Une équation différentielle de la forme

jW/7+?^=/(^ + 7/) {d)

exprime une relation entre la normale et la distance de l'origine au point où la normale rencontre l'axe des abscisses. Par la différentiation il vient

(i+7'"+7/0[^7=;-/'(*+xr')] = o,

d'où les deux solutions On tire de la première

298 LIVKE Yl. CHAPITAË V.

a désignant une constante arbitraire ; et la valeur de/ qui s'en déduit, substituée dans la proposée, donne Fiatégrale générale

V/(x-«).+7I=/fl, (3)

qui est l'équation d'une série de cercles, ayant leurs centres sur l'axe des x^ et dont les rayons ont avec les distances des centres à l'origine des coordonnées la relation indiquée par le signe /.' Il est clair que l'enveloppe de ces cercles satisfait à la question géométrique qui consiste à déterminer une courbe au moyen de la relation exprimée par la proposée. L'équation de l'enveloppe est précisément l'intégrale singulière qui résulte de l'élimination de y entre les équations (é/), (<^'a), ou, ce qui revient^ au même, à cause de l'équation (2), l'équation résultant de l'élimination de a entre l'équation (3) et sa dérivée par rapport à a

492. Les coordonnées Ç, t) du centre de courbure d'une courbe plane étant données [190] par les formules

si l'on assigne l'équation de la développée.

<p(Ç,ti) = o, ou -n—f^, (f)

les coordonnées x^j- de ses développantes devront satisfaire à l'équation différentielle du second ordre

Pour intégrer cette équation, on la difFérentie d'abord par rapport à la variable indépendante x, et l'on voit que réquation dérivée peut prendre la forme

|,+/r-[.-ai+2:2]j=„,

dx de sorte qu'elle se décompose en deux autres

La première a pour intégrale

6 désignant une constante arbitraire ; et par conséquent, d'après l'équation (a),^ l'on a aussi

pourvu que la nouvelle constante a soit liée à b par la relation

i = fa. (d)

Les équations (b) et (c) donnent

X — « + (/ — *y = o; d'où, par une nouvelle intégration,

Cette dernière équation qui renferme deux constantes arbitraires a, c, et une troisième constante b^ liée' à a en vertu de l'équation (d), est donc l'intégrale complète de 1 équation (a). Cette intégrale complète représente évidemment l'un quelconque des cercles osculateurs de l'une quelconque des développantes de la courbe proposée (f ), ou plutôt le système de tous ces cercles osculateurs.

Si maintenant on élimine la quantité ^ entre les

équations (a) et (a,), ce qui est censé possible quand la fonction f est donnée, on a une équation en x^y^f qui est une intégrale première singulière de l'équation (a). Par une intégration subséquente on introduit une constante arbitraire A, et l'on a en x^y^h l'équation des développantes de la courbe proposée, laquelle ne doit en effet contenir qu'une seule constante arbitraire, puisque chaque développante est déterminée dans son tracé quand on a assigné arbitrairement la longueur de son rayon de courbure, pour un point de cette développante correspondant à un point donné sur la développée. Chaque développante est la ligne de contact d'une série de cercles comprise dans l'étendue de l'intégrale générale (e), et même elle a avec chacun des cercles de Gtiie série un contact du second ordre.

Le calcul de l'équation de la développante se ramène à une simple quadrature au moyen des formules rfp z=z l/^M^^, (Ç — :c)rf$+(t)— 7)Ai==prfp,

(ç— xyYï— (t) — j)rf5 = o,

dans lesquelles p désigne le rayon de .courbure de la développante, et dont les deux premières ont été établies au n"" 191, la troisième résultant évidemment de ce que le rayon de courbure de la développante est tangent à la développée. On en tiré

Quand la fonction f est particularisée, et que la quadrature indiquée dans l'expression de p est effectuée,

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 301

il suffit d'éliminer ^ entre ces deux dernières équations pour avoir en x^r^h l'équation des développantes. En d autres termes, la détermination de Téquation des développantes dépend uniquement de la rectification de la développée, comme cela doit être d'après la propriété caractéristique des développées.

493. Il résulte du n^ 284 que le système des projections des lignes de courbure d'une surface sur l'un des plans coordonnés s'obtient par l'intégration d'une équation différentielle {i) commune à toutes ces projections. Si l'on prend pour exemple l'ellipsoïde à trois axes

inégaux

l'équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan xj est

A^77'' + (^*— Ar^— B)/— ^=0, {e)

oîi l'on a fait pour abréger

On différentie l'équation (e), et il vient après réduction

(2A^j/+ ;r*— Aj»— B)/'-h (A/»-4. i) (^/— 7)= o. Si Ton remplace le polynômes* — A/^ — B par sa valeur tirée de (e), l'équation précédente ^prend la forme

d'où les deux solutions

Occupons-nous d'abord de la première qui donne

et en intégrant deux fois de suite,

j- = aar-4-p. (5)

On aurait pu se dispenser de la seconde intégration et éliminer jr' entre les équations (e) et (4)? conformément à la méthode que nous avons suivie dans d'autres cas. Il vient par ce calcul

Aa:V+(a:'— A/* — B)a— 7* = o; (6)

et en comparant le résultat à l'équation (5) on en conclut

^ Aa+i a\l^—c')aL+b\a^ — cy ^^'

mais, pour simplifier, on peut retenir la constante ^.

Soit (x^^j'^jZo) un point de l'ellipsoïde par lequel doit

passer une ligne de courbure déterminée : l'équation (6)

donne

Admettons maintenant qu'on ait a>b>Cy ce qui rend positives les constantes A, B : les deux valeurs de a données par l'équation (8) seront réelles et de signes contraires; à la valeur positive de a correspondra une valeur négative de p en vertu de l'équation (7); enfin à la valeur négative de a correspondra une valeur positive de p, car on a

=:c;+ A/î+B— v/(x2+Ar:+B)>— 4Bi:2 ; (9}

en sorte que le dénominateur Aa-|-] qui entre dans Tex-

pression de p, reste positif pour les valeurs négatives de a. On conclut de là que les projections en xj des deux lignes de courbure qui se coupent à angles droits sur l'ellipsoïde au point (x^^j^^ z^), sont une ellipse et une hyperbole rapportées au même centre et aux mêmes axes : Taxe transverse de l'hyperbole se confondant avec celui des x. En vertu de cette remarque, si l'on pose

-= — ^%p=:± Y)% les quantités Ç, y) sont toujours

réelles : la double série des projections des lignes de courbure coïncide avec la double série des ellipses et des hyperboles données par l'équation

et les lignes $, tî , ou les demi*axes de ces courbes, se trouvent liées par l'équation (7) qui devient

et qu'on peut construire au moyen d'une hyperbole et d'une ellipse.