Considérons en premier lieu l'hyperbole auxiliaire

a\a^—b^)^ b\a^—b') dont la construction détermine la série des lignes de courbure à projections elliptiques, comprises dans l'équation

Ç* peut croître depuis la valeur

"J?=43 fe)

juscju'à Tintini, et les valeurs correspondantes de yi^ sont

o, 00 . D'après l'hypothèse sur l'ordre de grandeur des lignes a,i,c, on a toujours yi* < Ç*, et toutes les projections elliptiques ont leur grand axe dirigé suivant les x ^fiS' 97)* L'ellipse se change en ligne droite et se codfond avec l'axe même des jc, lorsqu'on prend yj*=o. Elle se confond avec la section de l'ellipsoïde par le plan xy^ lorsqu'on fait t{^z=ib'^^ d'où $*=«'. Pour de plus grandes valeurs de yi* les ellipses données par l'équation (/), quoique toujours réelles, sont étrangères aux lignes de courbure de l'ellipsoïde.

Considérons à son tour l'ellipse auxiliaire

dont la construction détermine la série des lignes de courbure à projections hyperboliques

Ç' peut croître depuis zéro jusqu'à la valeur {g)^ tandis que 71* décroît depuis la valeur

jusqu'à zéro. L'hyperbole ( /j) se confond à la première limite avec l'axe des ^ et à la seconde avec l'axe des X.

Il résulte de cette double construction, que toutes les lignes de projection, elliptiques et hyperboliques, tournent leur concavité vers les deux points situés sur l'axe des Xj qui ont pour abscisses

et qui sont les projections sur le plan xy des quatre ombilics de l'ellipsoïde [aSS].

APPLICATIONS GléOMETRIQUES. 305

Nous aurions encore h discuter les solutions données par l'équation (e^); mais comme le coefficient A est positif 9 par suite de l'hypothèse, le facteur Aj-'^-^ij égalé à zéro, ne saurait donner de solution réelle; et

l'équation— ^=: o, combinée avec (/?), reproduit la solution déjà obtenue x=zo.

495. Si Ton avait supposé a<b<c, les coefficients A,B seraient toujours restés positifs, et rien n'aurait été changé à la discussion qui précède, si ce n'est qu'on aurait trouvé les grands axes des projections elliptiques dirigés suivant les^.

Il ne s'agit donc plus que de construire les projections des lignes de courbure sur le plan qui comprend le plus grand et le plus petit axe de l'ellipsoïde, et qui devient celui des a^ dans l'hypothèse

Le coefficient B reste positif; mais comme le coefficient A devient négatif, il résulte de l'équation (8) que les deux valeurs de la constante a sont toujours de même signe. Nous disons de plus qu'elles sont toutes deux négatives^ ce qui suppose l'inégalité

a*;— Ajî— B<o,

ou, par la substitution des valeurs de A,B,

Mais, de ce que le point (^o^^o^o) appartient à la surface de l'ellipsoïde , il résulte

(le signe < n'excluant pas le cas d'égalité) ; et si cette inégalité est satisfaite, la précédente l'est à fortiori y car

306 LIVRK VI. — CIIAIMTRK V.

les rapports

sont plus petits que l'unité, par suite de l'hypothèse sur Tordre de grandeur des lignes a^b^c. De plus, en vertu de l'équation (7) et des signes de A,B,a, la constante P est toujours positive.

En conséquence, on peut poser -=1: — Ç%B=z='»i*;de

sorte que la double série des lignes de courbure se confond avec la série des ellipses qu'on obtient en faisant varier dans l'équation

les paramètres ^,y) qui sont eux-mêmes les coordonnées d'une ellipse auxiliaire |

a^a^—b^y b\a^~b^) Le paramètre Ç' varie entre les limites

tandis que yi* varie entre les limites

Quand on prend ^*=o, l'ellipse (/i) se confond avec l'axe des /, et elle est allongée dans le sens des/

cCb^ tant qu'on a Ç*< — ^. Elle devient un cercle lorsque }^ atteint cette valeur, puis s'allonge dans le sens des X pour des valeurs croissantes de Ç*; se confond avec la section de l'ellipsoïde par le plan xy quand on a Ç^=a'; s'allonge de plus en plus, et finalement se confond avec Taxe des x quand ^ atteint sa limite supérieure, ou lorsque vi* s'évanouit [fig* 98).

Il reste à considérer la solution singulière donnée par

lequation

solution réelle à cause du signe négatif de A. La valeur ààjr qui s'en déduit, étant substituée dans (^), donne

3*(a* — c*)a:* it ^ab V/'(a>— c»)(c» — **) . xy + a\c^ — b'^)y^

et c^tte dernière équation se décompose dans les deux suivantes

bv^a^ — c^.xziza\/c^ — l,i,jr:= ab\/a^ — ^a, b\/a^ — ca.ordtal/^c» — b^'f= — ab\/a^ — ^a, qui sont les équations de quatre droites passant par les sommets de l'ellipse auxiliaire (lo). D'après la théorie des intégrales singulières, ces quatre droites doivent toucher toutes les ellipses données par l'équation {J^i)j comme on peut le vérifier en ayant égard à l'équation (lo) qui ne laisse arbitraire qu'un des paramètres ÇjYÎ.

La section de l'ellipsoïde par le plan xj^ étant l'une des lignes de courbure, touche les quatre droites qui viennent d'être déterminées, en quatre points ofi\d\o"\ qui sont précisément les ombilics de la surface. Car on trouve pour les abscisses de ces points

et dans cette formule, h désigne le plus petit axe de l'ellipsoïde, c l'axe moyen, en sorte qu'elle se confondrait avec la formule {K) si l'on désignait par b l'axe moyen et par c le petit axe, ce que ces lettres représentent en effet dans l'équation {K).

La solution — = o ne ferait que reproduire les solutions particulières 3C=o^ y=o.

ao.

308 LIVRE VI. GHAPITRf! V.

L'élégante construction des lignes de courbure de l'ellipsoïde a été donnée par Monge, et M. Leroy y a apporté un perfectionnement en tenant compte du facteur Ay'*-|-i pour obtenir directement la solution singalière, ce qui rentre au surplus dans la théorie gé* nérale.

496. Nous avons dit [277], et l'on pourrait admettre comme évident que la sphère est l'unique surface qui ait en tous ses points ses deux rayons de courbure égaux et dirigés dans le même sens. Afin de ne rien laisser d'essentiel à désirer dans cette partie importante de la théorie des surfaces, nous placerons ici la démonstration de la proposition que l'on vient de rappeler.

Les deux équations aux différences partielles qui doivent être satisfaites en tous les points de la surface dont il s'agit, sont [282]

{i+q')s—pqt==o, (i +p^)s—pqr=o; et elles peuvent être écrites sous la forme

djr ' dx

Dans l'intégration, il faut remplacer la constante arbitraire par une fonction arbitraire de la variable indépendante , autre que celle relativement à laquelle l'intégration s'opère, et ainsi l'on a

d'où

Mais l'équation de toute surface doit satisfaire à la condition d'intégrabilité

APPLICATIONS CJiOMliTRIQUKS. 309

et cette dernière équation doit se vérifier identiquement, c'est-à-dire indépendamment des valeurs de Xj y. Par conséquent, il faut qu'on ait

-r désignant une constante arbitraire. De là on tire en

intégrant '

"^ \/jt. (:C — «)» — (jr __ ^).

et en intégrant de nouveau

z — c = — v^k" — (x — û)>— Cr — *)>,

équation d'une sphère dont le rayon et les coordonnées (lu centre sont arbitraires.

497. On sait [ia6] que les projections en xy des lignes de niveau et des lignes de plus grande pente d une surface ont respectivement pour équations différentielles

;? + S7'=o, pf — y=o.

Cela posé^ si une famille de surfaces est caractérisée par une équation aux différences partielles de la forme

n^^y,2jz=zo, OL a /(.r,^,^')= o, pour lequatiou

différentielle des lignes de plus grande pente, commune à toutes les surfaces de cette famille.

Par exemple, les surfaces de révolution autour de Vaxe des z étant caractérisées [^54] par l'équation aux différences partielles /?/=<7.r, l'équation des lignes de

plus grande pente est xy^=^^ èiO\x.j:=cx^ c désignant une constante arbitraire; et en effet les lignes de plus grande pente se confondent avec les méridiens de la surface qui se projettent eu xjr suivant des lignes droites passant par l'origine.

De même les surfaces conoïdes droites [12 53]^ dont l'équation aux différences partielles est px==: — qy^ ont, pour l'équation difTérentielle des projections de leurs lignes de plus grande pente, ^y=ii — Xy d'où ^^-j^^zzzc'; c'est-à-dire que les lignes de plus grande pente, pour toutes les surfaces de cette famille, se projettent suivant des cercles dont le centre est à l'origine des coordonnées: comme on le conclut de ce que toutes les lignes de niveau sont des droites passant par l'axe des z.