Deux surfaces

qui ont un point commun {x,jr, z ) ont de plus en ce point un contact du premier ordre [iio3], quand les coordonnées Xyjr, z satisfont aux égalités

p=p,,q=q,, (il)

ou quand le plan tangent est le même pour les deux

surfaces , au point qui leur est commun. Si les égalités

r=r, , s:czs, , r=^, (12)

DE LA COURBURE DES SDRFiiCES. 467

sont en outre satisfaites, il y a entre les deux surfaces un contact du second ordre ou une osculation. En général le contact est dit du n^ ordre, quand toutes les dérivées partielles p^ q^ r, etc., fournies parles équations des deux surfaces, jusqu'à celles de Tordre n inclusivement , prennent les mêmes valeurs pour un même système de valeurs des coordonnées x^ y ^ z^ quelle que soit celle des deux surfaces que l'on considère.

Si les surfaces n'éprouvent pas de solutions de continuité de l'ordre /i -h i ou d'un ordre inférieur , et si Â;r, by^ \z désignent des quantités très-petites du premier ordre, la distance du point (a;+A^,jr+A;^,s-h A^} situé sur l'une des surfaces, à l'autre surface, est en général une quantité très-petite de l'ordre /^-|- 1 , quand le contact entre les deux surfaces est du n^ ordre. Nous omettons la démonstration de ce théorème , que l'on suppléera sans peine, en comparant le n"" ^^o aux n"^ ao3 et suivants.

Dans l'intérêt des applications géométriques, il nous suffira de considérer les contacts des deux premiers ordres , ou le contact simple et Toscuiation (').

291. Ayant mené le pian tangent à la surface (2) au point ( a;, ^, z)j coupons ta surface par un plan parallèle au premier. Pour plus de simplicité, on peut placer l'origine au point de contact, et faire coïncider le plan xy avec le plan tangent. Soient Az l'ordonnée du plan sécant , et A^ , A/ les coordonnées en xy des points où il rencontre la âuriace : on a, en traitant bx , A^ comme des quantités très-petites du premier ordre, et en né-

(') Sur les contacts des ordres sapërieurs entre les surfaces, on pourra consulter un mémoire de M. Olivier, insère dans le a5^ cahier du Journal de V École polytechnique^ p. ia3.

gligeant les quantités très-petites du troisièn^e ordre,

l^=lrilr'4-JAarAj4-|Mjr . (i3)

Faisons A^=eÇ, A^zzzc», e désignant une quantité trèspetite du premier ordre : puisque Az est du second ordre, d'après l'équation (i3), il faut poser Az= e*/-, et alors cette équation donne

Donc, quand Az décroît indéfiniment, la courbe d'intersection approche indéfiniment d'être semblable à la courbe dont Ç , n désigneraient les coordonnées courantes suivant les axes des .x et des /, et qui aurait (X:) pour équation. Ou bien encore la courbe d'intersection approche indéfiniment d'être semblable à la section conique auxiliaire dont il a été question aiu n"* 279, et dont les rayons vecteurs sont proportionnels aux racines carrées des rayons de courbure , pour les sections normales dont les plans coupent le plan tangent suivant ces rayons vecteurs.

A cause de cette circonstance , M. Charles Dupin a donné le nom d'indicatrice à la courbe que l'on conçoit résulter de l'intersection de la surface par un plan mené parallèlement au plan tangent, à une distance infiniment petite du point de contact. Cette indicatrice est une ellipse quand la surface tourne sa courbure du même côté tout autour du plan tangent; dans le cas contraire, les deux hyperboles conjuguées qui remplacent l'ellipse, résultent de l'intersection de la surface par deux plans infiniment voisins, tous deux parallèles au plan tangent, et entre lesquels celui-ci se trouverait compris.

L'ellipse indicatrice devient un cercle aux points ombilics : c'est pour cela que les plans tangents aux ombilics de l'ellipsoïde sont parallèles à ceux qui ont la pro-

priété de couper l'ellipsoïde suivant des cercles [a83].

292. Quand la surface (s.) a trois paramètres arbitraires, on en peut disposer pour satisfaire à la condition j\ X jjr )=fj ( .r , / ), et de plus aux équations ( 1 1 ), ou pour établir entre les d^ux surfaces (2), (z,), au point (x^j'j z), un simple contact. S'il entre dans l'équation [Zj) six paramètres arbitraires, on en peut disposer pour satisfaire en outre aux équations (la), ou pour rendre les deux surfaces osculatrices l'une de l'autre.

Donc on ne peut pas , en général , déterminer une sphère qui soit osculatrice d'une surface donnée en un point donné : car l'équation la plus générale de la sphère ne renferme que quatre paramètres arbitraires, savoir: le rayon et les trois coordonnées du centre.

Les conditions de l'osculation des deux sur&ces (z), Çzjy) soiit exprimées analytiquement par le système des équations'(i]) et (la) ; mais il est préférable de les énoncer géométriquement en disant que les deux surfaces sont osculatrices Tune de l'autre lorsqu'elles ont en un point commun , non-seulement le même plan tangent, mais encore des sections principales comprises dans les mêmes plans normaux , et les mêmes rayons de courbure principaux , respectivement dirigés dans le même sens par rapport au plan tangent. Il est visible, d'après tout ce qui a été établi dans ce chapitre , que l'existence de ces relations géométriques résulte des équations (i 1) et (la). Lorsqu'elles subsistent, un plan quelconque, passant par le point commun, coupe les deux surfaces suivant deux lignes qui ont en ce point le même rayon de courbure.

Si donc la surface (z) a ses deux rayons de courbure principaux dirigés dans le même sens, on peut toujo^rs

490 LIVRB IV. CHAPITRE X.

construire un ellipsoïde de révolution qui oscule cette surface au point (x, y^ z) : car on peut faire en sorte que l'une .des sections méridiennes de lellipsoïde oscu* lateur tombe dans le plan de 17une des sections principales de la surface osculé^ , l'un des axes de l'ellipse méridienne coïncidant ayec la normale : après quoi il n'y a plus qu'à assigner aux axes de l'ellipse méridienne des longueurs telles, que les rayons de courbure principaux soient les mêmes pour la surface osculée et pour l'ellipsoïde. Cette construction est propre à donner deux ellipsoïdes osculateurs, l'un allongé, l'autre aplati.

Quand la surface a ses deux rayons de courbure principaux dirigés en sens inverses , on peut substituer à l'ellipsoïde osculateur un hyperboloïde de révolution à une nappe, dont le cercle de gorge [239] tombe dans le plan de l'une des sections principales de la surface.

On peut décrire plus simplement encore une surface de révolution, osculatrice d'une surface donnée, en Élisant tourner le cercle osculateur de l'une des: sections principales de la surface autour d'un axe tracé dans son plan perpendiculairement à la normale , et passant par le centre de courbure de l'autre section principale. La surface osculatrice devient un cylindre droit, à base circulaire, quand le rayon du cercle osculateur de la première section principale devient inâni , comme il arrive pour les surfaces développables [281].

*293. Ceci va nous conduire à définir et à mesurer, d'après M, Gauss , la courbure dune surface, quantité qui n'est point définie ni à plus forte raison mesurée, tant qu'on se borne à établir , d'après les théorèmes de Meusnier et d'Euler^ les relations qui subsistent entre les courbures des lignes tracées sur la surface.

Revenons pour un instant sur la mesure de la courbure des lignes planes. Prenons sur la ligne dont on veut mesurer la courbure en m, un arc \s qui passe par le point m; menons les normales aux deux extrémités de cet arc ; et après avoir tracé dans le plan de la courbe un cercle dont le rayon soit égal à l'unité^ menons les rayons respectivement parallèles aux deux nor^ maies extrêmes et qui comprennent un arc de cercle

. , dr ^T : la limite -j- [iqS] vers laquelle converge le rap-

At port —, quand l'arc Aj décroît indéfiniment sans ces-^

ser de comprendre le point m, est la mesure de la courbure de la ligne au point m.

Une construction parfaitement analogue est applicable aux surfaces. Imaginons [128] une courbe fermée, tracée arbitrairement sur la surface dont on veut mesurer la courbure en m, de manière que Taire tù circonscrite par cette courbe sur la surface comprenne le point m(j). D'un point quelconque de l'espace, comme centre , décrivons une surface sphérique qui ait l'unité pour rayon, et menons les rayons parallèles à toutes les droites élevées normalement à la surface sur le contour de l'aire (o : le lieu de ces rayons est une surface conique qui intercepte à la surface de la sphère une

(') Il faut entendre par Vaire d'une portion de surface courbe (comme nous l'expliquerons plus amplement dans le chapitre YI diT cinquième livre) la limite dont s'approche indéfiniment Faire d'une surface polyédrique, inscrite ou circonscrite à la portion de surface courbe que l'on considère , quand le nombre des faces du polyèdre augmente sans cesse et que les dimensions des faces décroissent indéfiniment. Cette définition de la grandeur a> est analogue à celle de la grandeur * [174]. ^

492 LIVRE iV. — CHAPITRE X.

aire 6. La limite vers laquelle converge le rapport -

quand Taire a> décroît indéfiniment sans cesser de comprendre le point m, doit, suivant l'analogie, être prise pour la mesure de la courbure de la surface au point m. Nous admettons d'abord , afin d'éviter toute difficulté, qu'il s'agit d'une surface dont les deux rayons de courbure principaux sont dirigés dans le même sens, et en outre que la surface n'éprouve pas au point m de solutions de continuité.

De même que , pour la mesure de la courbure d'une ligne plane , il est permis de substituer à la ligne donnée son cercle osculateur ou toute autre courbe osculatrice; de même, pour la mesure de la courbure d'une surface, il est permis de substituer à la surface proposée une autre surface qui Toscule, au point oit il s'agit de mesurer la courbure.

Prenons , pour la surface osculatrice , celle que décrit le cercle du rayon R, , en tournant autour d'une droite menée dans son plan perpendiculairement à la normale, par le centre du cercle du rayon R,. Soit ds^ l'angle infiniment petit que le plan du cercle mobile , dans chacune de ses positions extrêmes , forme avec le plan de la section normale sur lequel il était primitivement couché, l'excursion du plan mobile ayant la même amplitude de part et d'autre dû plan de la section normale; soit é/j^a l'angle infiniment petit que forment avec la normale et de part et d'autre de cette droite, dans le plan du cercle osculateur de rayon R> , deux rayons de ce cercle : Taire co, devenue infiniment petite, se confond avec celle d'un rectangle infiniment petit dont les côtés seraient 2R,rfj, , aR^^/j,, et qui aurait pour sur-

face ^Rfi-^dsjds^. D'autre part, l'aire correspondante 0 prend pour valeur (en négligeant toujours les infiniment petits des ordres supérieurs) ^ds^ds^ : d'où

La courbure d'une surface a donc pour mesure le pro-* duit des courbures de ses deux sections principales.

L'aire 6 est remplacée par un point quand l'aire <ù , finie ou infiniment petite, est prise sur une surface plane; elle est remplacée par une portion de circonférence de grand cercle quand l'aire cù, finie ou infiniment petite, appar-* tient à une surface cylindrique. Cette remarque lève la difficulté qui naîtrait de ce que , d'après la formule (/), une surface développable pour laquelle [281 et ql^^] un des rayons Ri , Ra est constamment infini , aurait -en tous ses points une courbure nulle, propriété qui semble ne pouvoir appartenir qu'au plan. Le plan , les surfaces développables et les autres surfaces ne sont pas plus comparables, quant à la courbure, qu'un points une ligne et une aire , quant à la grandeur. On peut dire que la courbure d'une surface développable est un infiniment petit du premier ordre, et celle d'un plan un infiniment petit du second ordre : ce qui signifie que la courbure d'une surface est une quantité très-petite du premier ou du second ordre, quand la surface se confond sensiblement avec un cylindre ou avec un plan.

L'expression de la courbure d'une surface prend le signe positif ou le signe négatif, selon que les deux rayons de courbure principaux sont dirigés dans le même sens ou «en sens contraires. Ce changement de signe est arbitraire , et ne comporte pas une interprétation naturelle comme celui qui affecte la pourbure d'une

ligne quand le sens de la courbure change effectivement. Mais cette circonstance, loin de donner lieu à une objection fondée, ne fait que confirmer l'analogie qu'il s'agit d'établir. On sait, en effet, que les règles ' pour l'interprétation . des signes , applicables aux coordonnées mesurées à partir d*une origine fixe, et à leurs différentielles, cessent de s'appliquer, ou ne s'appliquent qu'en vertu de conventions arbitraires , aux aires mesurées par les produits qui admettent pour facteurs ces coordonnées ou leurs éléments différentiels.

Mademoiselle Sophie Germain , dans ses recherches sur les surfaces élastiques, et surtout dans un mémoire (') qui est la dernière production de cette femme remarquable, s'est efforcée d'établir que la courbure

d'une surface a pour mesure la fonction ^-{-^ • niais

ses raisonnements n'ont rien de convaincant, et la mesure qu'elle propose n'est en effet qu'une définition arbitraire; tandis que la proposition de M. Gauss, amenée* et justifiée par toutes les analogies géométriques , est un véritable théorème d'où peuvent sortir des conséquences importantes , et qui' mérite d'être admis dans les éléments , à cause de son élégante simplicité.

(») Journal de Mathématiques y de M. Crelle, t. VII, p. i.