p,)pim 4- pîm»] [(?«— pi)^ + Pi''*J'
np»— Pi)'^^^-(P«— ?i)'Pi'^"^2(p,-p,)p;m*4-pî/wM L -H2(p,— pi)*pi-+-(p,-~pi)pî/« J
l(pt— pi)';^ + (p>— pi)'pi(2 + 'w) + (?i— pi)?^^»»'^^) .
[(pi— Pl)'^+(P»— Pl)pl(2H-^")+PÎ(2'»'+'«)l.
et enfin
[pjH-p,p,(w^H- 2/71 — 2)4- pî(2m'— 2m -h i)].
Nous avons appelé /la distance focale principale relative aux. rayons centraux, et nous avions, /étant la valeur de — />, quand p^ est = oc,
Appelons fa la distance focale principale relative aux rayons marginaux; nous aurons, fa étant la valeur de — 7C2 donnée par Téquation (98),
(99) ^=\.^ -':-i-^w»[pî-hpip,(m«4-2m- 2)-+-pJ(2m'— 2m-+-i)],
Ja J J "*•
OU, en désignant par N le polynôme compris dans la parenthèse,
fa J \ M- /
et si nous efTecluons la division en négligeant les termes en u de degré supérieur à 2,
où enfin.
en
remarquant que
et
et
posant
Mz=
(100) /a-/(î-Mj»).
Nous appellerons aberration longitudinale principale la distance/ — fa du foyer des rayons centraux à celui des rayons marginaux; en la désignant par a,
166. L'aberration ne peut pas être nulle. ^ Il faudrait, pour que l'aberration fût nulle (aux termes eny^ près),
c'est-à-dire que les rayons d'une lentille d'aberration nulle devraient satisfaire à l'équalion
( - ) -h — ( m'^ -f- 2 m — 3 ) -I- îi /n' — 2 /7i -h I ^ o:
\Pi^ Pi
pour que cette équation ait des racines réelles, il faut que
c'est-à-dire m > 4 ou ^ < / •
Comme il n'existe pas de substance ayant un pareil indice, la lentille d'aberration nulle, ou aplanétique, n'est pas réalisable, du moins avec des faces sphériques.
167. Lentille d'aberration minima. — Nous pouvons d'ailleurs chercher à réaliser une lentille où l'aberration soit aussi petite que possible : il faudra pour cela que la dérivée de M s'annule.
Soit une lentille de foyer donnée/: nous avons
Nous pouvons poser comme seconde condition, pour déterminer complètement pi et p2) que l'aberration soit minima. Pour cela nous égalerons à o la dérivée de M, ou de
pî -+- pi Pî (m= -i- 2m — 2) -hpj (2m' — 2m -f- 1).
Prenons la dérivée par rapport à p^ par exemple : il vient
2p, -j [-pi(m^ -h 2 m — 2)
"Pi
H- pi ■— ^ ( m* -h 2 m — 2 ) H- 2 pi ( 2 m^ — 2 m -h i ) == o. ap,
Mais comme l'équation qui définit/,
y- -(/î — lUpi — Ps)' nous donne
il reste
2pj 4- pî(m' -i-i2m — 2)H-pi (m* -f- 2m — 2) -h 2p, (2m' — 2m -+-i) r=o,
Pj ( 2 m H- m' ) -t- p, ( — 2 m 4- m* H- 4 'w^ ) — o,
, , Pî 4yy?'-f-m— 2
376 SECONOK PAItTIE.
et les rayons des deux faces, pour une lentille de foyer/, d'indice donné n et d'aberration minima serqnt complètement définis par les deux relations
(io3)
168. Aberration latérale. — Nous appellerons aberration latérale de sphéricité le rayon du cercle suivant lequel le plan focal principal des rayons centraux coupe le cône des rayons marginaux. Cest le rayon de la tache lumineuse que donneraient sur un écran placé au foyer principal les rayons réfractés correspondant à un
Fig. 128.
faisceau de rayons incidents parallèles à l'axe principal : soit b celte aberration latérale.
La similitude des triangles EFF^ et YOP^ donne {fig- 128)
y ta
/U-Mj*)'
ou, en négligeant les termes en y^^ (io4) bz.My\
169. Caustiques. — Nous allons traiter un peu plus complètement le problème dans un cas simple, celui de rayons parallèles réfractés par une surface sphérique.
Soit une surface sphérique concave, de centre C et de rayon R :
soit rii rindice du premier milieu, /?2 celui du second et /i^ > «a par exemple.
Soit un faisceau étroit de rayons intéressant un petit élément de surface w.
Nous allons grouper successivement les rayons de deux manières différentes ; d'abord en séries cylindriques ayant, pour axe, celui des rayons de la sphère qui est parallèle à la direction des rayons, soit CN (/ig- 129); puis en séries planes comprises dans des sections
principales, c'est-à-dire dans des plans passant par CN ; les traces des premières séries sur la surface étant ainsi normales à celles des secondes.
Considérons d'abord l'une des premières : tous les rayons qui la composent, étant situés de façon identique par rapport au rayon CN de la surface, se couperont, après réfraction, en un même point M de CN : nous allons déterminer ce point. Soit LI l'un des rayons considérés ; nous prendrons comme plan du tableau le plan comprenant LI et CN. Pour ce rayon et pour tous les autres de la même série, l'angle d'incidence sera le même, soit a;%de même l'angle de réfraction, soit p.
Dans le triangle CIM, nous avons
CM sinp /i,
liVl sina /^2'
donc ce rapport est indépendant de 2; et lorsqae a variera, le point I demeurant fixe, le lieu du point M sera le lieu des points dont les distances à C et à I sont dans le rapport constant
— i-- Posons
Prenons sur CI les deux points faisant partie du lieu ; soient A et B;
nous avons
