DE G

0,8 85* 84* 85* 85* 84* 85* 84* S4X et 85*

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE

1. Considérons un système formé de 72 points matériels, dont nous représenterons les masses par 7n,, m,, ..., m,.

Soient æ, y, : les coordonnées, parallèles à trois axes rectangulaires Ox, 0 y, Oz, de l’un quelconque » de ces points; X, Y, Z les composantes parallèles aux axes ci-dessus de la force qui sollicite ce point.

Celles de ces six quantités qui se rapporteront à la masse 72, seront caractérisées par l'indice c.

Nous supposerons que

E(X dx --Ydy +Zd:)

est la différentielle exacte d’une fonction U des 3x coordonnées des points m;, de sorte que nous aurons

( UN RU dU

dx Lu, RACE Te

Cette fonction est appelée foncuon des forces où potentiel.

Pour nous placer au point de vue le plus général, nous admettrons que les 32 coordonnées des points x;sont reliées entre elles par véquations

(2) Ie 0, LE OMR, 150;

ÀESAL, — Mécanique céleite. [

y étant évidemment inférieur à 37. Ces équations ont reçu le nom d'équations de liaisons, où plus simplement celui de aisons.

Désignons par dx, dy, ds des déplacements virtuels de 72 parallèles à Ox, Oy, Oz, compatibles avec les liaisons, c’est-à-dire tels que x + x, y + y, z + Jz satisfassent aux équations (2), comme æ, y, 5. © En vertu du principe du travail virtuel, les équations du mouvement des points 7x; seront comprises dans la suivante :

@zx dy HREAN ee 7 Le bo op 0=— SN OZ Eire 703 DA 5 © de 0} de ( V )

QT dx dy az 3 ÔT LES Ôs || — OÙ) (5, DA ae Ge Er 4

JU étant la différentielle totale de la fonction U par rapport à la caractéristique D, c’est-à-dire l'accroissement infiniment petit du premier ordre de la valeur de cette.fonction quand on y remplace les æ, y, 3 par æ + dx, y +ÔY, 3 + ds.

Des équations (2) on déduit les suivantes :

CR Al k THON Ty, ip de, “ME dx, Lo NE NTes CE 7 dl,

y À do D ee es Me he 0, a cé cote = 0, GAL dr, OT ere RE EN CEE EC PLUIE CE == 5},

qui permettent d'exprimer v des 3x déplacements (variations) dæ, ÿy, ÿs en fonction des 32 — v autres, et, en portant leurs valeurs dans la formule (3), on obtiendra une équation linéaire renfermant les variations restantes, et, comme ces variations sont arbitraires, leurs coefficients devront être égalés à zéro.

On arrivera ainsi à 32 — y équations entre les 32 coordonnées et le temps et, en y joignant les équations (2), on aura le nombre voulu

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 3

d'équations pour déterminer les coordonnées en fonction du temps.

Pour effectuer l'élimination des variations, nous ajouterons l’équation (1) aux équations (2) respectivement multipliées par les coeficients indéterminés à,, X, ...,X, et, dans le résultat obtenu, nous égalerons à zéro les coefficients de toutes Les variations. Nous obtiendrons ainsi les 37 équations suivantes : |

j AGE dL, dL, d£, NUE 6 5 —— +... + à, 0; AS de © k dx; BA dx, Fa 1

: PY1 dE GLS de 11 PTE t Re, RO TION DO Die 0 ACER 0,

de Al 1 FO (5) Z, nt PTE À: ds, = to OV = je da — 0;

: GÈEES dE, 4

X,—m TS )\ DES EN en eus M IC) due di. 4 Z,y — m de + DA MA LE de — 0

En éliminant entre elles les coefficients indéterminés, nous obtiendrons 37 —v relations entre les coordonnées et le temps qui, jointes aux équations (2), donneront les 37 équations du mouvement.

2 Équations du mouvement dans un système de coordonnées quelconques. — Formules de Lagrange. — On peut admettre que, au moyen des équations (2), » des 3x coordonnées +, y, z puissent s'exprimer au moyen des 37 —v autres considérées comme des variables; à ces variables, et par certaines relations, on pourra substituer autant d’autres variables, et même en nombre inférieur, en raison de relations établies entre ces dernières variables.

En conséquence, nous supposerons dorénavant que les 32 coordonnées æ, y, = sont exprimables en fonction de Æ autres variables indépendantes &,, u,, ..., Uy, dont le nombre ne peut être qu’inférieur à 3n. Jusqu'à nouvel ordre, nous pourrons admettre que les relations qui existent entre les æ, y, z et les u peuvent renfermer le temps.

Nous désignerons par +’, y’, z’, u’ les dérivées totales de x, y, =, u par rapport au temps.

Nous avons

: dx dx d:

DR = OU = OUR. + = — Uk du du, duy à dy, OV ERRONÉE ONE S la du; (6) GER & DS QU centre CUS Le dau ; du, dU dU OUT ECS EU ER | du du

En substituant ces valeurs dans l’équation (3) et identifiant dans les deux membres les coefficients de x, on trouve

Mais on a, par exemple,

CRE ET EC AN Fe dx ä CRUE SR de du dt de ddr du

JUS ( 14% AT Us

| du di D CF da Dodo Ge)

| Vr (x d'dx Par. d dy es d a).

\ + dE MEN dé du

De la relation

il vient donc

dx dx du, dx du, dx dx ; Gas

LAN ERA Re RTE ee = u,- (a) PTS ÈE du, dt F du; dt a FT LiDE

on déduit

GP EE 8 ie (8) du du!

On a aussi d dx __ dx GRR rh ARGENT dt du dudt dudu, dt du dE dx GET PB ñ 1, }

— u, + - t HONGROIS GITE

Mais, en dérivant l'équation (a) par rapport à w, on voit que le second