CHR OR SE

tendra vers zéro; d’où il suit que la plus grande vitesse angulaire compatible avec la figure de l’ellipsoide de révolution sera donnée par la formule (2). En faisant décroitre x depuis cette limite jusqu’à zéro, l’une des racines (f) augmente indéfiniment et l’autre tend vers zéro; l’un des ellipsoides s’aplatit indéfiniment jusqu’à devenir un plan, tandis que l’autre converge vers la sphère, qu'il atteint lorsque == 0! A cette limite, ce qui est nur a priort, il n y a plus en réalité que la sphère qui soit une forme d'équilibre.

92. Cas d’un mouvement de rotation très lent. — Si x ou v, ce qui revient au même, est très petit, une des racines positives en x de l'équation (b) sera également très petite, et, en prenant

+ arc tang À — À — DE e 1" 0 }? Ce DORE CO e

la même équation donne, après avoir supprimé le facteur x et en négligeant les puissances de à supérieures à la seconde,

L’aplatissement sera, au degré d’approximation convenu ("),

TR 2 4 bnp 4 impec

(1) En remarquant que les deux demi-axes sont e et ci += c Ci + — =)

» ° GE 5 . 2 > 7 ; Donc l’aplatissement est égal aux + du rapport de la force centrifuge,

mesurée à l'équateur, à l'attraction à la surface. L'autre racine de l’équation (b) a pour valeur

: T s 90 Î== = 2p = I }, D Frs Tr?

aux termes du second ordre près en p(").

93. Si la valeur de 6 dépasse la limite o,1123, à partir de laquelle, comme nous le verrons plus loin, l’ellipsoïde à trois axes inégaux n’est également plus admissible, il ne faut pas en conclure que la figure permanente du liquide est impossible ou que le fluide se dissipe; car, si l’on excepte le cas où la figure est peu différente d’une sphère, on n’a pas encore démontré que la formule elliptique est la seule qui convienne à l'équilibre : on n’a pas même prouvé que la sphère est la seule figure que peut prendre une masse fluide en repos dont les molécules s’attirent mutuellement, quoiqu'il soit naturel d'admettre qu’il ne peut pas en être autrement.

(1) Posons

y = arctang), À= -; DA il vient nm = dy —— dx dx — ï — N' (— 1)/H1 m2:

ADD IN GE 1 + x? > 2 In = 0

d'où, en intégrant, I = © T EST) Tr = EN Cr x?/+1 2. Æm 2/N+I

m = 0 ou t ) T I 1 I : ane } — Re m1 arctangi=—s + ns te...

Nous avons aussi

; 1 9 \ AT 0 9 3 2\—1 — AL © (3 + À) = (145) & TS De

l'équation (b) devient

340€ TON TAB 199 1 2 (à ++. )eT ne PRE Ta FS tete

et l’on en déduit la valeur approchée de } donnée dans le texte.

Ne pourrait-il pas se faire que, e dépassant 0,1123 à l’origine du mouvement, la figure d'équilibre finit par devenir un ellipsoide de révolution? Rien ne paraît s’y opposer; car, en s’aplatissant de plus en plus, la masse prendrait une vitesse angulaire plus faible; on comprend ainsi qüe, après une série d’oscillations moléculaires successives, finalement détruites par les résistances passives, la masse puisse parvenir à un état de mouvement satisfaisant aux conditions ci-dessus établies et qu’elle prenne une figure permanente.

9%. On est donc conduit à chercher st, pour des conditions initiales données du mouvement de la masse fluide, ou pour toute valeur du moment de rotation, 1l y a toujours une figure elliptique de revolution qui convient à l’équhbre, et s'il n'y en a qu'une seule.

En posant

quantité qui se rapporte uniquement au mouvement primitif de la masse, l'équation (6) devient

2 (3 + À?) arc tang À — 31

galere) vé POT 2

et l’on reconnait facilement que son second membre est nul et infini avee à; 11 suit de là qu’il y à au moins une valeur positive de à qui rend ce second membre égal au premier. Pour démontrer que cette valeur est unique, il suffit de faire voir que la dérivée du second membre est positive pour toute valeur de à. Si l’on pose

(K { Ne AC AN) A2) DIS CN DE

la dérivée dont il s’agit est

CHENE Lure Lang} + (3 + 5x) 10)|

et est positive pour toute valeur positive de X, attendu qu’elle est nulle pour À = o et que la dérivée