SONT À — C

ne À? ï =

Fe 3M Ô uw du qe … Î 1 5 1°?

EN) N'errie

3M 1 ue? du (a) PRET L g (te

EAu)(r +)2u?)

Si nous posons

3M ff! | u? du PéRsee les composantes, suivant Oz, Oy, Ox, de l'accélération due à lattiac. tion de l’ellipsoide sur un point de sa surface seront

Z=—Rz, Y—=—Q7, X—=—P>z, et celles de l'accélération centrifuge

LRO NR=RÉMAEX EN E.

L’équation différentielle de la surface libre du liquide est done Rzds+(Q —7)y dy +(P — nr?) x dx —o,

d’où, pour l'équation de cette surface,

(b) &+ — = RE = CONS À

Resa. — Mécanique céleste. O1

242 CHAPITRE IV Pour que cette équation coïncide avec celle de l’ellipsoide, il faut que

R ‘res TD EEE UT

d'où, par l'élimination de n,° G+X)G+A)(Q —P)=R(Q?— 2)

et, en remplaçant P, Q, R par leurs valeurs, Q2— 22) | (+42) (1 +272) 1 Re - (1+Xu?) 21 eut)?

ue? du rs ne : Mau 1+)2u?)? |

Cette équation se décompose en deux autres : la première,

(3) hrs

donne l’ellipsoide de révolution aplati; la seconde, mise sous la forme

ue du

‘k LH) HA )u— (1 + Vu) (1 +22 u?)] : 3 —0;

(i+ au)? (1 + 22)

ou, en réduisant,

ntu(i— u?)(1 2272 4? 1e (4) Jl 3 BE — O, N (1H u?)? (1 + 2 u?)?

ne peut être satisfaite que par des valeurs positives de 2?, X?; car, si d’abord ces deux quantités étaient de signes contraires, tous les élé- O ments de l'intégrale seraient positifs ; si elles étaient négatives ou si l’on 5 5 : = D2 CG avait (n° 68)b<c, ac, leurs valeurs absolues, ou (=) (=) seraient inférieures à l’unité, et fous les éléments de l'intégrale seraient encore positifs comme 1 — 2?X?u°?. Donc :

St l’ellipsoide à trois axes inégaux est une figure d'équilibre, l’axe de 5 8 q rotation est le plus petit des axes principaux. Pour toutes valeurs de x? inférieures à l'inverse de celle de x? choisie arbitrairement, tous les éléments de l'intégrale seraient positifs et finis, O

et l'intégrale ne serait pas nulle. Ainsi l'équation (4) ne peut être satisfaite qu'autant que l’une des deux quantités x*, N°? est supérieure à l'unité ou que l’un des rapports . est supérieur à 2. Donc l’elipsoide à trois axes inégaux doit différer sensiblement de la sphere, et l’on ne peut admettre, par suite, que sa figure soit celle des astres du système solaire. Néanmoins cette forme n’a rien d’impossible pour certains astres, et l’on pourrait expliquer de cette manière les variations périodiques qu’éprouve l’éclatde quelques étoiles de la constellation deSirius.

Si, à restant constant, X augmente indéfiniment, l’intégrale (4) deviendra négative, de sorte qu’à chaque valeur de 2? répondra au moins une valeur réelle et positive de x? et, par suite, une surface ellipsoidale à trois axes inégaux. Nous compléterons ultérieurement cette discussion,

En désignant par » la densité du fluide, la masse M de l’ellipsoïde et son moment d'inertie I par rapport à Oz ont respectivement pour expressions

MALE M M di 2 ++?

ne T1 (it +}i(r +2?)

Pour l’ellipsoide de révolution, on remplacera, dans cette équation, R,

Q par leurs valeurs — 2 — D déduites des équations (5) du n° 68

eu

. c ; ; GX dans l'hypothèse de = = r, et l’on obtiendra, eu égard à la valeur ci-

dessus de M, lorsqu'on y fait —1,

2 n° I 0] 2 : > 9 (9) DRE [(3 + À?) arc tangÀ — 31]

et, en vertu de l'équation (1) du paragraphe précédent et en ayant égard

à la seconde des valeurs (c),

5 L2 T9 3 A 2 0 A2) arc ts TO À (6) 25 y (5) sr + À?) arc tan; 3

Revenons maintenant à l’ellipsoide à trois axes inégaux et remplacons dans l'équation (4) les quantités Q et R par leurs valeurs (a), nous obtiendrons

if (=) [OP MA) (+ w?)]du

3M 3 3 3 Jo, GHM)G +) (r+XEu)?