CHAPITRE VI

DE L INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES,

502. Considérous, comme dans le n** i65, un système de V équations entre la variable indépendante t^ les vvariables ^,jK,3, . . . qui dépendent de ^^ et leurs dérivées x'y^z\. . .x'y\z" . . .etc. : le problème de l'intégration des équations différentielles simultanées consiste à tirer d'équations qui se présentent sous cette forme les valeurs de x^jr^z. . . ., en fonction de t, en donnant à ces valeurs toute la généralité qu'elles comportent, par l'introduction d'un nombre convenable de constantes arbitraires. Pour fixer les idées sur une application, imaginons des points matériels en mouvement dans l'espace, et qui exercent les uns sur les autres des actions attractives ou répulsives, variables avec leurs distances mutuelles; désignons par t le temps; par r,j,z; a;„^„3,, etc., les coordonnées des points mobiles : les variations infinitésimales des vitesses dépendront des forces auxquelles les points matériels sont soumis, et par conséquent des coordonnées en fonction desquelles s'expriment leurs distances mutuelles; les vitesses mêmes s'exprimeront par les variations infinitésimales des coordonnées; et sans qu'il soit besoin d'entrer dans des développements qui appartiennent à la mécanique, on conçoit que toutes ces liaisons doivent conduire à des équations où entrent à la fois les coordonnées des points

mobiles et leurs coefficients différentiels, pris par rapport au temps. Il s'agit d'en tirer les valeurs des coordonnées en fonction du temps , puis d'éliminer la variable t^ de manière à avoir des équations entre x^y^z\ .r„ jTi, 2„ etc., qui sont celles des courbes décrites dans l'espace par les points mobiles. La plus belle question de la philosophie naturelle, la théorie des mouvements planétaires, se trouve ainsi ramenée à un problème d'intégration qui porte sur des équations différentielles simultanées.

503. De quelque manière que l'on obtienne le système des équations intégrales, ou le système des équations en t^x^y^ z, etc., qui satisfait aux équations différentielles proposées , ce système , pour avoir le même degré de généralité que le système proposé, doit contenir un nombre déterminé de constantes arbitraires, nombre qu'on assignera sans difficulté, dans chaque cas particulier, par des considérations analogues à celles qui ont été présentées au n** 465.

Prenons deux équations

f,{t',x,x\ oK-x) ; j,/, . . . .jK)) =o ; (/-)

et examinons en premier lieu le cas où l'on aurait 7;2>/7i„ n<n^. Si, pour une valeur de t que nous désignerons par tôt on se donne arbitrairement les valeurs ^correspondantes

x^,x\y jt/^-O ; Jo , j'o , jo("x~0 , {p)

on tirera de l'équation (/*) la valeur de Xo^'*\ de l'équation (/i) la valeur de jKo^"'^, et de leurs dérivées suc- <.»essives les valeurs de

^o<'"+'^^o^'"^■'^ etc.; jo^»x+x), j^(«x+>) ^ etc. On pourra donc construire, par la série de Taylor, les

ÉQUATIONS DIFFÉREI^TIELLES SIMULTANEES. 319

valeurs de Ji\y en fonction de tj qui contiendront les constantes arbitraires (o), en nombre m -h «,. Donc, sous quelque forme qu'on obtienne les deux équations intégrales par lesquelles sont déterminées les valeurs de .r,^ en fonction de t^ il est essentiel que ce système d'intégrales renferme m -f-/i, constantes arbitraires, telles que le système des quantités [o) puisse se déduire des valeurs de ces constantes, et réciproquement.

Le raisonnement serait encore le même si l'on avait à Ja fois m=m^^ n=n^^ ou si l'une seulement de ces égalités subsistait.

Mais si l'on avait à la fois m>m^^ n>n^,\e calcul ne pourrait plus se faire de la même manière. Admettons, pour fixer les idées, que l'on ait

77Î + /2, > m^-\-n j ou m — /w, > n — «, : on différentiera Al- — /«, fois l'équation (y^), ce qui donnera

fm a:,x\.... ^("^+');7, j', .... /»>+*)) =0,

Au moyen des valeurs initiales (p\ en nombre m + n^j on déterminera par les équations (/), (/) et {//) les valeurs de

^ (m) . ^ (hj) /y. (wi+i) /y. (n) .

ensuite, les dérivées successives de l'équation (^f) et de la dernière équation {f\) détermineront de proche en proche les valeurs de

^^(m+i)^ ^^(m-ha)^ etc. ; /o^''+'),/o^''+*>, etc. ;

et l'on pourra construire les valeurs générales de .r, y par la série de Taylor, comme précédemment. Donc, dans tous les cas , le système des intégrales complètes

des équations {f)y (/,) doit renfermer /w4-/^^ constantes arbitraires : m-hn^ étant le plus grand des nombres

504. Nous savons [i65] qu'il est toujours possible de tirer d'un système d'équations différentielles, en même nombre que les fonctions .r, ^, z , etc. , de la variable indépendante t^ une équation finale qui ne contiennne que ty X et les dérivées de x par rapport à t. Ainsi le problème de l'intégration d'un système d'équations différentielles simultanées peut toujours se ramener à l'intégration d'équations différentielles ordinaires, entre deux variables. Ordinairement il suffit d'intégrer l'équation différentielle finale entre ^ et :i: : les valeurs des autres variables ^, 2, etc., en fonction de t sont données par de simples éliminations algébriques ; et dans ce cas le nombre des constantes arbitraires qui doivent entrer dans les intégrales complètes du système proposé, marque l'ordre de l'équation finale en t et x. Mais il peut arriver aussi quejr'^"... s'en aillent avec/, dans le calcul d'élimination qui conduit à l'équation finale, dont l'ordre se trouve en conséquence abaissé. Après l'intégration de celle-ci, on a à intégrer, pour déterminer la valeur de jr en t^ une équation de la forme

Les constantes arbitraires, amenées par cette nouvelle intégration, complètent le nombre des constantes qui doivent figurer dans les intégrales générales du système proposé. Une discussion plus minutieuse des différents cas possibles compliquerait l'exposition de cette théorie, sans utilité réelle.

505. On peut, dans certaines circonstances, sans avoir besoin de former l'équation finale, intégrer co/?yb//?//?me/ï^ des équations différentielles simultanées, Loi'squon

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES. 321

a, par exemple, entre trois variables x^y ^t deux équa^ tions linéaires du premier ordre, il est toujours possible de les mettre sous la forme

;r'-hPj: + Qr = V, /-hP.^ + Q^ = V.j P, Q, V, P„ Qx, V, désignant des fonctions dé la variable indépendante U Multiplions la seconde équation par un facteur \ fonction de la même variable t^ et faisons l'addition membre à membre avec la première équation : il viendra

^'4-Xr'-f-(P + XP.W + (Q + >Q07 = V + XV,. Posons w= a; -4-^^, u désignant une autre variable auxiliaire: nous aurons £ ^\y-=.u! — /V, eten substituant, li' + CP+XPO«— ^ [x'+X(P+XP J— (Q+XQ J] =V-+.XV. . Si Ton détermine la fonction \ de manière à satisfaire

à l'équation

V+X(P+XP.)-(Q+XQ:) = o, {a)

laquelle ne renferme que \ et ty il n'y aura plus qu'à substituer cette valeur de X dans l'équation

ii' + (P-i-XPJii = V-+.XV,, (6)

oïl n'entreront alors que les variables u et t^ et qui est linéaire par rapport à u.

Lorsque les coefficients P,Q,Px, Q, sont constants, on satisfait à l'équation (a) en prenant pour \ l'une des racines X„X, de l'équation du second degré

X(P + XP.)— (Q+XQ,)=o. . («)

Substituons successivement ces deux racines à la place de \ dans l'équation (B) ; désignons par </„ u^ les valeurs correspondantes de ^, et par Cx,C, des constantes arbitraires : l'intégration donne \l\l\ô\

u^ =x + \y = ér-(>»+XxP,> [C. +fdt (V+X. V,>(^+X«ï*x)'] , (i^)

«.=a:-i-X^=^-(m.p.)'[C.-|-/rff (V+X.V.)^^+^-P«)'] ; (^0

T. II. ai

On change, comme à l'ordinaire, les exponentielles en sinus et cosinus, si les racines de (a) sont imaginaires.

En cas d'égalité des racines X„ \y les valeurs de x^y deviennent infinies, à moins qu'on ne pose Ci=C2, ce qui les met sous la forme ^\ mais on lève Tindétermination comme on l'a fait dans un cas semblable [463], en prenant les dérivées des numérateurs et des dénominateurs par rapport au paramètre X,, après quoi Pou pose dans ces dérivées X, = X,.

506. Admettons maintenant que l'on ait trois équations linéaires du premier ordre entre x^y^ z et la variable indépendante t : on pourra toujours les ramener à la forme

ar'-4-Par +Qj+IU i^V,

z' + V^ -h Q^ + R.z= V, , P,Q, R,V;P„ etc. désignant des fonctions de t. Si l'on fait l'addition membre à membre, après avoir multiplié la seconde par un facteur X et la troisième par un facteur jx, il viendra

H- (R-h XR,4- jxR.) ^= V -h XV, -H fxV, . On fera ensuite

'«? + V+H^ = "> ^'^^ or'+X/' + t^zr:!*' — jrk' — V» et par la substitution ,

U'+ (P + XP^4.j;,P,)tt

-7[X'.fX(P + XP.+^P,)(Q+XQ.4-fiQ0] — z[l*'+KP+AP. H-H^P.) — (R+.XR,-h,tR,)] =:V+XV,-hfxV, .

. EQUATIOlfS DIFFÉBENTIELlBS Sf BIlTLTÀiniES. 323

Il est permis de disposer des fonctions X, p. de mmnîère à satisfaire aux équations

(iL'+i.(P+XP, + iAP.)— (R-+-XR,+fxRO=:o.j ^""^ Quand elles pourront s'intégrer, on en tirera les valeurs de X, [JL en fonction de t pour les substituer dans la troisième équation

w'+(P-PXP.+ (*P,)«=V-hXV, + jxV,, (rf)

où n'entreront plus que les variables u et ty et qui est linéaire par rapport à u.

Admettons, comme plus haut^ que les coefficients P,Q, etc., se réduisent à des constantes : on satisfait aux équations (c) en prenant pour X,[jl les racines des équations numériques

X(P-|->P,^.^*p.)(Q-HXQ. + JxQ.) = o, |it(P-hXP.-l-(AP,)— (R+>R,+ttR,) = o .

Afin de faciliter l'élimination, nous poserons

P+XP,+fxP. = i7i, (e)

ce qui donne

X(m QJ j.Q,=Q, |*(m— RJ-XR,=R . (^0

Les valeurs de X, [jl, tirées de ces équations linéaires et substituées dans l'équation {e) , conduisent à l'équation finale en m

(m-P) (91-Q.) (m-R.)-Q.R.(m-P)-P.R(m-QJ -P,Q(i«-R.)=P,Q,R+P,QR. .

Celle-ci étant du troisième degré, a trois racines m^yin^^iy auxquelles correspondent pour X, (x., en vertu des équations (^'), trois systèmes de valeurs X^jx.,; X„|x.,; X3,(jl3. L'équation (d) devient

w' 4- iii«== V -4- XVx + f*V, :

en y substituant succe^ivement pour m^\^ les trois

324 LIVRE Vf. GHAPITEE VI.

systèmes de valeurs dénotés par les indices (i), (a), (3), et en intégrant, on obtient les trois (équations

^ + ^3/ + H^s2= «-"»' [Cs^/rf^ (V + X3V, + |i.3V,)^i' ] ;

d'où il est facile de tirer x,jr,2 en fonction de t et des constantes arbitraires C^C^Ca. Rien nj serait plus simple que de généraliser ce calcul , en l'appliquant à un système d'équations simultanées, linéaires et du premier ordre, renfermant un nombre quelconque de variables. 507. On peut aussi y dans le seul cas qui se prête généralement à une intégration effective, celui où les coeflBcients P,Q,. .-, Pi,Q«,. • • e^^-» ^^^ ^^s nombres constants, donner au calcul une marche synthétique^ plus analogue à celle qui a été suivie [455 et suîi^.] pour les équations différentielles linéaires, à coeflBcients constants et à deux variables seulement.

Soit d'abord

y + Par + Qj+Rz-l- -+-Utt=o, \

y-hP.a7+Q^ + R.2+ +U.K=o, i

^'+P.^+Q.7+R,^+.....+U,tt=o, \ (g)

un système de n équations , sans derniers termes et à coefficients numériques, entre les n variables ^,jr,2, . . .«, fonctions de t^ et leurs dérivées du premier ordre : on aperçoit la possibilité d'y satisfaire par un système de valeurs particulières

JF=zz G^"' , J= XCe-"' , 2=:(iCtf~"»' , M = wO-* ,

C désignant une constante arbitraire, et X,{x,. . . u des nombres donnés par le système des n équations algé-

£QUATIOJfS DiniÉRSJifTlSLtSa SlUVhTJLVÈBS. 325

briques

P +xQ+H^R+..,,.+uU=m,

Px+XQ.4-H^R,+ +uU,=X/« ,

P. + >^Qa + KR,+ -f-wU,z=fx/n,

P„-,+XQ^, + fxR^, + -f-uU„-., = u/« .

On peut substituer, dans la première de ces équations, les valeurs de X, (x,. . .u en fonction de m^ données par les autres équations du même groupe, en nombre n — i ; et, d'après la règle de Bezout , ces valeurs sont exprimées par des fractions dans lesquelles m entre au numérateur à la puissance n — ï2, et au dénominateur à la puissance n-^i : donc l'équation finale en m est du degré n. Ses racines étant désignées par m^^m^j. . ./7i„, et les mêmes indices afiectant les valeurs correspondantes deX,pL,. .u,C, on a pour les intégrales complètes du système {g\ .

:r= C,«--«' + C,«-"> + 4- C^er^ ,

^=\C,e— i' + X.C,ir-.'+ .... +\C^€r^nt ^

Supposons maintenant qu'il y ait aux seconds membres des équations '{g) des fonctions de t désignées par V,V„ Va,. . . V„, : les équations (^,) seront encore les intégrales générales du système, pourvu que les facteurs C„C„. . .C„ désignent, non plus des nombres constants, mais des fonctions de t qui satisfassent aux équations

\C\er--^'+\G\e--''+ +\fi'^er--ni —y. ,

y^G\er^''+ (*.€>--•' -h + ^G^er'^-' =* V, ,

On tirera de ces équations , par une élimination brdinaire, les valeurs des dérivées C^,C'„. . .C'„, et par des quadratures subséquentes les valeurs des fonctions C,y €,,...€„ y qu'il faudra ensuite substituer dans les équations (^,).

508. On a vu qu'on peut éliminer une variable d'un système d'équations différentielles simultanées, en substituant aux. proposées des équations différentielles en inoindre nombre , mais d'un ordre plus élevé [i65]: réciproquement on peut abaisser l'ordre d'une ou de plusieurs des équations proposées, en se donnant à intégrer simultanément un plus grand nombre d'équations différentielles. Ainsi l'intégration du système des deux équations linéaires du second ordre

/'+py+QyVRx^-hS.r=v,,

peut être ramenée à dépendre de l'intégration simultanée des quatre équations linéaires du premier ordre entre les variables a:,^,Ç,Yi,^ :

Donc les calculs qui précèdent sont susceptibles de s'appliquer à l'intégration simultanée des équations linéaires d'ordres quelconques.

509* Désignons par

/(^f^,rj«i \x%f^^'^ )=07 ]

un systènte de n équations difiierentielies simultanées du

EQUATIOirS BIFFÉRENTIELLBS SIMULTANÉES. 327

premier ordre, et par

le système de leurs intégrales complètes, dans lesquelles les constantes a, a.,. . «^11^x9 introduites pat* Tintégra^ tion, se trouvant combinées d'une manière quelconque. En général^ on peut , par une élimination dirigée convenablement, transformer ce système d'équations dans un autre

fx(^;^,7, 2i, .... ; ai)z=zo ^

équivalent au précédent, et qui jouit, comme celui-là ^ de la propriété de satisfaire au système ( /) avec toute la généralité requise. Si maintenant on détermine «,a„. . .On^t en fonction de /; x,^,2,. . .par les équa* tions

et qu'on substitue les valeurs > ainsi trouvées dans les équations ( f ), on forme d'autres équations

>n-x(^;^jr>^» )=o, )

qui, prises ensemble, satisfont au système (/), mais en qualité d'intégrales singulières ; à moins que, par accident, les valeurs de a, «,,... a^x? tirées des équations (f '), ne se réduisent à des constantes^ ou à dee fonctions de

328 LIVBE VI. -^ GHAFITBJE VI.

/; a:^,z, . . .qui prennent elles-mêmes des valeurs constantes, en vertu des équations (ç).

Au lieu de prendre à la fois tout le système (f ) ou tout le système (f ), on pourrait remplacer, partiellement certaines des équations (f) par leurs correspondantes dans le système (9), c^est-à-dire f^ par f,, et ainsi de suite. On formerait ainsi des systèmes mixtes^ qui satisfont encore à leur manière au système des équations différentielles proposées.

Cette analyse s'étendrait, s'il était nécessaire, aux équations différentielles simultanées , d'ordres quelconques.

510. Pour donner un exemple d'intégration simultanée dans le cas où les équations différentielles* proposées ne sont pas linéaires , et pour indiquer en même temps l'application qu'on peut faire de la théorie des intégrales singulières aux équations différentielles où toutes les variables sont mêlées, prenons les deux équations du premier ordre à trois variables

{xy + xxJ^%ta^y=:o, (1)

xjr — t ( x/ — a!y) = o . (a)

En les diffërentiant on a

Si Ton tire de la seconde de ces équations dérivées la valeur de xj pour la reporter dans le second membre de la première, on mettra celle-ci sous la forme

( xy+ ^xY + xy") ( x> + /a? — aO == o , (3) et on la décomposera dans les deux équations

xy+ -xx'y' -h^' = o , (4)

L'équation (4) équivaut à

EQUATIONS DlFF^RElfTIELLES SIMULTANÉES. 329

^^P = o , d OÙ xx=^at+b , (6)

a^b désignant deux coflstantes arbitraires.

Ces deux constantes ne sont pas indépendantes l'une de l'autre; car les deux équations (1)9 (^) doivent s'acr corder lorsqu'on eu chasse ^,jr' au moyen de l'équation (6); et l'on trouve que, pour rendre ces deux équation^

identiques, il faut poser A= — — -; au moyen de quoi

l'intégrale (6) devient

xy=at — -j^ (7)

Chacune des équations (i) et (a) donne ensuite adt dx

8^» — 'xat T^

d'où, en intégrant et en désignant par c une constante arbitraire,

xH-=ic{i^t~a) . (8)

En conséquence, le système des équations (7) et (8) donne les intégrales complètes des deux équations proposées (i) et (2).

On peut substituer à l'équation (8) une autre équation plus simple; car on en tire

tandis que l'équatioti (7) donne

^ ^' le 4"- i *

donc, si Ton désigne par a, une nouvelle constante ar^ bi traire, telle que aa, = 4c, l'équation (8) pourra être remplacée par

xt^a,y . (9)

Maintenant, si l'on emploie le second fecteur del'équa-

tion (3), et qu'on élimine x' ^f entre Féquation (5) et les deux proposées, il viendra

xy^t',* (lo)

intégrale singulière, puisqu'elle ne contient pas de constante arbitraire, et qu'elle ne peut pas rentrer dans l'intégrale (7), par une dét^mination convenable de la constante a. D'ailleurs la dérivée de l'intégrale (7) par rapport à a donne a=aA et cette valeur reportée dans l'équation (7) fait retomber sur l'intégrale singulière (10), conformément à la théorie exposée dans le n* précédent.

Au moyen des valeurs de^,j^', tirées de l'équation (10), les proposées se changent l'une et l'autre en X — 2j;'tizio, d'où, eu intégrant et en désignant par a une constante arbitraire,

a:' = ar . (n)

D'ailleurs il est aisé de voir que le système des équations (io),(i i) devient identique avec celui des équations (9), (iq), quand on pose a=«,.

511. Si l'on excepte les équations dififérentielles linéaires dans lesquelles les fonctions de la variable indé* pendante et leurs dérivées sont multipliées par des nombres constants , il est bien rare que des équations différentielles simultanées puissent s'intégrer autrement que par approximation. Dans certains cas, qt notamment dans les problèmes relatifs aux mouvements des corps célestes, on a donné à l'approximation une forme trop remarquable pour que nous ne l'indiquions pas brièvanent.

Afin de fixer les idées, soient

/ (^; X, x\ ai' ; J,/»/'» ....)=«>

EQUATIOtr^ DfFF^ltENTIELLGâ SIMÙLTAITEES. 331

deux équations entre le temps t et les coordonnées x,y d'un point mobile sur un plan. Admettons de plus que l'on ait

f>?>fît ?i désignant d'autres fonctions des mêmes variables et de leurs dérivées, et 8 un nombre très-petit : de sorte que, si l'on supposait ce facteur e tout à fait nul y les équations du problème se réduiraient à

Supposons enfin que le système formé de ces dernières équations puisse s'intégrer, et qu'il ait pour intégrales générales

F(^j,r,7;a,i,c,...)=z=o, F,(^;:p,7-;a,i,£?, . . . )=<>, (f) a^b^c^ etc., désignant les constantes arbitraires amenées par l'int^ration. Si l'on élimine t entre ces deux équations, on aura

Fo,x(*»/;«,*,c, )=o (yj

pour l'équation de la courbe que le point mobile décrirait sur le plan xy^ dans le cas où l'on pourrait supposer nal le facteur t.

Maintenant il sera permis de représenter encore par les équations [i) les intégrales générales des équations (A), dans lesquelles on ne suppose plus nul le facteur <, pourvu que dans les fonctions F, F, on regarde les paramètres a, é, c, etc., non plus comme des constantes, mais comme des fonctions de la variable indépendante ^, qu'il Êiut déterminer de manière à satisfaire aux équations {h). D'après l'hypothèse, celles-ci ne diffèrent des équations {h^ que par la pré&enoe de termes qui restent très-petits : donc on peut traiter comme de très-petifees quantités les dérivées ou les fluxions

332 LIVAB yi. GHÀPITHS VI.

da db do ,,.

qui s'évanouiraient rigoureusement avec e. Ordinairement il y a lieu de profiter de cette remarque pour simplifier les équations qu'il s'agit de traiter, et qui se trouvent substituées au système des équations proposées.

Dire que les fluxions {U) sont des quantités très-petites, c'est exprimer en d autres termes que les paramètres Ujb^Cj etc., varient très-lentement, ou conservent pendant un long laps de temps des valeurs sensiblement constantes. Donc, si l'on observait à une certaine époque le mouvement du point {x^j\ on trouverait qu'il décrit sensiblement la courbe donnée par l'équation (y), dans laquelle il faudrait attribuer à a, ^, c, etc., de certaines valeurs constantes. Au bout d'un temps considérable, si l'on répétait les mêmes observations, on trouverait encore que le mobile décrit une courbe de même espèce, mais pour laquelle les paramètres a,é,c, etc., ont des valeurs sensiblement différentes de celles que leur assignaient les premières observations ; et ainsi de suite.

Il ne faut donc pas voir seulement un artifice ingénieux d'analyse dans la méthode d'intégration par la variation des constantes arbitraires^ dont Lagrange a été le promoteur, et dont nous avons vu une application élégante à l'intégration rigoureuse des équations différentielles linéaires où les fonctions et leurs dérivées ne «ont multipliées que par des nombres constants. Elle aurait pu être suggérée par l'observation des phénomènes, à la représentation desquels elle s'adapte naturellement dans des circonstances comme celles qui viennent d'être définies.

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