LL
ou, en ajoutant cette équation à l'équation (4) multipliée par
RERO M ls u?(1— uw?) du = 3 3 3 | / G+Luw)?(1+ 2242)?
EL + 1 u?2(1— uw?) du | {np (td A7) ES ( )
| Js il u') (ru)
nes À
De là on déduit, en remplaçant »° par sa valeur déduite de l’équation (1) du STeten ayant égard à la seconde des formules (c),
29 \Arp
(bone 3 M° ie ae f here (HA) HA), G+Xuw)?(1+ 22m?)
Les équations (4) et (6’) permettront de déterminer 2°? et x? lorsque le moment de rotation » sera donné, et réciproquement, si l’on donne à 2°, à? des valeurs positives satisfaisant à l'équation (4), l’équation (6) fournira toujours pour y une valeur réelle.
Remarque. — Les composantes =Rz, =(Q0=7)y, = (P=7)x de l'accélération d’un point de la surface de l’ellipsoide étant proportionnelles aux dérivées partielles par rapport à z, y, x du premier membre de l'équation (b)de cette surface, leur résultante ou {a pesanteur à la surface est proportionnelle à la racine carrée de la somme des carrés de ces dérivées ou à l'inverse de la distance de l’ellipsoide au plan tangent mené au point considéré.
91. Examen des conditions qu’exige l’ellipsoïde de révolution comme figure d'équilibre. — Pour établir cette discussion, admettons en premier lieu que l’on se donne la vitesse angulaire x et non le moment de rotation ».
Ot
En posant
l'équation (5) devient
(a) v= [8 -+%)arctang) — 3] ou
3À +2p)5 | (b) os arctangh=— o.
Les valeurs de à tirées de cette équation sont égales deux à deux et de signes contraires; nous n'avons donc qu'à déterminer le nombre et la valeur des racines réelles et positives de cette équation. Considérons, à cet effet,
C f = — = arc tansx ( ) J Je) e)
comme l’ordonnée d’une courbe dont à serait l’abscisse. Nous avons
Cette expression est nulle pour x = o et positive pour de très petites valeurs de à; la courbe est par suite tangente, à l’origine, à l’axe des abscisses et commence à s'élever au-dessus de cet axe du côté des abscisses positives. Pour que l'équation (b) ait ses racines réelles, il faut que la courbe, après s'être élevée jusqu'à un certain point, s’abaisse ensuite vers l’axe des abscisses, puis qu’elle le rencontre; en d’autres termes, il faut qu'elle ait un point maximum ou que l'équation suivante en }?,
(e) p XF + 2 (010 1e OO
ait ses racines réelles et positives.
Ces racines étant
(J) ME Ve) Ge)
on voit qu’il faut, pour que les deux conditions dont il s’agit soient
remplies, que l’on ait
Mais il faut aussi que la courbe ait un point minimum situé au-dessous de cet axe ou que la plus grande des racines (f) rende y négatif, puisque l’ordonnée finit par devenir positive et indéfiniment croissante. En éliminant e entre les équations (c) et (e) et exprimant ensuite que l'ordonnée est négative, on arrive à l'inégalité
(5) are tang x ==
o: il en est de même de sa
dont le premier membre est nul pour x —
dérivée Sa (AE 3) CHENE ET
Cette dérivée devient ensuite négative, redevient nulle pour x = V3, valeur à partir de laquelle elle reste constamment positive. Le premier membre de l'inégalité (g) commence donc par être négatif, devient nul pour une valeur de x supérieure à ÿ3, puis reste constamment positif. On voit donc que l’on satisfera à cette inégalité pour toute valeur de à plus grande que la racine positive de l'équation
